數學學習：現實起點與可能終點的統一

儲冬生

[摘 要]如果將每一次的數學學習看成一個過程，這一過程必有起點和終點。如何看待起點和終點，準確把握起點和終點，將直接關乎學習過程的展開以及教學目標的達成。兒童的數學學習應該是現實起點和可能終點的統一，教學中應該把起點、終點和過程當作一個動態的系統來把握，而不能陷入僵硬的教條主義的誤區。

[關鍵詞]數學學習 現實起點 可能終點

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）11-001

萬事萬物總有自己的起點和終點，數學學習亦然。如何看待學習的起點和終點，學術界并不缺乏這樣的論述，比如，知識起點，思維起點，經驗起點，等等。然而，我們不能滿足于泛泛地談論這一話題，因為學生的學習過程都是由一節節具體的課、一個個生動的活動組成的，只有回到具體的學習情境，面對鮮活的兒童個體，才能找尋到更為科學，更為合理，也更容易把握的解釋。本文試圖對這一看似非常熟悉且又頗為玄妙的話題展開討論，并以此來促進我們對兒童數學學習的理解。

一

數學學習的起點源自兒童現實，因為數學學習歸根到底是基于兒童自身的一種“生長”過程，這里的兒童現實包括兒童的知識基礎、思維水平、認知特點等諸多方面。兒童現實不僅僅是數學教學的出發點，也是一切有效教學的基礎，因為“實在說來，沒有一個人能教數學，好的教師不是在教數學，而是激發學生自己去學數學……只有當學生通過自己的思考建立起自己的數學理解力時才能真正學好數學”。倘若我們的數學學習與兒童已有的基礎和現狀不匹配，那我們一切的努力都是注定要付之東流的。

通常情況下，學生已有的知識基礎對于我們來說不難把握，因為數學課的知識目標是比較明確的，知識的前后編排也是比較清晰的，但是對于兒童的認知發展水平、心理品質、生活經驗等因素的把握則成為我們實踐中的一處“軟肋”。有人說，“教學即兒童研究”，從某種意義上看，我們的小學數學教學還真是如此。

為了更好地確定學習目標，規劃教學流程，我們往往需要認真地做一做學生的學情分析，甚至要做專門的學情調查。所謂學情調查是指教師帶著自己的問題及所涉及的問題框架，通過對學生進行訪談、過程觀察、作品分析、問卷調查等方式，獲取有關問題的真實、系統的信息，并在此基礎上對信息加以分析處理得出結論的過程。宏觀上我們必須了解當今小學生的個性特征、認知發展水平的變化，只有了解學生的這些特點，從整體上把握學生的數學現實才能使數學教學更具針對性。由于學生是千差萬別的，僅僅了解學生的整體特征和水平對于教師來說還是不夠的，教師還必須盡可能多地了解每一個學生的個體特點，包括學生的學習基礎、學習能力和學習動機，甚至還包括他們的愛好、特長、發展需求等。學情調查的方法是多樣的，可以是問卷、談話等，對此我們也不必過于拘泥于形式。江蘇南京的數學特級教師王凌老師就曾介紹他的學情調查模式：在上每一節數學課前都會選3到5名學生，通過簡短的談話做一個簡單的學情調查，為新課的教學“踩踩點”“排排雷”。

對于學習起點的把握，大家普遍重視學生的知識起點、能力起點等，但是常常忽視一個重要的方面，那就是兒童的經驗世界，有時候兒童已有的生活經驗對于他們的數學學習也有著直接的影響，比如在學習“質量單位”的時候對“質量”的理解，日常生活中關于“質量”的生活經驗（指產品或工作的優劣程度），這些都有可能會對學生的數學學習產生一些“干擾”，而在“認識元、角、分”的時候，學生的生活經驗則會對學習產生“正遷移”。

教育的最終目標是促進學術全面、和諧地發展，數學教學的根本目的在于促進學生數學素養的提升。有效教學的起點在于對兒童的準確把握，準確把握學生的情況，我們才能將教學目標鎖定在學生的“最近發展區”上，讓學術“跳一跳能夠摘得到”。我們應該進一步加強研究，盡可能準確地把握住學生的知識起點、能力起點、經驗起點、認知方式的特點，這種把握不僅僅包括對于群體的一般性的把握，還應該有一些個性化的了解。所有這些把握和了解，將構成兒童數學學習客觀存在的“現實起點”。

