非負函數反常積分的收斂性判別法

劉小琦

[摘 要]正項級數的斂散性判別法很多，例如比較判別法、比值判別法（達郎貝爾判別法）、根值判別法、拉貝判別法，等價量判別法等。但是非負函數無窮積分的斂散性判別法卻不多。正項級數與非負函數無窮積分本有相似之處，本文將建立非負函數無窮積分斂散性的幾個新判別法，與正項級數斂散性判別法相類似。

[關鍵詞]非負函數；無窮積分；判別法

理論背景（反常積分的Cauchy收斂原理）

積分區間無限或被積函數無界的積分問題，這樣的積分叫反常積分。由于一般的被積函數的原函數并不一定是初等函數，即使是初等函數，也往往不易求出，因此有必要建立反常積分斂散性的判別法。

一、主要定理及證明

引理1：廣義積分的Cauchy收斂準則 設f在區間上有唯一奇點b，則廣義積分收斂，對b，b，成立這條準則為一切廣義積分的斂散性判別法提供了基本依據。

下面以為例來探討反常積分斂散性的判別法.

引理2：（Cauchy收斂原理）反常積分收斂的充分必要條件是：對任意給定的（﹥0 ）存在A0≧a，使得對任意A，A′≧A0，有∣∣﹤

證 令，則的收斂性與極限存在性等價。根據函數極限的柯西準則：存在的充要條件是：，正數，當>M時，有，即.

雖然Cauchy收斂原理是判別反常積分收斂性的充分必要條件，但是對于具體的反常積分，在使用上往往比較困難，因此需要導出一些便于使用的收斂判別法。

定理1.（比較判別法）設在[a，+∞﹚

上恒有0f（x）K，其中K是正常數，則

（1）當收斂時也收斂；

（2）當發散時也發散。

例1：討論的斂散性（a為常數）

解：因為當x1時有，因為收斂，由此比較判別法，絕對收斂，所以收斂。

推論1：比較判別法的極限形式，設在[a，+]上恒有f（x）0和（x）0且，則：

（1）若，則收斂時也收斂.

（2）若，則發散時也發散.

所以，當時和同時收斂或同時發散.

證 （1）若，由極限的性質，存在常數A（Aa），

使得當時成立即：。

（2）若>0，由極限的性質，存在常數A（Aa），使得當時成立，其中（當時，可取任意正數），即。

于是，由此比較判別法，當發散時也發散。

練1：討論的收斂性。

解：因為而收斂，

所以也收斂。

使用比較判別法，需要有一個斂散性結論明確，同時又有形式簡單的函數作為比較對象，在上面的例子中我們都是取為比較對象，因為他們正好能滿足這兩個條件，將定理1中的具體取為，就得到如下Cauchy判別法：

定理2（Cauchy判別法）設在上恒有，K是正常數，

（1）若，且，則收斂；

（2）若，且，則發散。

推論2（Cauchy判別法的極限形式）設在上恒有，且，則

（1）若，且，則收斂；

（2）若，且，則發散。

練2：討論的斂散性（a為實數）。

解：因為對任意常數a有，由Cauchy判別法的極限形式（1），可知也收斂。

定理3：（根值判別法）設任意，任意有，在[1，A]上可積，若則當時無窮積分收斂；當時發散。

定理4（拉貝判別法）：設f（x）在[1，+∞）連續且大于零，若，則當r>1時無窮積分收斂；當r<1時發散。

證：當r>1時，，有，

即，取p：，則當時有，

即，由可知這里n，N同上定理，于是存在僅僅與有關的常數M>0，使任意x>，有因為p>1，故無窮積分收斂，從可知收斂.

當r<1時，由可知，q<1，，，有，

若則由有，使f（x+1）>f（x），由定理可知發散。

若，則取，有.

即，由以此類推這里n，N同定理，又f（x）在[B0， B0+1]，故存在僅僅與B0有關的常數m>0使得，由可知無窮積分發散，從而由可知無窮積分發散。

定理5（拉貝判別法的推廣）設f（x）在[1，+連續且大于零，若，則當r>e時無窮積分收斂；當r定理6 f（x）在[1，+連續且大于零，a>1且為常數，若，則當當r>a時收斂；當r

記，則在連續，且。由于在上連續，于是是在上的一個原函數，利用分部積分法，上試又斷的第一項，而第二項中，由于單調，因此 保持定號，由積分第一中值定理，存在 ，使得

于是

。

注 在上面的定理假設下，還有如下結論：

（1）若在上單調遞增，且，則在存在，使得；

（2）若在上單調減少，且，則在存在，使得。

定理2 若以下兩個條件滿足其中之一，則收斂：

（1）（Abel判別法）收斂，在上單調有界。

（2）（Dirichlet判別法）在上有界，在上單調且。

證 設 是任意給定正數。

（1）若Abel判別法條件滿足，記G是在的一個上界，因為收斂，由Cauchy收斂原理，存在，使得對任意，有。

由積分第二中值定理，

。

（2）若Dirichlet判別法條件滿足，記M是在的一個上界。此時對于任意顯然有。因為，所以存在，當時，有。于是對于任意，

。

所以無論哪個判別方法條件滿足，由Cauchy收斂原理，都有收斂的結論。這兩個判別法有時也可以統稱為A-D判別法。

例3 討論的斂散性。

解 顯然有界，在上單調且，由Dirichlet判別法，收斂。但在，有，因收斂而發散，所以發散，由此比較發散。

因此條件收斂。

練4 討論的斂散性。

解 由上邊例子3收斂，而在上單調有界，由Abel判別法，收斂。

當時，有，由此比較判別法發散，可知非絕對收斂。

因此條件收斂。

三、結語

在判別反常積分斂散性時首先要明確函數積分類型，然后選取相應的定理來證明，常用的證明方法就是比較判別法和A-D判別法，如果沒有區分好積分類型就盲目的證明既浪費時間又浪費精力。

參考文獻：

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