基于幾何與圖形學習重難點突破的導引策略研究

沈燕芬

[摘 要]在學習“幾何與圖形”時，學生往往存在思維混亂、混淆等情況。分析造成學生思維困擾的原因，并通過關注學科知識系統，整體感知有效建構；把握概念本質內涵，學會主動建模；同化順應改造提升，實現數學知識數學化；俯身克服實際困難，切實發展空間觀念；等等策略來培養學生的空間觀念和幾何直觀能力，切實發展學生的數學素養。

[關鍵詞]圖形幾何 導引策略 思維困擾

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）11-023

在“幾何與圖形”的教學中，教師應幫助學生建立空間觀念，注重培養學生的幾何直觀與推理能力，但很大一部分學生在學習中存在思維混亂、混淆等情況，導致學習“幾何與圖形”成為難點。為此，我嘗試分析“幾何與圖形”教學中學生思維混亂的成因，對“幾何與圖形”學習中典型的學生困惑進行了引導策略探究，從而培養學生的空間觀念和幾何直觀能力，切實發展學生的數學素養。

一、關注學科知識系統，整體感知有效建構

小學生具有直觀想象為主的特點，他們需要借助視覺、聽覺、觸覺等感官來認知幾何圖形。因此，教師要引導學生通過看、摸、做等來把握幾何圖形的特征，從而使他們對幾何圖形產生穩定、清晰的空間觀念。比如，三角形的高是指三角形的頂點到它對邊的距離，這樣的定義相對抽象，學生難以理解。在教學時，教師可讓學生感知生活中各種高的存在形式，并且出示不同的三角形物品，讓學生畫它們的高，從而使學生對三角形的高有較為全面而深刻的認識。

【例1】“三角形的高”的教學片斷

1.復習引入

（1）過A、B兩點畫一條直線；

（2）從直線AB外一點C，畫出點C到直線AB的距離；

提問：從直線AB外一點C到直線AB的距離，是怎么畫的？

（由C點向直線AB畫垂直的線段，就是C點到直線AB的距離，并板書“垂直線段”）

（3）過直線外一點C畫直線AB的平行線；

（4）在直線AB的平行線上任取兩點，畫出它們到直線AB的距離。

提問：在直線AB的平行線上任取兩點，它到直線AB的距離如何，為什么？

（長度相同，因為平行線間距離處處相等）

2.引入課題

提問：如果用直的線連接AC、BC、AB，那么AC、BC、AB間的部分叫什么？連接后就形成了什么圖形？（線段AC、BC、AB；連接后形成一個三角形。）

三角形高的畫法：

（1）反思三角形高的形成

指著黑板中三角形ABC內的一條線段（即點C到直線AB的距離），問：該線段是怎么畫出來的？

點C到AB邊的距離，就是三角形ABC底邊AB上的高。

課的開始，復習點到直線的距離、平行線間的距離、線段及線段與直線的關系等都是本節課新知識的生長點，其中點到直線的距離——點到線段的距離——點到三角形邊的距離的揭示過程，讓學生經歷三角形的高的畫法的形成過程（即過程目標），讓數學知識構成網狀結構，有利于學生對知識的整體感知和有效建構。

二、把握概念本質內涵，學會主動建模

學會數學思維首要的是先學會數學抽象，數學概念作為數學抽象的產物，其反映的是一類事物或現象在量的方面的共同性質。在學生獲得大量感知的基礎上，教師還要讓學生深刻領會概念的本質意義，準確地把握概念的內涵和外延，參與概念建構的過程。教師要引導學生運用邏輯思維方法全面、深入地思考問題，探究問題的實質，以便科學、簡便地解決問題。

【例2】“三角形的概念”的教學片斷

師：請同學們根據在生活中觀察到的三角形與看到老師剛才畫三角形的過程，來說一說下列圖形是不是三角形，并說出理由。

（1）出示圖6

學生一致認為不是三角形。理由是三角形的三條邊應是直的線段，但在這個圖形中有一條邊是彎曲的。

師：同學們認為三角形是由三條線段圍成的圖形。（板書：三條線段圍成的圖形）

（2）出示圖7

學生集體認為該圖形不是三角形，理由是三條線段頭尾沒有連接在一起。

師完整說出三角形的概念：三條線段頭尾相連圍成的圖形。（板書：頭尾相連）

（3）出示圖8

學生判斷是三角形，理由是該圖符合三角形的概念特征。

（4）出示圖9

學生判定不是三角形。

師：“誰能想辦法把它變成三角形嗎？”

生：“縮短或延長其中一條線段，讓三條線段頭尾相連就可以了。”

數學學習是學生主動建構數學化的一個過程。學生雖然不能完整描述三角形的概念，但是三角形的模型在他們的腦海中還是有一定印象的。此時教師關鍵在于如何引導學生讓其對三角形的模糊認識提升到一個比較清晰的表象。因此，該環節當中利用三次辨析來讓學生不斷完善三角形的概念，使之在腦子中形成深刻的表象，這是一個比較典型的數學建模過程，充分尊重了學生的已有經驗。在小學數學教學中，教師應特別注意以下兩點：第一，數學抽象源于現實及人們的運作；第二，數學抽象又高于現實，它是一種建構的活動。

三、同化順應改造提升，實現數學知識數學化

數學教學應該生活化、活動化，數學應回歸生活是新課程實施的要求之一，但僅僅用“回歸”是難以概括生活與數學的關系的。生活中獲得的各種經歷、體驗不一定能為抽象的數學概念提供適宜的基礎，甚至還會被各種因素所干擾。“生活數學”與“學校數學”之間有著本質區別。正如皮亞杰所說，在此所發生的并不只是所謂的“同化”，而是如何將新的材料納入主體已有的認知結構之中，從而使之獲得一定的意義，而主要是一個“順應”的過程，即如何對主體已有的認知結構做出必要的調整或重建。

