感悟不等關系，建立不等式（組）模型

龔雪霜 仲秀英

不等式（組）是繼方程（組）之后的又一個重要數學模型，在學習的過程中，我們要結合具體情境體會不等式的意義，探索不等式的性質，并體會探索過程中所蘊涵的數學思想，學會挖掘具體情境中的不等關系，建立不等式（組）模型解決實際問題.

一、結合具體情境，體會不等多的意義

數量之間既可以相等，也可以不等.在日常生活中我們會發現，相等關系只是一種特殊的數量關系，不等關系才是最普遍的數量關系，比如從自己身邊找兩名同學，他們的體重一般不會正好完全相同，中午的溫度一般比早上的溫度高，這些情境中都包含了數量之間的不等關系，在數學中，我們通常用“>”“<”“≠”等符號來表示不等關系，用不等號表示數量關系的式子就稱為不等式，使不等式成立的未知數的值叫作不等式的解.例如，按照規定，每100g某種食品中的防腐劑不能超過0.5g.它的意思就是在100g這種食品中，防腐劑的質量小于或等于0.5g.若設100g這種食品中防腐劑的質量為fg，則f≤0.5，所有小于或等于0.5的正數都是該不等式的符合實際問題的解，

生活中的不等關系無處不在，我們要學會用數學的眼光去觀察、發現，并嘗試用不等式這樣的數學語言來描述，反之，對于具體的不等式，我們也可以結合具體情境來體會它所表達的意義.

二、探索不等式的性質，感悟不等關系

我們已經知道，在等式的兩邊加上（或減去）同一個數或式子，乘（或除以）同一個數（除數不為0），等式仍成立.那么，不等式是否也有類似的性質呢？我們可以采用數軸法、賦值法、現實情境法等進行探索.在此，我們以數軸法為例來說明.

設有不等式a>b，則a>b在數軸上的幾何意義是，表示數a的點在表示數b的點的右側（如圖1，我們只討論a>b>0的情況，其他情況大家可以類比進行探索）.

在不等式a>b的兩邊加上（或減去）同一個數，會得到什么樣的結果呢？先假設不等式兩邊加上（或減去）的這個數為c.如果c=0，則數軸上表示a、b的點不動，a±c>6±c；如果c>0，則a+c和b+c就相當于在數軸上將表示a、b的點同時向右平移c個單位長度（如圖2），a-C和b-c就相當于在數軸上將表示a、b的點同時向左平移c個單位長度（如圖3），從而可以得到a±c>b±c：如果c<0（此時一c是一個正數）.則a+c和b+c分別是a-（-c）和b-（一c）.相當于在數軸上將表示a、b的點同時向左平移一c個單位長度（圖略），a-c和b-c分別是a+（一c）和b+（一c），相當于在數軸上將表示a、b的點同時向右平移一c個單位長度（圖略），從而可以得到a±c>b±c.于是我們得到不等式的性質1.

性質1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數或式子，不等號的方向不變，即如果a>b，那么a±c>6±c.

在不等式a>b的兩邊乘（或除以）同一個數，會得到什么樣的結果呢？首先，不等式兩邊乘（或除以）的這個數不能為0（不能同除以0是因為0不能作除數，為什么不能同乘0

通過以上探究過程我們可以看出，不等式兩邊加上（或減去）同一個數或式子，乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.這個探索過程蘊涵了類比思想、分類討論思想和數形結合思想等，同學們要仔細體會這些數學思想，并學會運用它們解決數學問題.

三、建立不等式（組）模型， 解決實際問題

通過以前的學習，我們知道利用方程（組）可以解決實際生活中的相等關系問題，類似地，利用不等式（組）可以解決生活中的不等關系問題.利用不等式（組）解決實際問題，實質上就是從實際情境中抽象出不等關系，建立溝通已知數與未知數的不等式（組），解不等式（組），然后回到實際問題進行檢驗，得到實際問題的解.具體操作過程見圖6.

下面我們借助實例來說明.

例1某公司為了擴大經營，決定購買6臺機器用于生產某種活塞.現有甲、乙兩種機器可供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產活塞的數量如表1.經過預算，本次購買機器所用資金不能超過34萬元.

（1）按該公司的要求共有幾種購買方案？

（2）若該公司購買的6臺機器的日生產總量不能少于380個，那么為了節約資金應選擇哪種購買方案？

解析：（1）第一步，根據實際問題尋找不等關系.

結合題意，由“不能超過”可知，購買甲、乙兩種機器所用資金小于或等于34萬元，從而找到不等關系.

第二步，根據不等關系建立不等式（組）.

設購買甲種機器x臺（x≥0），則購買乙種機器（6-x）臺.用含x的代數式表示出購買兩種機器所用的資金，根據前面分析所得的不等關系，列出不等式7x+5（6-x）≤34.

第三步，求解不等式（組）.

經過去括號、移項、合并同類項、系數化為1等步驟，解得x≤2.

第四步，根據問題的實際意義檢驗不等式（組）的解，從而解決實際問題.

根據題意，x表示購買甲種機器的臺數，應為自然數，所以x可以取0、1、2.該公司有如下三種購買方案：①不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；②購買甲種機器1臺、乙種機器5臺；③購買甲種機器2臺、乙種機器4臺.

（2）方案①所用資金為5x6=30（萬元），新購買機器日生產總量為60x6=360（個）；

方案②所用資金為7x1+5x5=32（萬元），新購買機器日生產總量為100×1+60×5=400（個）；

方案③所用資金為7×2+5×4=34（萬元），新購買機器日生產總量為100×2+60×4=440（個）.

通過比較可知，選擇方案②既能滿足日生產總量不少于380個的要求，又相對節約資金，故應選擇方案②.

同學們在學習本章知識的過程中，要注意體會和感悟不等關系，學會在具體情境中提煉不等關系，建立不等式（組）模型解決實際問題.