“2299=2300”引發的思考

張宏濤

北師版教科書九年級數學上冊第二章的教學內容是《一元二次方程》，在進行一元二次方程的應用教學時，我曾連續幾年把下面的一個問題作為學生的作業甚至是單元測試題：

如圖（一）所示，有一塊長32米，寬20米的矩形稻田，稻田內有兩條處處等寬的彎曲小路，已知種植面積為540m2，求道路的寬是多少？解答過程如下：

解：設道路的寬為x米，依題意有

（32-x）（20-x）=540，

整理，得x2-52x+100=0。

（x-50）（x-2）=0，

解得x1=2，x2=50（不合題意，舍去）。

答：道路的寬應是2米。

解題的思路是把圖（一）中的兩條路“平移”（本文中的“平移”實指等積變換）到如圖（二）所示的位置，從而建立方程。

無獨有偶，2011-2012學年北京市101中學七年級（下）期中數學試卷中有這樣一道試題：16.如圖（一），在長32米，寬20米的矩形草坪上建有兩條等寬的彎曲小路，把草坪分成了4部分，若每條小路的寬度為2米，則草坪的面積為_____平方米。提供的解答過程如下：

解：由平移的性質，草坪的長為32-2=30（米），

寬為20-2=18（米），

面積=30×18=540（平方米）。

兩道試題的解題思路都是利用了“平移”前后面積的不變性。一切看似合乎情理、風平浪靜。但是，在2014年9月30日，當我碰到山東省威海市2013年中考數學的第23題時，我發現以上試題竟然存在漏洞，自己引用的竟然是一個錯題。請看：

（威海市2013）要在一塊長52m，寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路。下面分別是小亮和小穎的設計方案。

（1）求小亮設計方案中甬路的寬度x；

（2）求小穎設計方案中四塊綠地的總面積（友情提示：小穎設計方案中的x與小亮設計方案中的x取值相同）

在批閱學生的作業時，發現絕大部分學生利用“平移”，少部分學生用總面積減去兩條路的面積，再加上重疊部分的面積。特別地，發現第（2）問的兩種解法的結果不同，第一種解法的結果為2300平方米，第二種解法的結果為2299平方米。為什么會相差1平方米？我開始懷疑之前我深信不疑的“平移”，中間肯定有問題。我打開幾何畫板開始畫圖做試驗，結果終于發現了問題所在。探究過程與大家分享如下：

以矩形草坪上建路為例，在矩形的長、寬及路寬分別相同的條件下，上面的圖（三）與圖（四）可認為是等價的。如圖（四），設路寬為x，兩條路的夾角∠BCD為鈍角，過點B作BI∥EF交CD于點I，則四邊形BEFI是平行四邊形，BI=EF=x；在△BCI中，∠BCI為鈍角，則BC

綜上所述，用圖（二）的方式建立方程來研究圖（三）、圖（四）、圖（五）等情境中的面積問題有失嚴謹。至此，出現“2299=2300”這一怪現象的原因終于真相大白！

目前，看似“正確”的“平移”仍在上演，例如福建省惠安縣2014年初中學業質量測查（第二次質檢）數學試題中的第24題如下：

學校課外生物小組的試驗園地是長32m、寬20m的矩形，為便于管理，現要在試驗園地開辟水平寬度均為x m的小道（圖中陰影部分）。

（1）如圖1，在試驗園地開辟一條水平寬度相等小道，則剩余部分面積為_____________m2（用含x的代數式表示）；

（2）如圖2，在試驗園地開辟水平寬度相等的三條小道，其中有兩條道路相互平行。若使剩余部分面積為570m2，試求小道的水平寬度x。

其提供的答案如下：

解：（1）由題意可得，剩余部分面積為：20（32-x）m2；

（2）依題意，得（32-2x）·（20-x）=570

解得x1=1，x2=35（舍去）

答：小道寬為1米。

顯然，其第（2）問存在同樣的漏洞。從根本上說，此類題目條件不全無法求解。怎樣補上這個漏洞哪？一個好的辦法就是明確圖中每個重疊部分的面積均是x2平方米（x為路寬）。

在數學教學中，難免還會遇到“2299=2300”等類似的“怪現象”，只要我們能勤于思考、樂于求是、敢于質疑、善于創新，那些看似“正確”的“合情推理”，終將真相大白！