多變時滯不確定中立型系統的滑模控制*

董翠麗，蔣　威(安徽大學數學科學學院，合肥230601)

多變時滯不確定中立型系統的滑模控制*

董翠麗，蔣威
(安徽大學數學科學學院，合肥230601)

摘要:研究了不確定中立型系統的滑動模態控制.系統含有多個變時滯和非線性外部干擾項;根據當前狀態和時滯狀態給出了滑模面的設計，滑模控制器的設計保證了系統的狀態軌線在有限時間內被驅動到指定的滑模面上并保持運動;再利用構造Lyapunov函數的方法給出了閉環系統漸進穩定的一個充分條件，充分條件以線性矩陣不等式的形式給出.

關鍵詞:變時滯中立型系統;滑模控制器;線性矩陣不等式

滑模變結構控制，簡稱滑模控制.其主要研究的是一類非線性控制理論，是由Utkin等人提出并倡導的［1］.經歷近幾十年的研究，已在各個領域得到了迅速發展及廣泛的應用.并形成了一個相對獨立的研究分支.在變結構控制系統中，其非線性主要是體現在控制作用的不連續特性上.可以將系統的運動分成兩個階段:第一階段是到達運動階段，即通過滑模控制器的設計保證系統運動在有限時間內到達預先設定好的滑模面上;第二階段是設計一種穩定的滑模面，并在滑模控制器的作用下保證系統的滑模運動是漸進穩定的.滑模變結構控制的優點在于:當系統進入滑模運動階段，系統具有對參數攝動和外界干擾及不確定性的不敏感性.這種不敏感性表明，滑模控制非常適合作為一種不確定性系統的魯棒控制器.目前，變結構控制理論已經受到了國內外學者的廣泛重視［2，3］.

在實際控制系統中，大多數系統普遍存在不確定因素、狀態時滯及控制變量時滯，且匹配條件往往不容易得到滿足，這就使得滑模控制系統很難達到所期望的良好品質.為此，針對不同類型的實際系統的滑模控制問題進行了廣泛而深入的研究［4－7］.將研究具有多個變時滯且含有多個非匹配不確定項和非線性外部干擾項的中立型系統的滑動模態控制.

1　預備知識

考慮具有非線性干擾和多變時滯的不確定中立型系統:

其中x(t)∈Rn，u(t)∈Rm分別為系統的狀態變量和控制輸入，f(x(t)，t)∈Rn為系統的外部干擾項，ψ(θ)為狀態初始條件，A、B、C和Ci，(i=1，…，k)為具有相容維數的實常數矩陣，ΔA(t)和ΔAi(t)，(i= 1，…，k)表示時變參數不確定性，0＜d＜τ為已知的實常數時滯，τi(t)，(i = 1，…，k)為時變時滯且滿足0≤τi(t)≤τ，(t)≤1－ε，(i=1，2，…，k)其中0＜ε＜1為常數.

對于式(1)給出假設條件:

(a)假設矩陣B是列滿秩的，并且(A，B)是可鎮定的，即存在一個實矩K∈Rm×n使得A－BK是穩定的.

(b)ΔA(t) = DF(t) E，ΔAi(t) = DiFi(t) Ei，i=1，2，…，k，其中:D，E，Di和Ei，(i=1，2，…，k)是已知的常數矩陣，F(t)和Fi(t)是未知的時變實矩陣且滿足.

(c)外部干擾項f(x(t)，t)∈Rn是有界的，即f(x(t)，t)≤ρ，其中ρ＞0是已知常數.引理1［7，8］設X，Y是適合維數的實數矩陣，則對于任意常數μ＞0，有:

引理2［7，8］設D和E是適合維數的實數矩陣，F(t)是適合維數的時變實矩陣且滿足:

則對于任意常數μ＞0，有:DF(t) E+ETFT(t) DT≤μ－1DDT+μETE.

主要目標是設計一個滑模控制器，使得式(1)的狀態軌線在有限時間內達到所期望的滑模面上，并保證閉環系統是漸進穩定的.

根據式(1)的當前狀態和時滯狀態，設計一個滑模面:

其中P是待選的正定矩陣.

2　滑模控制器的設計

滑模控制器的設計需要兩步來完成.第一步驟:設計一個滑模控制器，并保證式(1)的狀態軌線在有限時間內達到滑模面式(3)上且在其上進行運動.第二步驟:設計一種穩定的滑模面，并保證系統在該滑模面上的運動是漸進穩定的.

考慮式(1)的控制輸入:

其中K為m×n階實矩陣且滿足A－BK是穩定的，

其中uα，uβ分別是系統(1)的等價控制和開關控制，ε0是一個正常數.sign(s(t) )為符號函數，即:sign(s(t) ) =［sign(s1(t) )，sign(s2(t) )，…，sign(sm(t) )］T，其中:

下面給出式(1)在有限時間內到達滑模面上并在其上進行運動的充分條件.

