投資組合優(yōu)化策略問題研究

王璐 吳婧

[摘 要]在借鑒Markowitz投資組合均值方差模型的基礎(chǔ)上，為風(fēng)險偏好不同的投資者設(shè)計了投資組合的復(fù)合模型：首先根據(jù)風(fēng)險與收益的短期預(yù)測選擇股票種類，其次依據(jù)風(fēng)險偏好確定投資組合收益與風(fēng)險的優(yōu)化比率，最后利用該優(yōu)化比率配置有限資金以使效用最大化。

[關(guān)鍵詞]盈利與風(fēng)險；投資組合；目標(biāo)規(guī)劃；Markowitz的均值—方差模型

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.34.041

1 前 言

在證券投資中，收益和風(fēng)險形影相隨，收益以風(fēng)險為代價，風(fēng)險用收益來補(bǔ)償。收益與風(fēng)險的基本關(guān)系是：收益與風(fēng)險相對應(yīng)。風(fēng)險較大的證券，其要求的收益率相對較高；反之，收益率較低的投資對象，風(fēng)險相對較小。那么如何在一定的收益率下對市場上的股票進(jìn)行組合投資，來保證風(fēng)險最小、如何在投資者的承受范圍之內(nèi)使得所投項(xiàng)目獲利最大、風(fēng)險與收益率如何達(dá)到一個均衡狀態(tài)從而使得投資者獲利最大，經(jīng)濟(jì)學(xué)家作了孜孜不倦的努力。

獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的Markowitz于1952年提出的投資組合均值方差模型，是過去50年來金融理論發(fā)展的基石，其核心是把過去證券的平均收益作為未來投資的期望收益，把過去平均收益的方差作為未來投資的風(fēng)險。“不要把雞蛋放在同一個籃子里”體現(xiàn)了投資組合理論的基本思想，也就是將多項(xiàng)風(fēng)險資產(chǎn)組合到一起，可以對沖掉部分風(fēng)險而不降低平均的預(yù)期收益率。

2 基于指數(shù)平滑法的單只股票收益率與風(fēng)險率評價模型

在建立評價單只股票收益率與風(fēng)險率評價模型之前，我們在綜合考慮各方面原因后首先做出如下假設(shè)：

第一，投資者在考慮每一次投資選擇時，其依據(jù)是某一段時間內(nèi)股票收益的概率分布；第二，投資者的決定僅僅是依據(jù)股票的收益和風(fēng)險，與其他外界因素?zé)o關(guān)；第三，整個市場沒有摩擦，即不存在交易成本和稅收；所有資產(chǎn)完全可分割，可交易；沒有限制性規(guī)定；信息成本為0；第四，短時期內(nèi)所評估出的平均收益率，風(fēng)險損失率在一定時間段內(nèi)不會出現(xiàn)較大的改變且所購買的資產(chǎn)不進(jìn)行買賣交易。

在股票投資過程中，往往更關(guān)心股票未來一定時間內(nèi)的走勢。在選股進(jìn)行投資組合時，除了根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)來對一只股票進(jìn)行評價外，股票未來短時間內(nèi)的走勢也對股票投資有著關(guān)鍵的影響，因此本模型中首先借助指數(shù)平滑法對股票未來一段時間內(nèi)的收益率進(jìn)行預(yù)測，然后結(jié)合預(yù)測值與現(xiàn)有數(shù)據(jù)對單只股票的收益率與風(fēng)險率進(jìn)行定量地評價。

2.1 指數(shù)平滑法[1]

指數(shù)平滑法是生產(chǎn)預(yù)測中常用的一種方法。也用于中短期經(jīng)濟(jì)發(fā)展的預(yù)測。所有的預(yù)測方法中，指數(shù)平滑法是用得最多的一種。它是在移動平均法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種時間序列分析預(yù)測法。一般有一次指數(shù)平滑法，二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法。

2.1.1 指數(shù)平滑公式

一次指數(shù)平滑：

2.1.2 初始值的確定

2.1.3 平滑系數(shù)的選擇

如對初始值有疑問，準(zhǔn)確性差，α宜取較大值，以體現(xiàn)近期數(shù)據(jù)作用，降低初值影響；如外部環(huán)境變化較快，則數(shù)據(jù)可能變化較大，α值宜取大一些，以跟蹤過程變化（如取0.3～0.5）；如原始資料較缺乏，或歷史資料的參考價值小，α值宜取大一些；如時序雖然具有不規(guī)則變動，但長期趨勢較穩(wěn)定（如接近某一穩(wěn)定常數(shù)）或變化甚小，α值應(yīng)較小（0.05～0.2）。

