完善知識儲備 優化解題思維
——一道函數零點問題的課堂探究

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 王玉花

完善知識儲備 優化解題思維
——一道函數零點問題的課堂探究

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學 王玉花

函數的零點是新課標的新增內容，其中隱含了函數與方程、等價轉化、數形結合等重要的數學思想方法.縱觀近年全國各個省市的高考試題，多個省市的命題涉及了函數零點問題，且這部分知識往往滲透于綜合題中，對思維能力有較高的要求，如何準確、快速地解決這類問題呢？本文以一道零點問題的課堂探究為例說明.

一、問題展示

題目 （2015年北京海淀期末）已知函數f（x）= acosx+xsinx，x∈

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）求集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數；

（Ⅲ）當1＜a＜2時，問：函數f（x）有多少個極值點？（只需寫出結論）

二、課堂探究

師：函數零點問題是新課標高考的亮點和熱點之一.處理此類問題，需要我們具備哪些知識儲備？

生1：處理函數零點問題時，不但需掌握零點存在性定理，有時還需要我們將問題進行等價轉化、結合相關函數圖像才能迅速、有效解題.

師：還有沒有補充？

生2：對于復雜函數的零點問題，有時需要通過借助導數來研究函數的單調性、極大（小）值來完成.

師：具體如何操作？

生2：若函數f（x）在其定義域上單調，則函數f（x）有且僅有一個零點.

若函數f（x）在其定義域上不單調，分兩種情況.

（1）若方程f′（x）=0有且僅有一個實數根，即函數f（x）有極大值f極大值（x）或極小值f極小值（x），有如下三種情況.

①沒有零點?f極大值（x）＜0或f極小值（x）＞0.

②有且僅有一個零點?f極大值（x）=0或f極小值（x）=0.

③有且僅有兩個零點?f極小值（x）＞0或f極大值（x）＜0.

（2）若方程f′（x）=0有且僅有兩個實數根，且函數f（x）有極大值f極大值（x）和f極小值（x），有如下三種情況.

①有且僅有一個零點?f極大值（x）·f極小值（x）＞0.

②有且僅有兩個零點?f極大值（x）=0或f極小值（x）=0.

師：知識系統、條理清楚，那么此題如何處理？

生3：f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+xcosx.

（解題中斷）

師：問題出在哪里？應如何糾正？

（生眾思考）

生4：求函數的零點，即f（x）=0，不應直接求導，應先在原方程下討論零點的存在情況，看是否存在直觀的零點，如當a=0時，令f（x）=xsinx=0，由x∈，得x=0為零點，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為1……

師：非常好！問題的解決應從最基本的角度入手，由淺入深.繼續.

生4：當a＞0時，因為f（x）=acosx+xsinx＞0對任意x∈都成立，所以集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為0.

當a＜0時，因為f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+ xcosx＞0對于任意x∈都成立，所以函數f（x）是上的增函數.因為f（0）=a＜0＞0，所以f（x）在上只有一個零點.

易判斷f（x）是偶函數，可知集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為2.

綜上所述，當a＞0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為0；當a=0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為1；當a＜0時，集合A=｛x|f（x）=0｝中元素的個數為2.

師：有限的方法，如何應用到無限的題型之中？我們不應局限于方法的固定的形式，應靈活應用其解題.還有沒有其他解法？

生5：函數零點的個數問題，可以轉化成函數圖像與x軸的交點問題，某些問題中可將復雜函數分離成兩個函數，進而將其轉化為兩個函數的交點問題處理.

當a＞0時，兩函數的圖像如圖2所示，兩函數沒有交點，故原函數沒有零點.

圖1

圖2

師：非常好，將復雜的問題應用簡單的原理來解決，體現了所學知識的靈活應用.第三問和零點問題還有沒有關系？

生眾：有，極值點個數問題，即導函數零點問題.

師：具體如何操作？

生6：由（II）可知f′（x）=（1-a）sinx+xcosx.

g′（x）=（2-a）cosx-xsinx，（g′（x））′=（a-3）sinx-xcosx（1＜a＜2）.

當x∈（0，x0）時，g′（x）＞0，函數g（x）是增函數；

當x∈時，g′（x）＜0，g（x）是減函數.

由g（x）是奇函數，可得g（0）=0，g（-x1）=0.

師：題干要求只需要寫出結論，能否簡潔求解？生6：依據生5的思路，解答如下.

f′（x）=-asinx+sinx+xcosx=（1-a）sinx+xcosx.

令f′（x）=0，即（1-a）sinx+xcosx=0，移項整理得sinx cosx，即tanx=

x -π 2，x（）1 x1 （x1，0） 0 （0，x2） x2 x2，π 2（）f′（x） + 0 - 0 + 0 -f（x） 增 極大 減 極小 增 極大 減

圖3

所以函數f（x）有3個極值點.

師：導函數的零點問題是高考的重點也是難點，解決問題的方法也是多樣的，只要在平時的訓練中多總結、歸納，就能在高考中出奇制勝.

綜上所述，如何提高學生的數學思維能力以及解題能力，如何使得平時的教學復習能夠與高考無縫對接？筆者認為教師要發現教學中的一些有價值的問題，借助恰當的方式引導學生去探究、對比、總結、提煉、反悟，使其最終內化為學生自己的知識結構、方法系統和能力品質，全方位提升學生的思維品質，進而達到能力的提升.A