定理1若式(1)滿足假設條件(a)－(c)，且其控制輸入由式(4)－(7)給出，則式(1)的狀態軌線在有限時間內到達滑模面式(3)上.

證明設Lyapunov函數為

且V是正定的.對Lyapunov函數(8)兩邊關于時間t求導得:

由假設條件(b)及式(7)代入上式并化簡可得:

又因為

因此，根據文獻［9］可知，式(1)的狀態軌線在有限時間內達到滑模面式(3)上.證畢.

下一步設計一個穩定的滑模面，使得滑模控制系統在內部參數攝動與外部擾動時保持良好的品質.

定理2設式(1)滿足假設條件(a)－(c)，如果存在正定陣P＞0，R＞0，Qi＞0，(i=1，2，…，k)及正常數μ、μi，(i=1，2，…，k)，且滿足線性矩陣不等式:

其中

則在滑模面方程式(3)下，滑模控制率式(4)－(7)使得閉環系統是漸進穩定的.

證明由題意可構造Lyapunov函數為

其中P，R，Q1，…，Qk為正定矩陣，H(t) = x(t)－Cx(t－d).將上式兩邊關于t求導并將式(1)及式(4)代入可得:

由滑模面方程式(3)可知:s(t) = 0

因此有:

根據引理2和假設條件(b)可知:存在正常數μ、μi，i=1，2，…，k.使得下列式子成立:

其中i=1，2，…，k.

又易知:

因此，將式(15)－(18)代入式(14)并化簡可得:

令σ=(H(t)，x(t－d)，x(t－τ1(t) )，…，x(t－τk(t) ) )T，再根據定理已知條件可得(t)≤σTΦσ.又由于Φ＜0為負定矩陣.從而，由文獻［10］的定理9.8.1可知:在滑模面方程式(3)下，滑模控制率式(4)－(7)使得閉環系統是漸進穩定的.

注根據定理2可知，利用構造Lyapunov函數的方法給出了閉環系統漸進穩定的一個充分條件，充分條件以線性矩陣不等式的形式給出.因此，當線性矩陣不等式是可行的時候，則由式(3)給出的滑模面的設計及由式(4)－(7)給出的控制率的構造保證了式(1)的狀態軌線能在有限時間內到達滑模面上并在其上保持運動.

參考文獻:

［1］UTKIN V I.Variable Structure Systems with sliding mode［J］.IEEE Trans Automat Cont，1977，26(2):212-22

［2］KHAZALI E R.Variable Structure Robust Control of Uncertain Time-Delay Systems［J］.Automatica，1998，34 (3):327-332

［3］高為炳.變結構控制理論基礎［M］.北京:科技出版社，1990

［4］員陳鑫，蔣威.具外部擾動的變時滯不確定奇異系統的滑動模態控制［J］.純粹數學與應用數學，2012，28(4):531-539

［5］LIEN C H.Delay-dependent and Delay-independent Guaranteed Cost Control for Uncertain Neutral Systems with Time-varying Delays Via LMI Approach［J］.Chaos Solitons and Fractals，2007，33(3):1017-1027

［6］NIU Y，WC H D，LAM J.Robust Integral Sliding Mode Control for Uncertain Stochastic Systems with Time-varying Delay［J］.Automatica，2005，41(5):873-880

［7］YOUGUO H，MUYONG Z.Sliding Mode Control for a Class of Uncertain Neutral Delay Systems［J］.Procedia Engineering，2011，(15):1181-1185

［8］NIU Y，LAM J，WANG X.Sliding-mode Control for Uncertain Neutral Delay Systems IEE Proc［J］.Control Theory Appl，2004，151 (1):38-44

［9］JIA F，JIANG W.Sliding Mode Control for Fractional Differential Systems with State-delay［J］.Chin.Quart.J.of Math.2012，27 (1):117-122

［10］HALE J K，VERDUYN L S M.Introduction to Functional Differential Equations［M］.New York:SpnngerVerlag，1993

Sliding Mode Control of Uncertain Neutral System with
Multiple Time-varying Delays

DONG Cui-li，JIANG Wei
(School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China)

Abstract:This paper mainly researches the sliding mode control of uncertain neutral system.The system involves multiple time-varying delays and nonlinear external perturbations.A sliding surface is designed based on the current state and delayed state.The design of the sliding mode controller guarantees that the trajectory of system can be driven onto the sliding surface in a finite time and maintains moving on it.By the Lyapunov function，a sufficient condition given in the form of linear matrix inequality for asymptotic stability of the closed-loop system is obtained.

Key words:neutral time-varying delays systems; sliding mode control; linear matrix inequality

中圖分類號:O231.2

文獻標識碼:A

文章編號:1672－058X(2015) 08－0019－05

doi:10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0008.005

收稿日期:2015－01－03;修回日期:2015－02－21.

*基金項目:國家自然科學基金(11371027).

作者簡介:董翠麗(1990-)，女，安徽阜陽人，碩士研究生，從事泛函微分方程及控制論研究.