2.1.4 平滑次數(shù)的選擇

通常選用二次以上的指數(shù)平滑法。一般可根據(jù)原數(shù)列散點(diǎn)圖呈現(xiàn)的趨勢來確定，如呈現(xiàn)直線趨勢，選用二次指數(shù)平滑法；如呈現(xiàn)拋物線趨勢，選用三次指數(shù)平滑法；若經(jīng)過二次平滑處理后曲線仍有曲率，則采用三次指數(shù)平滑法。

2.2 單只股票收益率與風(fēng)險率評價模型

一般來說，公司投資股票的收益是一個隨機(jī)變量，在一段時間內(nèi)，收益這個隨機(jī)變量可以用期望來衡量，除了考慮其期望值外，還不能忽略其風(fēng)險，風(fēng)險的衡量在這里我們采用了Markowitz的建議，即用收益的方差來衡量，方差越大，則說明實(shí)際收益與理論收益的偏離越大，風(fēng)險也就越大，方差越小，說明實(shí)際收益基本在理論收益周圍波動，風(fēng)險也就越小。為此，我們建立了評估N種股票收益率與風(fēng)險損失率的模型如下：

單只股票的收益率：

Ri=[SX（]1[]n[SX）]（nj=1 rj），i=1，2，3，…N（9）

在上式中，Ri為單只股票一定時間內(nèi)的收益率，即各個時間段收益率（包括利用指數(shù)平滑預(yù)測的時間段）的期望；rj表示某只股票第j個季度的凈資產(chǎn)收益率；n為單只股票選取的時間段的個數(shù)。

單只股票的風(fēng)險損失率：

在上式中，Qi表示單只股票的風(fēng)險損失率，即各個季度收益率的方差；rk表示某只股票第k個季度的凈資產(chǎn)收益率。

3 股票數(shù)目確定的投資組合模型

由上個模型我們可以得出五只股票近期n個時間段的收益率期望Ri與方差Qi，我們分別用期望與方差來作為評估收益率與風(fēng)險損失率的標(biāo)準(zhǔn)，即假設(shè)前提下的短期內(nèi)，各只股票的收益率用Ri衡量，風(fēng)險損失率用Qi來衡量。

在以上前提下，我們對5種股票進(jìn)行投資組合時，采用了Markowitz在1952年提出的均值—方差模型來進(jìn)行股票組合。

第一步：求出五只股票的協(xié)方差，由于我們在假設(shè)中并未說明這五只股票是不相關(guān)的，因此在衡量總收益與風(fēng)險之前應(yīng)當(dāng)求出其協(xié)方差尋求各只股票的相關(guān)程度，0表示不具備相關(guān)性，正數(shù)表示這兩只股票是正相關(guān)，即要盈利都可能盈利，要損失都可能損失，負(fù)數(shù)表示一個盈利則另一個可能損失；

第二步：建立投資組合的總收益模型與總風(fēng)險模型，在此之前應(yīng)當(dāng)為各只股票分配不同的權(quán)重，設(shè)股票Si的權(quán)重為Xi（i=1，2，3，4，…，N），且X1+X2+…+XN=1，則：

總收益期望：

總風(fēng)險：

第三步：建立目標(biāo)優(yōu)化模型，由于投資組合的目的是使總收益最大，總風(fēng)險最小，這兩者往往是對立的，很明顯，所建立的目標(biāo)優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)有兩個，即雙目標(biāo)優(yōu)化，為容易使模型求解，我們將雙目標(biāo)優(yōu)化模型簡化為三個模型分別為模型I（固定風(fēng)險水平，優(yōu)化收益），模型II（固定收益水平，優(yōu)化風(fēng)險），模型III（風(fēng)險和收益按照一定比例進(jìn)行優(yōu)化）。

3.1 固定風(fēng)險水平，優(yōu)化收益[2]

該模型需公司確定所能接受的最大風(fēng)險率a，在a確定的前提下對收益進(jìn)行最大化，目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)如下：

3.2 固定收益水平，優(yōu)化風(fēng)險

該模型需公司確定所能接受的最小收益率b，在b確定的前提下對風(fēng)險進(jìn)行最小化，目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)如下：

3.3 風(fēng)險和收益按照一定比例進(jìn)行優(yōu)化

該模型需要公司根據(jù)自身的投資特點(diǎn)，根據(jù)公司對收益和風(fēng)險的重視程度劃分不同的權(quán)重，即收益和風(fēng)險按照一定的比例進(jìn)行規(guī)劃，這樣就可以把多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為簡單的單目標(biāo)規(guī)劃建立模型，這里設(shè)收益的比例為P，風(fēng)險的比例為1-P，確定目標(biāo)函數(shù)時，由于要求風(fēng)險最低，收益最高，結(jié)合在一起可將目標(biāo)函數(shù)設(shè)為風(fēng)險減去收益的差值最小即可達(dá)到優(yōu)化目的。目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)如下：

4 考慮系統(tǒng)風(fēng)險的投資組合模型[3][4]

