讓解后反思成為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的助推器

☉江蘇省梅村高級中學(xué) 華喜紅

讓解后反思成為高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的助推器

☉江蘇省梅村高級中學(xué) 華喜紅

在近幾年的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中一直有這樣的困惑：一個(gè)數(shù)學(xué)題目自認(rèn)為講清楚了，但下次遇到同類型的問題學(xué)生還是束手無策；也有些題目，知識(shí)點(diǎn)學(xué)生是明白的，老師也認(rèn)為沒問題，但一做還是錯(cuò).常聽見學(xué)生這樣埋怨：我數(shù)學(xué)題做得不是不多，數(shù)學(xué)成績卻遲遲得不到提高！這就引起筆者的反思，特別是課堂上的題目講評值得反思，必須講得透徹.數(shù)學(xué)題目是知識(shí)由產(chǎn)生到應(yīng)用的關(guān)鍵一步，然而很多時(shí)候只是簡單講解，解后并沒有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)也就停留在題目表層，做題只會(huì)簡單地模仿，那么出現(xiàn)上述情況也就不奇怪了.解后反思是一個(gè)知識(shí)小結(jié)、方法提煉的過程；是一個(gè)吸取教訓(xùn)、能力逐步提高的過程.從這個(gè)角度上講，例題教學(xué)的解后反思應(yīng)該成為例題教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容.本文擬從以下三個(gè)方面作些探究.

一、在解題的方法規(guī)律上反思

善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘題目的深度和廣度，擴(kuò)大題目的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的.

案例1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=16，點(diǎn)P（1，2），M、N為圓O上不同的兩點(diǎn)，且滿足若則的最小值為_________.

分析：這題屬于難度比較大的題目，如何引導(dǎo)學(xué)生思考本題非常關(guān)鍵.

思路1：遇到圓中與弦有關(guān)的問題，一般聯(lián)想去利用垂徑定理、勾股定理解決，這種方法或規(guī)律在解后反思時(shí)必須呈現(xiàn)給學(xué)生.

略解：如圖1，設(shè)O到MM′、NN′的距離分別為d1、d2，弦長分別為l1、l2.

圖1

思路2：遇到解析幾何中的雙動(dòng)點(diǎn)或單動(dòng)點(diǎn)最值問題，一般聯(lián)想利用幾何意義去處理，如截距、斜率、距離等，這樣的方法指導(dǎo)同樣在解后反思中必須呈現(xiàn)給學(xué)生.

如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為T，易知|MN|= 2|PT|，由于P是定點(diǎn)，可以求T點(diǎn)的軌跡，再利用P、T兩點(diǎn)之間的距離求解.

略解：設(shè)點(diǎn)T（x，y），|NT|2+|OT|2=|ON|2= 16，|NT|=|PT|，即|ON|2=|OT|2+|PT|2，則16=x2+y2+（x-1）2+（y-2）2，得出軌跡方程為.以下過程略.

圖2

通過問題的層層剖析，學(xué)生對圓的認(rèn)識(shí)又深了一層，對多元問題的處理也能掌握一定的方法和技巧；通過例題解法多變的教學(xué)，有利于幫助學(xué)生形成思維定勢，而又打破一定的思維定勢，有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性.

二、在學(xué)生易錯(cuò)處反思

學(xué)生的知識(shí)背景、思維方式往往與教師不同，而其表達(dá)方式可能又不準(zhǔn)確，或思維不太嚴(yán)密，這就難免有“錯(cuò)”.高三講評教學(xué)若能從此切入，進(jìn)行解后反思，則往往能找到“病根”，進(jìn)而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

案例2：（最近筆者所在學(xué)校進(jìn)行的高三月考試卷第4個(gè)填空題）在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM＜AC的概率.批完試卷筆者驚呆了，全班47人有25人做錯(cuò)了，診斷其原因，學(xué)生確實(shí)是利用幾何概型來處理，但是沒搞清楚等可能的角度.本題是在∠ACB內(nèi)部任意作一條射線，是等可能的，所以應(yīng)該把∠ACB作為區(qū)域D.若變?yōu)樵谛边匒B上任取一點(diǎn)M呢？由于M落在AB上任何一點(diǎn)是等可能的，那么此時(shí)線段AB是區(qū)域D.

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=，第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是最小值.

