借助波利亞解題思想，指導中學數學解題教學

文/王杰 高明

波利亞在《怎樣解題》中指出解題有四個環節: “弄清問題——擬定計劃——實現計劃——回顧反思”，并強調擬定計劃是解題的核心環節，而擬定計劃的關鍵在于聯想。本文以一道競賽題出發，著重通過“變、換、構、拆”四個方向，不同視覺、不同層次來擬定計劃和完成解題，以此體現擬定計劃的重要性。

題目:已知a、b、c∈R+.求證

弄清問題:本題是不等式證明問題，題目所給條件和結論有一定的結構特征，且可預測當且僅當a=b=c時，取最小值

角度1(擬定計劃——變)將原命題變形為有較強或明顯的結構式，利用結構特征和性質解題。

當且僅當a=b=c時，等號成立。故原不等式得證

角度2(擬定計劃——換)采用代換的方法，將復雜的結構簡單化，轉換問題。

當且僅當x=y=z，即a=b=c時，等號成立。

角度3(擬定計劃——構)通過觀察討論條件或結論的結構特征，構造解題模型，是解題最常用的手段。合理構造模型，尋找銜接點，可轉化問題，使問題巧妙解決。

顯然f＇＇(x)＞0恒成立，即函數f(x)為凸函數。

角度4(擬定計劃——拆)將原式整體分解，分解結論。解題的主要困難來自于結論的抽象概括，難以直接和條件聯系起來，可將結論分解為幾個簡單的部分，以便各個擊破，達到最快解決原問題的目的。

而a、b、c∈R+，故上式結論恒成立，原不等式得證。

本題考查的知識較為基礎，對于不等式的證明，方法也有很多。在這里，我們通過以上五種解法，從多角度，多層次來分析討論問題，有機地將不等式、函數等相關知識聯系起來，使解答具技巧性，又不失普遍性。

擬定計劃是解題的關鍵，它使整個解題過程具有方向性。同時，擬定計劃需要豐富的聯想，它是解題的紐帶，只有做到創造性的擬定計劃，才能做到解題的創造性。在教學中，教師應該有意識地讓學生自己去擬定計劃，做到有的放矢。既能培養學生多角度，多方位地考查問題，又能增強其創新能力，達到擴大視野和鍛煉思維的作用。