在探究中感悟本質(zhì)，在思考中發(fā)展思維

2023年江蘇省泰州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷第16題（以下簡(jiǎn)稱“第16題”）是一道圖形旋轉(zhuǎn)與翻折的填空壓軸題，在考查相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，重點(diǎn)考查學(xué)生的幾何動(dòng)態(tài)探究能力、數(shù)學(xué)本質(zhì)感悟能力、有序思考與反思質(zhì)疑能力。本文基于“第16題”的思路分析與問題剖析，談?wù)劇霸谔骄恐懈形虮举|(zhì)，在思考中發(fā)展思維”的數(shù)學(xué)教學(xué)策略。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°lt;αlt;75°），與射線AB相交于點(diǎn)D，將△ACD沿射線CP翻折至△A′CD處，射線CA′與射線AB相交于點(diǎn)E。若△A′DE是等腰三角形，則∠α的度數(shù)為" " " " " "。

二、問題剖析

本題以填空題形式出現(xiàn)，不需要書寫過程，答案錯(cuò)誤或部分正確均不給分。據(jù)了解，該題正確率不到1%，完全出乎預(yù)料，絕大多數(shù)學(xué)生少了答案∠α＝67.5°。盡管試題具有一定的難度，但探究方法、分析思路比較常規(guī)，沒有標(biāo)新立異。那么，為什么得分率如此之低呢？筆者認(rèn)為主要有以下幾個(gè)原因：信息提取不完整，理解不準(zhǔn)確；圖形特征被忽視，未抓住本質(zhì)；數(shù)學(xué)思維套路化，缺乏有序性；探究路徑不清晰，策略不明確等。從學(xué)生答題情況來看，不少學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)問題的研究路徑不清晰，不知道從什么地方入手、如何入手，缺乏探究動(dòng)態(tài)問題的合理策略與有效方法。

三、應(yīng)對(duì)策略

1.發(fā)揮教材作用，引導(dǎo)學(xué)生追根溯源

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的載體，也是數(shù)學(xué)命題的源頭。本題所運(yùn)用的等腰三角形分類、圖形的翻折變換都能從教材中找到源頭，例如蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“2.5" 等腰三角形的軸對(duì)稱性”習(xí)題第1題：（1）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為4，求它的腰長(zhǎng)；（2）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為4，求它的底邊長(zhǎng)。第6題：在△ABC中，∠A=60°，當(dāng)∠B為多少度時(shí)，△ABC是等腰三角形？這兩道習(xí)題正是以等腰三角形的研究為載體滲透分類的思想方法。另外，這一章還專門安排了“折紙與證明”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，旨在讓學(xué)生通過操作探究活動(dòng)進(jìn)一步感受圖形翻折的數(shù)學(xué)本質(zhì)。因此，教師在教學(xué)過程中要充分發(fā)揮教材的作用，一方面，在研究數(shù)學(xué)問題（包括中考題）時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，從教材中找到原型、方法和依據(jù)，感受數(shù)學(xué)問題的來路；另一方面，要利用教材例題、習(xí)題、數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)閱讀等素材，引導(dǎo)學(xué)生通過探究與思考，提煉數(shù)學(xué)的本質(zhì)與方法，并將教材問題拓展與延伸，尋找教材問題的去路。

2.加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀，準(zhǔn)確提取信息

數(shù)學(xué)和其他學(xué)科一樣也需要閱讀，在閱讀中提取信息，在閱讀中理解思考，在閱讀中批判質(zhì)疑。比如，本題比較容易得到∠α為22.5°和45°，此時(shí)要思考：試題中為什么有0°lt;αlt;75°的條件？有沒有必要對(duì)45°lt;αlt;75°的圖形進(jìn)行研究？另外，題目提供的圖形中，點(diǎn)A′在射線AB的下方，然而在該動(dòng)態(tài)問題中，隨著射線CP繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A′一直在射線AB的下方嗎？通過圖文信息的閱讀與思考，試題中所隱藏的信息很快便浮出水面。

