利用類比培養創新思維

黃國福

摘 ? 要：學習需要方法.類比法是一種極有價值的方法，在數學教學中，用好此法，不但對學好數學有益，還能培養人的思維廣闊性和創新性，應予以重視.

關鍵詞：思維方法;類比;創新

引言

素質教育的今天，除了要教學生知識，我們更應該是教給學生思維方法，變學會知識為會學知識，進而發展學生的能力，這是我們的重要任務.本文著重談談如何應用類比法進行數學教學，培養學生的創新思維.

1 ? 類比的概念及方式

類比就是類比推理，它是根據兩個對象具有某些相同屬性而作出它們的另一些屬性也相同論斷的一種推理.當然，類比結果正確與否，是要證明或論證的.

類比通常有兩種方式.其一是根據兩種事物的屬性在某些方面相似，推想此二事物的屬性在其它一些方面也相似.比如，由矩形的兩條對角線相等且互相平分，推想長方體的對角線也相等且互相平分;由冪的整數指數運算法則推想冪的分數指數運算相應法則等.用好此法，能起“舉一反三”，“觸類旁通”的作用.

其二是將處理某種富有成效的經驗或方法借用到處理與其性質相似的另一事物上去.比如，用模擬力學系統平衡來求數學上一些極值問題的解;用數學上群論的方法來確定化學中物質的晶體結構等.此法應用得好，能使我們有所發現，有所創造 [1 ].

2 ? 類比的運用

2.1 ? 抓住對象的本質屬性進行類比

若兩個對象間的某些相同屬性是本質的，則類比推導的屬性比較可靠，并且相同屬性愈多，則愈可靠.

例如分數和分式，分數是分式的特殊情況，進行類比是有意義的.所以，由分數的基本性質和四則運算法則，可類比推出分式的基本性質和四則運算法則.

再如，平面幾何和立體幾何，前者是后者的基礎，后者是前者的發展，它們的很多基本元素是相同的.許多性質有本質上聯系，注意進行類比可將平幾的一些重要結論推廣到立幾中去.

例如：

平面 ? ? ? ? ? ? ?類比 ? ? ? ? ? ?空間

平行于同一條直線的 ? ? ? ? ? ? 平行于同一條直線的

兩條直線互相平行 ? ? ? ? ? ? 兩條直線互相平行

平行于同一條直線的 ? ? ? ? ? ?平行于同一個平面的

兩條直線互相平行 ? ? ? ? ? ?兩個平面互相平行等等

2.2 ? 利用抽象分析進行類比，得出新結論

數學中的類比并不總是淺顯的，經常要通過深入分析，才能順利地應用從而得出新概念，引出新猜想，得出新方法.例如，將平面幾何的勾股定理用類比推廣到空間必須通過一番分析（如圖1）.

平 ?面 ? ? ? ? ? ? ? ?類比 ? ? ? ? 空間

①三角形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①′四面體

②直角三角形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②′直四面體

③三邊有兩邊互相垂直 ? ? ?③′四個面（除一面外）

有三個面兩兩互相垂直

④c2=a2+b2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ④′So2=Sa2+Sb2+Sc2 ? ? [2 ]

2.3 ? 對有些探索性問題，通過觀察、分析、類比，可以構造出符合條件的實例，通過對具體的實例進行剖析從而能探索出結論.

例如，已知λ為非零常數，x∈R且f（x+λ）= [1+f（x）]/ [1-f（x） ].問f（x）是否為周期函數？若是，試求其周期，若不是請說明理由.

提示：由于探求的是周期函數問題，容易聯想到三角函數，又f（x+λ）= [1+f（x）]/ [1-f（x）]的結構形式極易與tan（x+π/4）=（1+tanx）/（1-tanx）進行類比，故可把tanx看成是f（x）的一個原型實例，且題中的λ相當于實例中的л/4，由于周期函數tanx的周期T=π=4×π/4，故可猜想f（x）也為周期函數，且周期為4λ，即利用題中已知去證f（x+4λ）= f（x）成立（過程略）.

本例的類比聯想給探索開拓了思路，并找到了結論的實例原型.

3 ? 使用類比的注意點

3.1 ? 利用類比要善于觀察事物的特點，注意從不同事物身上發現它們的共同或相似之處，并探究造成這種共同或相似的原因，要大膽地放寬眼界，不受自己的研究對象與學科的限制

例如，b>a>0，m>0，則a/b<（a+m）/（b+m）此不等式與化學中溶液濃度求法對比，在溶質為a的b溶液中加入溶質為m的溶液，濃度自然提高，所以此不等式不證自明.

再如下圖2所示的某地區的交通圖.其中小圈代表城鎮，小圈間的連線代表道路，連線旁的ak表示該段道路的公里數.要選擇一條從A到B的最短路線，此圖論中最短路線問題，目前已有多種解法，但計算量較大，頗費腦筋，當然現在也可交給計算機去做，不過有沒有另外簡單而有效的辦法呢 [3 ]？

利用蜘蛛沿最短路徑捕捉昆蟲得到啟發.用一種沒彈性脆細線設計一種模仿最短路線的“交通網”，利用拉牽A、B兩端，最易斷的則為最短路徑的簡單方法（原理、過程略）.

