推理與證明考點預測

童其林

推理是思維的核心.數(shù)學解題過程就是推理過程，證明要推理，運算要推理，判斷問題正確與否要推理，可以這樣說，推理和證明是數(shù)學的血液和靈魂，離開了推理和證明，數(shù)學就不完整了.由此可見，推理和證明在數(shù)學學科中的重要性.

一、考情分析

從2007-2014年高考廣東數(shù)學的推理和證明的真題分析可知：考查演繹推理、數(shù)學歸納法、直接證明的地位保持不變，合情推理和間接證明考得較少（2007年第12題），形成了廣東“特色”的推理和證明命題特點.這些與高考的《考試說明》是吻合的，我們只要認真分析下面的考點介紹就會對高考的考試要求更明確了，只有這樣，我們才可以真正地高效備考，才可以有效突破推理和證明這類題型.

二、考點介紹

（一）合情推理與演繹推理

1. 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.

2. 了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.

3. 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.

（二）直接證明與間接證明

1. 了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.

2. 了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.

（三）數(shù)學歸納法

了解數(shù)學歸納法的原理，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.

三、考點預測

針對《考試說明》的要求，并結(jié)合考題可能的變化，本文大膽地對推理和證明的具體考點進行預測和分析，供考生們復習時參考.

（一）熱點

熱點一：考查演繹推理

例13.“底面是正三角形，側(cè)面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐”“側(cè)面都是全等的等腰三角形的三棱錐是正三棱錐”“三棱錐的側(cè)面與側(cè)面所成的二面角相等底面是正三角形的三棱錐是正三棱錐”… 為什么說此類問題都是錯誤的？

解析：如圖， 底面ABC是正三角形， 側(cè)棱SA⊥底面△ABC，且SA=AB， 這時△SAB、△SAC都是等腰直角三角形， 而△SBC是等腰三角形， 顯然三棱錐S-ABC不是正三棱錐.

在長方體ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC≠C1C， 則三棱錐C1-A1BD的四個面都是全等的等腰三角形， 顯然顯然三棱錐C1-A1BD也不是正三棱錐.

設S-ABC是正三棱錐， SA=SB=SC=2， AB=BC=CA=1， 以C為圓心，1為半徑在平面PAC內(nèi)作圓弧與PA交于一點A′， 連BA′， 則三棱錐S-A′BC中， △A′BC是正三角形，三棱錐的側(cè)面與側(cè)面所成的二面角相等（是原來正三棱錐S-ABC的側(cè)面與側(cè)面所成的二面角），顯然， S在底面A′BC的射影不是△A′BC的中心， 故三棱錐S-A′BC不是正三棱錐.

（二）冷點不可忽視

不變是暫時的，變才是永恒的，也可以說，冷點與熱點是相對的.鑒于廣東卷多年來少考合情推理和間接證明的情況，適當?shù)恼{(diào)整是有可能的，所以全面復習才是根本，做好準備才是坦途.

冷點一：合情推理

合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法. 在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng).合情推理是特殊到特殊的推理方法.

1. 歸納

點評：解決這類問題要善于觀察，找出特征和規(guī)律.

2. 類比

根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其它方面也 相似或相同，這樣的推理稱為類比推理.包括概念（定義）類比，運算類比，性質(zhì)類比，結(jié)論類比，方法類比等等.

反思歸納：應用合情推理應注意的問題：①在進行歸納推理時，要先根據(jù)已知的部分個體，把它們適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論. ②在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導類比對象的性質(zhì).注意：歸納推理關鍵是找規(guī)律，類比推理關鍵是看共性。

冷點二：間接證明

點評：牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦?”作為武器，在數(shù)學教材中，都有反證法的滲透，特別是在推理與證明的內(nèi)容里也有較多反證法的例題和習題，所以高考中出些有關反證法的問題，是容易理解的，也是非常有必要的.

反思歸納：適合用反證法證明的四類數(shù)學命題：①唯一性命題；②結(jié)論涉及“至多”“至少”“無限”的命題；③否定性命題；④直接證明較繁瑣或困難的命題.

總之，歸納和類比是合情推理的主要形式，在相關問題特別是在某些選擇題和填空題的求解中起著十分重要的作用，它深刻地揭示了特殊與特殊的關系、特殊與一般的思想.因此，高三復習中要善于運用歸納和類比進行推理，逐步學會發(fā)現(xiàn)，學會創(chuàng)造.

演繹推理是一種必然性推理，其基本模式是“三段論”.運用演繹推理證明問題時，應注意只有在大前提、小前提和推理過程都正確的前提下，得出的結(jié)論才一定正確.

反證法是一種間接的證明問題的方法，一般地，欲證命題的結(jié)論是以“最多”“至少”“唯一”等形式或以“不可能”“不存在”等否定形式給出時，常用反證法. 當一個命題從正面證明有困難時，不妨想想反證法.

（作者單位：福建省永定縣城關中學）

責任編校 徐國堅