3.關(guān)注探究過程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)要求，并將“基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”“數(shù)學(xué)的思想與方法”“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”明確為數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的重要組成部分。數(shù)學(xué)教學(xué)要關(guān)注探究過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、猜想、推理、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，本題中的條件“△A′DE是等腰三角形”，此時(shí)應(yīng)要思考哪兩條邊相等，需要分類討論，這是基于對(duì)開放性問題的探究經(jīng)驗(yàn)；條件中的“射線CP從射線CA開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°lt;αlt;75°）”，表明這是一個(gè)連續(xù)的運(yùn)動(dòng)過程，需要依次畫出各種狀態(tài)（包括臨界狀態(tài)）的圖形，思考點(diǎn)A′的位置與△A′DE的形狀，并嘗試探究使△A′DE為等腰三角形時(shí)角與角之間的數(shù)量關(guān)系，這需要有對(duì)動(dòng)態(tài)問題的操作探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

4.強(qiáng)化思路分析，重視方法指導(dǎo)

解決數(shù)學(xué)問題，除了需要掌握并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)外，還需要清晰的研究路徑與明確的分析思路、合理的解題策略與有效的解題方法做支撐。無論是解決現(xiàn)實(shí)問題還是數(shù)學(xué)問題，首先必須思考解決問題的路徑并捋清分析思路，這應(yīng)該成為一種習(xí)慣。如“第16題”是基于動(dòng)態(tài)探究、邏輯推理的角度計(jì)算問題，其探究路徑一般為：第一步，畫出并思考∠α從0°到75°變化時(shí)點(diǎn)A′的各種可能位置；第二步，研究點(diǎn)A′各種位置下△A′DE為等腰三角形時(shí)的角度關(guān)系；第三步，利用角度的數(shù)量關(guān)系求出∠α的大小。

同樣地，選擇合理的解題策略與有效的解題方法至關(guān)重要，不同類型的問題應(yīng)該選擇不同的策略與方法。本題作為填空題只需得到正確的結(jié)果，并不要求寫過程。因此，準(zhǔn)確、完整且快速地解決問題需要想象、推理與計(jì)算。事實(shí)上，該題的推理與運(yùn)算過程并不復(fù)雜，關(guān)鍵是用足條件、操作探究與有序思維。

5.揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、簡(jiǎn)潔性、統(tǒng)一性等特征，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的最高層次是揭示具有一般性的、最本質(zhì)的特征與規(guī)律、方法和思想。數(shù)學(xué)是思維的體操，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)人的邏輯思維能力，提升思維品質(zhì)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要在揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、優(yōu)化思維品質(zhì)上下功夫。

在解決問題中揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。在解題教學(xué)中，教師要關(guān)注通性與通法，少講技巧和所謂的模型、套路。比如“第16題”屬于圖形的旋轉(zhuǎn)與翻折問題，其本質(zhì)是變化前后的圖形之間的關(guān)系屬于“具有特殊位置關(guān)系的圖形全等”。圖形旋轉(zhuǎn)后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等；圖形翻折后，同樣有對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕（對(duì)稱軸）垂直平分；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到折痕上任意一點(diǎn)的距離相等。抓住這些數(shù)學(xué)本質(zhì)，問題就能迎刃而解。同時(shí)，通過具體問題的解決過程，反過來又能強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示與理解。

在反思質(zhì)疑中優(yōu)化思維品質(zhì)。直觀與想象、推理與論證、質(zhì)疑與反思都是重要的思維品質(zhì)。以質(zhì)疑與反思為例，教師要通過問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)條件與結(jié)論、過程與方法進(jìn)行質(zhì)疑、探究，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑反思的能力，從而充分發(fā)揮試題的教學(xué)價(jià)值。如“第16題”在解答后可以從以下方面質(zhì)疑與反思：為何要添加“0°lt;αlt;75°”的條件？沒有這個(gè)限制條件會(huì)出現(xiàn)什么情況？為何要強(qiáng)調(diào)射線CA′與AB相交？如果∠A換成其他角度情況如何？經(jīng)過深入的反思質(zhì)疑、探究思考的過程，不僅有新的發(fā)現(xiàn)，收獲新的結(jié)論，更重要的是增強(qiáng)了數(shù)學(xué)探究能力，提高了數(shù)學(xué)思維能力，優(yōu)化了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）