簡單的東西往往蘊含著深刻的道理，不僅僅是蜘蛛網給予我們如何求最短路線的啟示，而且還體現了數學及其自然科學上“模擬”這一重要方法的精神實質.

例如在圖3任意銳角ΔABC中求作內接ΔA′B′C′，使其周長A′B′+B′C′+C′A′為最短.此例利用了“光行最速原理”就可方便解決.

再比如，點K是雙曲線x2-=1的右焦點，點H在點K北偏東30°方向，長度為2的位置上.經測算，在雙曲線右支上，任何一處到點H的費用是到點K費用的2倍，問如何在雙曲線右支上選取一個位置，使它到點H和到點K的總費用最低？

這也是一個可類比利用光線從焦點K發出，經凹鏡反射后可平行反射出去的原理就可較快解決的問題.

3.2 ? 要善于聯想，從一事物聯想到與它性質相似的其他事物，從一種方式方法聯想到與其作用相似的其他方式方法，從一個概念或定理聯想到與其相關的一串概念或定理

如①若arctanX+arctanY+arctanZ=π.求證：X+Y+Z=XYZ

②試證：（a-b）/（1+ab）+（b-c）/（1+bc）+（c-a）/（1+ac）

=（a-b）（b-c）（c-a）/（1+ab）（1+bc）（1+ac）

以上二道題都可由我們熟悉的題目得出：在△ABC中， tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC以及其推廣：若∠A+∠B+∠C=Kπ（K∈Z）則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立，得到巧妙解法.

3.3 ? 類比往往配合歸納法，幫助我們得出新的發現.

例如證明恒等式

sinX/cosX=tanX①

（sinX+sin3X）/（cosX+cos3X）=tan2X ? ?②

（sinX+sin3X+sin5X）/（cosX+cos3X+cos5X）=tan3X ? ?③

之后，我們會很快歸納出：

[sinX+sin3X+…+sin（2n-1）X]/ [cosX+cos3X+…+cos（2n-1）X]=tan（nX） ? （n∈N）.

運用類比法，考慮與以上①、②、③式類似的，但X前的系數為偶數的式子，則我們又可歸納出

（sin2X+sin4X+…+sin（2nX））/（cos2X+cos4X+…+cos2nX）= tan（n+1）X（n∈N）.

再運用類比法，X前的系數成等比數列的式子，我們歸納出更帶有普遍性的式子.

{sinX+sin（a+d）X+…+sin [a+（n-1）d]X} / {cosX+cos（a+d）X+…+cos[a+（n-1）d]X}=tan[a+（n-1）d/2]X（n∈N） [4 ].

3.4 ? 使用類比應特別注意：

（1）只有本質上相同或相似的事物，才能進行類比.如果僅僅形式上相似而本質上都不相同的事物，不問青紅皂白地亂加類比，就會造成錯誤.

例如，由n（a+b）=na+nb“類比”出sin（α+β）=sinα+ sinβ，lg（X+Y）=lgX+lgY等等都是錯誤的.

（2）有限與無限的類比要謹慎，有時可以通過有限與無限類比來從事無限性對象的研究.但是，由于數學中有限與無限之間有著深刻的本質差異，這種類比的結論時常是不可靠的.如將有限和的加法法則運用到無限和會產生錯誤：例如

1+（-1）+1+（-1）+…

若我們隨意進行結合，則可能導致荒謬結論：

?。?[1+（-1）]+ [1+（-1）]+…=0;

ⅱ）1+ [（-1）+1]+ [（-1）+1] +…=1.

結果1=0.

又如，在無限過程中錯誤地類比有限過程的運算法則

=0+0+0+…+0=0 .

（3）類比得到的結論不一定正確.例如下面類比的結果是錯誤的.

平面幾何 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?立體幾何

垂直于同一直線的兩條 ? ? ? ? ? ? ? 垂直于同一直線的

直線互相平行 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 兩條直線互相平行

存在著任意邊數的 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 存在任意面數的

正多邊形 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多面體

由于類比是特殊到特殊的推理，其實質上是一種發現而不是論證方法.從邏輯上看，由類比法得到的結論，其真實性依據是不足的，必須經過嚴格的證明和檢驗，否則也會造成意想不到的錯誤.

4 ? 類比的意義

雖然數學注重邏輯推理，但單純的邏輯推理有時也會到了“山窮水盡”的時候，那么我們在類比中求發現，在比較中去鑒別和認識事物掌握事物的本質屬性就顯得尤為重要;同時用好類比法，可給我們學生掌握概念法則，啟迪思維，發現規律，突破教學中的難點起到很好的輔助作用.更為重要的一點是：類比不只是一種機械性模仿操作方法，實際上類比中還伴隨著聯想、猜測、概括及歸納等思維活動，所以它對于我們培養思維的廣闊性、創造性是非常有利的.

參考文獻：

[1]章士藻.中學數學教育學[M].南京：江蘇教育出版， ?1996.

[2] 楊泰良.中學數學教學理論與實踐[M].重慶：西南師范大學出版社 ，1989.

[3] 曾曉新.中學數學的思維與解題[M].重慶：科學技術文獻出版社重慶分社，1985.

[4]汪江松.高中數學解題方法與技巧[M].武漢：湖北教育出版社，2006.