逆經驗干流而上 覓數位表之演變價值

金奎

[摘 要]數位順序表串聯著整數學習的脈絡。以“干流”為喻，直觀形象地闡述數位順序表演變過程中，學生積累整數學習的經驗的始末。立足教材的分析與對比，捕捉到在數位順序表、計數器、輔助圖的多次無縫鏈接中，學生經歷學表、借表、補縫、隱表、無表的壓縮與釋放。最終，整數學習干流中的經驗不斷豐盈，數位表演變價值不斷突顯，知識結構逐步建立牢固。

[關鍵詞]逆覓 經驗干流 數位表 入海口 源頭

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）11-017

干流指什么？在一個水系中，直接流入海洋或內陸湖泊的河流可稱干流，流入干流的河流叫做支流。加以引申，“數”經驗干流則是指直接影響數概念建立中各階段的主體經驗，其間眾多支流可稱為支經驗，進而形成與河流相似的經驗流。

整數是學生能親手觸摸的數，認識、大小、數位、計數、位數、取值等眾多知識，都包含在壓縮模型——數位順序表中，決定它成為整數認識的經驗干流。（如下圖）

由圖可見：大數認識之前，學生經歷著長時間整數的浸潤，數位順序表串聯著整數學習的脈絡。其間目睹著經驗干流的擴展與壯大，當經驗集聚已像洪峰一樣隨時會“決堤而出”時，分級線成為入海口，如何平穩入海？數位順序表經歷了怎樣的壓縮與釋放？不妨逆尋“表”的演變，探究其教學價值。

干流的入海口如何形成？

涓涓細流，匯成大海，入海的悲壯誰來識？

四年級上冊“大數的認識”是學生認識整數暫告一段落的節點。其間數位順序表在經歷了“提取、抽象、壓縮”后在此處悄然隱退，釋放為淡淡的“印痕”——“分級線”，成為認識大數、理解大數、比較大數的核心線索和重要手段，并悄然入海。

一、學表→借表

1.四位一級的整體性認知

“萬以上數的認識”延續原有用計數器遷移進率的經驗，進一步完善數位順序表，第一次明確概括了計數單位、數級、數位的概念，教學中可以讓學生讀一讀、填一填加深對表的認知與記憶，使學生掌握個級包括個位、十位、百位、千位，萬級包括萬位、十萬位、百萬位、千萬位，以此類推億級的各個數位，從整體上認知“四位一級”的有序性，并體會數的無窮大。

2.關鍵數位的占領性記憶

當學生已經熟練掌握基本知識后，可說一說：從右邊起，第五位是什么位？第九位是什么位？適時點撥：記住從右邊起第五位是萬位，第九位是億位。

萬位和億位作為兩個“戰略高地”，既是各級的轉折點，也是充當了分級線演變進程中 “拐杖”的角色，數的讀法、寫法都將借數位順序表進行學習，教師需通過點、面結合的方式，引導學生反復操練。有了對數級的扎實掌握，數位表與分級線可共同出示：

兩級的數怎么讀？讀的時候腦中浮現的是什么？成功的學習往往是前經驗的提取。在“表”與“線”的聯合中，首先提取的是萬以內數的讀寫法，為萬級的讀寫提供經驗；其次提取的是回想數級，運用分級線加上“萬”字或把分級線當作“萬”字寫出萬級上的數字。至于零的讀法與補位，都與“四位一級”相關，更加說明了數位順序表的現實意義。

3.分級線的隙中補縫

以上兩圖中的數位順序表外形更為簡單，但可能會打亂學生剛剛建立起來的表的具象，為了及時彌補，可跟進以下練習：

學生借助數位表中的數級直接在表下用虛線劃分各級，充分感知分級線與表中數級之間的對應關系，認識與讀法之間的縫隙得到填補；表與線的柔和處理使“流經之地毫無堵塞，順利暢通”，讓更多的學生體會數學前后知識之間的內在聯系，學會有意識把控演變經驗。

二、有表→隱表

教材從完整表到簡單表，步子穩健，并以表和分級線同時呈現的方式使學生能夠在顯與隱的交互中掌握讀寫方法，但這并不是教學所要達到的最終目標，事實上數位表的隱形就是分級線，所以“有表有線”必將行進為“無表有線”。（如下表）

這些讀寫的練習都遵循由表到隱表的思路。讀數時，借助“萬”字定乾坤；寫數時，引導學生先畫分級線再寫，發揮出“表”的作用。

三、強化→弱視

分級線不斷強化，數位表漸漸隱去，讀數和寫數有了更簡潔的“眼見載體”。每見到讀數或寫數，學生腦中會一下子跳出分級線，說明分級線已真正成為數位表的代言。盡管億以上數的認識（左下圖）也還是從表入手進化為分級線，但事實上學生已經越過了“表”的經驗，完全可以采用自學的方式進行。