二

相對于起點而言，學習的終點似乎有些難以言說。在很多教師看來，學生學會了、學懂了、會解題、會應用了，就達到了學習目標即學習終點了。如只是這樣理解，顯然還太簡單，太狹隘了。譬如，學生能夠背誦“含有未知數的等式叫做方程”“由三條線段圍成的圖形叫做三角形”，再運用這些定義來做很多的判斷，就算是學會方程和三角形了嗎？能算是抵達數學學習的終點了嗎？顯然不是。學習數學更重要的應該是掌握它的精神、思想和方法，而不能僅僅滿足于形式上的知道、程序上的了解。

“學會”僅僅是數學教學的底線目標，但就是這個底線目標我們也可以從不同的層次來把握它。譬如，學習“角的度量”，有人學會的是一種技能，有人學會的是一種原理，還有人學會的可能是一種思想：技能層面的學會，僅僅從應試的角度來看他們學會用量角器度量角的大小了，但是我們的教學不能止步于此；原理層面的學會，不但學會了用量角器量角的技能，還能夠掌握量角器的度量原理，知道這個工具是怎樣被創造出來的；思想層面的學會，不但會度量的原理，還能理解度量的標準，也像以前學過的長度、面積的度量一樣，是用較小單位作為統一的標準來度量的。學生到底是在“技能層面”“原理層面”還是“思想層面”學會了“角的度量”對他們今后的發展是具有不同的價值的。我們應該允許不同的學生在不同的層次上掌握這些內容，但是我們要有意識地引領更多的學生在更高處把握教學內容的數學精髓。我們所有的數學教育工作者都應該牢記：數學教育的目標應該是“上不封頂，下要保底”的。

當然，上面的論述還著重是從知識技能的角度來分析的，教學過程中我們不僅僅要關注“雙基”，還得看到“四基”；不僅僅要關注“兩能”，還得看到“四能”；不僅僅要關注“知識與技能”“過程與方法”，還得看到“情感、態度、價值觀”。這時候所謂數學學習目標的達成又有了新的更豐富的內涵。那些真正需要加以關照的學生核心素養的發展，如對數學學習的熱愛，對祖國和民族的認同，自尊自信和積極進取的心態，問題解決能力與創造精神，等等，絕不是一堂課所能到達的，不同的人也有不同狀態的“到達層次”，終點的意義也就變得多維而立體了。

劉加霞博士曾指出：新課程改革倡導“做數學”，在“做”的過程中掌握基本知識與技能，體驗感悟數學的思想方法，并學會引用數學解決問題，進而感受數學的神奇魅力與應用價值等，即是“三維教學目標”的有機整合、整體落實，這樣的教學才是“有效的教學”。劉老師所說的正是我們著力追尋的一種理想狀態，實踐中“教學的目標”和“學習的結果”兩者之間永遠是有落差的，我們應該通過努力盡可能地縮小這種落差。從這個意義上看，數學教學、兒童的數學學習應該是永遠沒有終點的，我們只是在不斷地一步一步逼近理想中的“終點”而已。我們不妨將這種意義的終點稱為“可能終點”。

三

上文所表達的“學有起點，但無終點”的觀點，在一定程度上讓我們對兒童數學學習有了更多的認識。那教學實施過程中我們如何能夠貼著學生的最近發展區來展開教學，讓“學習真正發生”呢？在規劃教學目標、設計教學流程的時候我們必須認真思考：“學生現在在哪里？”“我想把他帶到哪里？”甚至還要思考“我將怎樣將他帶到那里？”“學生現在在哪里？”這是教學起點的問題；“我想把他帶到哪里？”就是教學終點的問題；“我將怎樣將他帶到那里？”則是教學過程的問題、教學方式的問題。當然，我們也意識到，教學實施的過程中所謂的“起點”和“終點”隨著教學的推進也可能是動態變化的。數學教學不能淪落成“無軌電車”，但也不能只是在固定的軌道中僵硬前行，它應該是規范與自由、預設與生成、現實與可能、確定與不確定的動態演進，辯證統一。正如成尚榮先生所說的那樣：起點就像海洋里的波浪，不斷地向前推，一個終點的到達就是下一個新起點的開始。

學生的主動積極發展、生動活潑發展、全面和諧發展才是數學學習持續前行的目標指向所在，也是兒童數學學習的“現實起點”與“可能終點”的完美結合點。

（責編 金 鈴）