以上兩個(gè)案例都充分說明學(xué)生對課本知識(shí)點(diǎn)沒有充分理解和把握，也就出現(xiàn)了學(xué)生會(huì)用，但不知道在什么情況下用.因此在復(fù)習(xí)時(shí)一定要抓住學(xué)生出錯(cuò)這一契機(jī)，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固要好得多，而這一點(diǎn)恰恰容易被我們所忽視.這樣的反思可以放在平時(shí)的小題或“三基”訓(xùn)練中，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合考綱進(jìn)行反思總結(jié)：（1）數(shù)學(xué)考綱中的哪些知識(shí)點(diǎn)學(xué)生容易出錯(cuò)？（2）出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的原因有哪些？針對各種“病因”，讓學(xué)生親手開出有效的“方子”，這樣易錯(cuò)題也就會(huì)成為不錯(cuò)題.

三、在情感體驗(yàn)處反思

解決每一個(gè)問題的過程并非僅僅只是一個(gè)知識(shí)運(yùn)用或技能訓(xùn)練的過程，而是一個(gè)伴隨著聯(lián)想、類比、假設(shè)、推理甚至靈感突現(xiàn)的綜合過程，學(xué)生有可能品嘗到失敗的苦澀，也很可能收獲“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅；他可能是獨(dú)立思考所得，也有可能是通過合作解決.因此教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生積極的情感體驗(yàn)和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；有利于激勵(lì)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為自主探究學(xué)習(xí).

案例4：在一次解析幾何復(fù)習(xí)課上，筆者設(shè)置了這樣一道題目.

（1）證明P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值.

（2）將過A、P、Q的動(dòng)圓記為圓C，求證：動(dòng)圓C必過異于點(diǎn)A的定點(diǎn).

（2分鐘后提問）學(xué)生A：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得x2+2mx+2（m2-1）=0 ①，然后利用韋達(dá)定理解決.

（5分鐘后提問）三位同學(xué)無法解決第二問.

（7分鐘后提問）學(xué)生B：既然圓C過定點(diǎn)，那就與題目中的參數(shù)m無關(guān)，我想把圓的方程用m表示出來，

教師：很好，這樣的設(shè)想不錯(cuò)，但是能不能進(jìn)行下去呢？

學(xué)生B：因?yàn)閳A的方程有標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，我覺得過三點(diǎn)的圓用一般式比較簡單.

（同學(xué)C受啟發(fā)了，舉手示意）

學(xué)生C：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將它與直線方程聯(lián)立，消元得x2+（m2+Em+F） =0 ②.由于①與②是同解方程，則對應(yīng)系數(shù)相等，可求出D、E、F（用m表示），下面解略.

整個(gè)問題由于學(xué)生之間的合作輕松解決了.解后一起和學(xué)生反思，反思本題的突破口在于什么.其實(shí)最關(guān)鍵的是要能發(fā)現(xiàn)P、Q既是直線與圓的交點(diǎn)，也是直線和橢圓的交點(diǎn).緊接著筆者又一次讓學(xué)生反思題目為什么要設(shè)置第一問，難道僅僅讓你算一下結(jié)果？

（3分鐘后）學(xué)生D：可用第一問的結(jié)論去做第二問，將P（x1，y1）、Q（x2，y2） 分別代入圓的方程，得兩方程相加，化簡得5-2Dm+Em+ 2F=0.又圓過點(diǎn)A（2，0），可以得到4+2D+F=0.（回答到此，同學(xué)們議論開了）

教師：由上面兩個(gè)條件是求不出D、E、F的，必須再找到一個(gè)方程，筆者引導(dǎo)學(xué)生從解方程組的方法考慮，如兩式相加、相減、相乘甚至相除.這樣類比的教學(xué)反思使同學(xué)們異口同聲地回答：相減.因此問題又一次輕而易舉的解決了.因此在解后反思環(huán)節(jié)中，還可以讓學(xué)生去多注意各小題之間的聯(lián)系，揣摩一下老師出卷的意圖，很多時(shí)候上面的問題為下面的問題埋下伏筆，這也是解決問題的一種捷徑.

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力.總之，在解后的反思中方法、規(guī)律得到了及時(shí)的小結(jié)歸納；解后的反思使我們撥開迷蒙，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來；在反思中學(xué)會(huì)了獨(dú)立思考，在反思中學(xué)會(huì)了傾聽，學(xué)會(huì)了交流、合作，學(xué)會(huì)了分享，體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)的樂趣，交流的快樂！

1.熊川斌.反思性教學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，1999.

2.蔡穎，計(jì)惠芳.反思，教師專業(yè)成長的階梯［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014（11）.A