讀數中學生可以自主表示分級，更重要的是“，”比虛線更為簡潔，形式上更接近無線。在讀數與寫數的混合練習中（如右上圖），教材中沒有任何分級的提示，就是讓學生根據自身的能力選擇合理的方式，這種強化與弱視并行的 “寬容”充分關注了不同的學生渡過“洪峰”的時差。

四、有形→無形

無論是“表”或是“線”，都是對整數認識的有形支撐，吻合學生認知的規律。當線的刺激由強變得越來越弱時，更多的學生也許會用心中的符號代替線，如下例取近似數時常常會在千位加“點”——借萬位找千位，那么億以上數的改寫或省略則借億位找到千萬位，這已經是分級線的“變形”，也是占領性記憶的用武之地。能想到這樣加“點”，其實學生已經無數次地閃現過“無線”的念頭，甚至有的已用腦中“留空”或筆下“留空”的方式直接研究了。

數位順序表這一“干流”憑借分級線的強與弱、有與無渡過洪峰般的經驗涌動，實現有機提升。但這一路并不艱辛與驚險，“線”，無需做出力挽狂攬的壯舉便出海，這說明原有經驗對大數認識具有較強的“保駕”之力。不妨逆流而上，尋覓干流的途徑與源頭。

支流的匯入為哪般？

干流中流淌的經驗來自于眾多支流的匯入，學生的方法、能力都隨著匯入更加豐富。如二年級下冊的“萬以內數的認識”分兩部分進行，一是1000以內數的認識，二是10000以內數的認識，但兩個階段不僅僅是內容的承接，更重要的是經驗的歷練、方法的選取：

不難看出，“1000以內數的認識”中，通過立體、面、小棒等引出計數器中的千位；在此基礎上“10000以內數的認識”則把計數器抽象為大數認識前最完整的數位順序表，并進化為簡易的數位表進行寫數教學，這與大數教學完全一致，“100以內的數的認識”也是如此。可見計數器是數位順序表最接近的數學實物圖，無論哪個階段，它將成為學生理解數的組成、讀寫等知識的最重要載體。

干流的源頭在哪里？

計數器給了整數認識強大的直觀支撐與理解，學生既可以把具象的數逐步抽象成珠子，又可借眼見的珠子釋放大量生活實物，那么計數器是什么時候引入教學的？干流的真正源頭在哪里？

1.計數器首次出現的輕巧

計數器在一年級上冊“11～20數的讀寫”一課第一次正式出現，并做到了三對應（左下圖）。一是借助熟知的小棒生活實物圖輕巧地引出計數器這一學具實物圖，學生能夠感悟十位、個位與之一一對應，明白十根小棒只用十位上一顆珠子即可替代的計數原理；二是數位與數的抽象圖，對應計數器十位和個位的珠子圖，使“數”可在具象與抽象之間自由穿越；三是文字表述與各輔助圖遙相呼應，學生可以根據“圖經驗”初步感知數位順序與數的讀寫法，這也正是以后學習更大數的策略與方式。為了突出計數器對于數認識的作用，教材（右下圖）加強了計數器“展開式”與“壓縮式”的對比練習，突破十位上一顆珠子的“事實數量”就是十塊方格的難點；計數器畢竟只是數位表的過渡，因此第2題又據“表”建“位”，幫助學生讀數與寫數。

2.輔助圖多層次的豐羽

小棒不僅是生活實物也是學具實物，成為計數器的原形完全符和兒童理解數學的認知規律。其實在零起點教學時，學生已經緊緊依靠這些輔助圖學習數了。

1～5的認識突出了生活實物圖與學具實物圖（如小棒、算珠）等的結合，然后抽象為數學意義的點子圖，多種輔助使數學“有血有肉”。從順逆兩方面分析可以看出“6、7的認識”成為數啟蒙認識中的紐帶：“6”承接了1～5以“展開小棒根數”為主的呈現方式，但隱去了生活實物圖，而“7”首次以“折疊的幾根”去擺一擺，引導學生自己去創造“多少”，并把這一方式延續給8、9、10的認識。因此，“20以內數的認識”整個過程已出現多層次數的認識輔助手段，為計數器的產生、數位表的壯大、分級線的演變等積累了豐富的活動經驗和推理經驗，能讓學生在整數學習的“河道”里根據自身認知水平去自由游弋。由此看來干流的源頭，就在步入認識“1”的那一刻。

結語

當我們從分級線這一入海口逆干流而上，找到源頭的那份期待越發迫切；當我們順流而下，一路感受著各個階段中學生對于數的認識日益深刻的那份喜悅：執著中經歷了從生活實物圖、學具實物圖，到數學實物圖、數學抽象圖等支流經驗的積累過程，逐步實現計數器與順序表的無縫對接；然而干流越來越寬廣，越來越充盈時，卻只化為一縷細線，縱身匯入數的大海……

（責編 金 鈴）