【例3】“三角形的穩定性”的教學片斷

生1：“我發現有的三角形沒有穩定性！”

師：“是嗎？那就讓我們來體驗一下三角形的穩定性吧。請同桌之間相互拉一拉三角形的木架來進行感知。”

突然一位學生拿著三根小棒釘成的三角形木架叫道：“我發現有的三角形沒有穩定性！”

學生手上的木架是三角形的，三角形具有穩定性，但學生手上的三角形木架卻不穩定，為什么呢？

帶著思考和疑問，我請教了經驗豐富的教師，并查閱了大量的資料后，發現造成以上現象大致原因有二：一是將幾何中“三角形”圖形與生活中的“三角形”物體混為一談；二是將生活中的“穩固”與三角形的“穩定性”混為一談。

為解決上述學生的認知誤區，我讓學生在生活圖片中感悟穩定性，在操作中初步體驗三角形的穩定性，并在思考中領悟穩定性的本質含義。

數學教學應該與學生的生活經驗對接，但在活動化、生活化的同時，數學應與生活經驗建立聯系，但在“生活化”“活動化”的過程中，教師要喚醒學生與數學本質相通的生活體驗和知識，適時對學生的經驗進行重組、改造和提升，以防止數學內涵的流失。數學教學的活動化、生活化的最終歸宿是學生對數學知識的數學化。

四、克服實際困難，切實發展空間觀念

視圖和投影是教材新增加的內容，第一個學段要求學生根據具體事物的照片或直觀圖，辨認從不同角度觀察到的簡單物體的形狀，第二個學段要求學生能從不同方向來觀察物體，知道從不同方向看到的物體形狀圖實際上是一個平面圖，即從水平方向對物體所做的一個投影。

根據學生的實際來發展空間觀念，既包括從學生熟悉的事物入手，又包括對學生巧妙的幫助。

如圖10，從不同的方向觀察物體，辨認從正面、側面和上面觀察得到的簡單物體的形狀。

如圖11，找出李明、王宇、劉欣、趙爽對應看到的圖像。

這一活動涉及學生的空間想象能力和對幾何圖形的記憶，這是發展學生空間觀念的重要方式。教學時一般采用立體圖形作為觀察對象，以避免非數學的信息給學生的表達交流帶來不必要的障礙。教學中發現，學生正面觀察沒有太大問題，從側面觀察物體出現的問題比較多。這是因為教學時給學生觀察的物體都比較小，學生又不明白怎樣正對著一個面去觀察，結果一觀察就看到三個面，所以影響了學生的判斷。

通過從不同角度觀察茶壺，體會從不同的方向看同一物體，看到的結果可能不完全相同。這與學生的生活經驗是一致的。結合調查結果分析：學生雖然沒有系統地學習過觀察物體的方法，但生活經驗使他們已具有初步的觀察能力，但從側面觀察能力較低，選擇從側面觀察會看到茶壺的圖片時，易產生困擾。

解決上述問題有以下策略。

第一，指導基本觀察方法，實現觀察有效性

到底要讓學生看什么、怎樣看，往往是教師忽略的問題，其實，這正是學生觀察失敗的根本原因。因此，要將掌握基本的觀察方法當作首要要求達到的學習目標，在學生學習過程中教師必須對學生的觀察方法進行細致指導。如，在側面觀察物體時，學生往往不能有效地抓住物體的主要特征，此時可引導他們經歷“先猜想，先有目的地觀察，再回想”。首先猜想從側面看到的茶壺是什么樣子的，一些部位的相對位置是什么樣子，比如茶壺把在茶壺的哪邊；然后實際進行觀察；整體觀察后，再一個一個具體分析各部分的相對位置，并與剛才的猜想對比；最后閉上眼睛，回想觀察到的物體的樣子。我們在進行教學設計時，不僅要設計知識技能，還要重點培養學生“看不見、摸不著、想得到”的能力。

另外，觀察物體一般宜從觀察大的物體入手，觀察時要求眼睛與觀察物體保持同一高度。在學生積累一定的觀察經驗后，再指導學生去觀察小的物體。

第二，循序漸進螺旋提升，避免觀察形式化

在進行教學活動預設時，易采用遞進式活動安排，引導學生逐步拓寬活動內容。

第一步，首先從正面觀察，看到了什么？找出相對應的圖片。輪換座位后再次觀察，從正面看，茶壺的樣子是否發生了變化？再次找到對應的圖片。第三次輪換座位后，從左面觀察，看到茶壺的什么？找出從左面觀察得到的圖片，隨即請左面的同學幫助判讀。第四次輪換座位后，分別從正面、后面、左面、右面觀察，看到的茶壺有什么不同？找出相對應的茶壺圖（如圖11），分別請小組同學判斷。這樣設計可以及時地幫助學生糾正觀察中出現的問題，同時使學生感受到，自己在左側觀察到的茶壺也就是左側同學觀察到的茶壺。

由于一組4名學生所看到的茶壺各不相同，學生之間判斷所選圖片是否正確存在一些困難，小組的交流和評價就出現了問題。教學中，可采用同號互評的評價方式進行評價。小組4名同學分別為1、2、3、4號，全班12個小組，同方向觀察的學生編號也相同，擺放茶壺時要求放置方向一致。在交流觀察所看到的茶壺時，由同號學生判斷。這樣設計在進行觀察角色的轉換中，學生的空間觀念也將得到發展。

在教學中，教師要切實了解學生的實際困難和需要，給予具體的指導和幫助，培養學生的觀察、想象和表達能力，切實發展學生的空間觀念。

（責編 金 鈴）