Markowitz投資組合模型的基本思想是如何選擇資產(chǎn)使在期望收益一定的情況下最大限度地減少風(fēng)險或在所能承受的風(fēng)險水平下最大限度地增加收益。而投資的風(fēng)險和收益分別用方差和期望來度量。解決該問題要用到經(jīng)濟(jì)學(xué)概念：系統(tǒng)風(fēng)險。系統(tǒng)風(fēng)險又稱市場風(fēng)險，是影響所有資產(chǎn)的、不能通過資產(chǎn)組合而消除的風(fēng)險，這部分風(fēng)險是由那些影響整個市場的風(fēng)險因素所引起的。這些因素包括宏觀經(jīng)濟(jì)形勢的變動、國家經(jīng)濟(jì)政策的變動、稅制改革等。它是指由于某種因素的影響和變化，導(dǎo)致股市上所有股票價格的下跌，從而給股票持有人帶來損失的可能性。系統(tǒng)風(fēng)險的誘因發(fā)生在企業(yè)外部，上市公司本身無法控制它，其帶來的影響面一般都比較大。

那么既然風(fēng)險可以降低到一個比較具體的值，在投資過程中盡可能使所選股票數(shù)量少而且股票的風(fēng)險降到系統(tǒng)風(fēng)險的情況下，使得投資的證券組合的收益率最大。

該模型需公司確定系統(tǒng)風(fēng)險A，在A確定的前提下對收益進(jìn)行最大化，目標(biāo)規(guī)劃函數(shù)如下：

5 仿真分析

仿真背景：某公司擬將8000萬元人民幣投資于股票市場，現(xiàn)在準(zhǔn)備根據(jù)股市數(shù)據(jù)選出具有投資前景的5只股票，現(xiàn)在需要確定如何將資金分配給5只股票使得收益最大，風(fēng)險最小。

5.1 收益率與風(fēng)險率的評定

首先，我們查詢了2014年8月1日當(dāng)天股票指數(shù)行情，為了使投資獲得良好的收益，我們定性地從中抽取了5只具有良好走勢且其母公司具備較好發(fā)展前景的股票作為投資對象，分別是平安銀行（000001）、上海機(jī)場（600009）、中國神華（601088）、中興通訊（000063）、三一重工（600031），為了評估其收益率與風(fēng)險損失率，我們忽略其他因素的影響，查閱了5只股近期5個季度的財務(wù)報告，得到了表1數(shù)據(jù)。

由表3可對這5只股票作出如下四點(diǎn)評估結(jié)果：第一，這5只股票中，股票S1即平安銀行近期以來一個季度平均收益率最高達(dá)到3.47%，股票S3即中國神華收益率低迷，一個季度平均收益率僅有0.559%；第二，這5只股票中，股票S5即三一重工近期以來風(fēng)險率最高，達(dá)到了4.83%，股票S3即中國神華風(fēng)險率最低，為0.0027%；第三，雖然S5三一重工在這幾只股票中的收益率處于較高水平，但是其風(fēng)險卻大，股票收益呈現(xiàn)十分不穩(wěn)定的狀態(tài)，S3中國神華的收益最低但其風(fēng)險也最小；第四，為了使投資公司得到較高的股票收益且風(fēng)險損失率保持較低水平，單單投資一只股票很難達(dá)到目的，為此，可使用投資組合的方式，即將這5只股票按照一定的比例進(jìn)行投資，達(dá)到高收益、低風(fēng)險的投資目標(biāo)。

5.2 五種投資組合模型的求解及結(jié)果分析

模型I：固定風(fēng)險水平，優(yōu)化收益[5]

我們用Matlab求解該目標(biāo)規(guī)劃，得出取不同的a值時收益的變化函數(shù)見圖1。

圖1 優(yōu)化收益情況下風(fēng)險——收益曲線

由圖1可以看出，當(dāng)a大于0.00016時，收益隨著風(fēng)險的增大緩慢變化，因此，若要在風(fēng)險一定的情況下取得較大的收益，此時a應(yīng)取轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的值，即a=0.016%，此時的收益約為3.5%，而對應(yīng)股票的各個權(quán)值見表4。

圖3、圖4和圖5中已經(jīng)給出不同的P值的股票組合與收益情況，注意：P<0.8時，也即投資者對于風(fēng)險不是特別重視的時候，風(fēng)險與收益都保持不變，一旦投資者忽視風(fēng)險時，風(fēng)險與收益會發(fā)生較大的波動，巨大的潛在風(fēng)險將會大大侵蝕收益率，收益率將會呈現(xiàn)階梯狀的減小。

6 結(jié) 論

為了更好地在實(shí)際中應(yīng)用基于均值—方差的投資組合模型，在計算單只股票的收益率與風(fēng)險率時，首先利用指數(shù)平滑法預(yù)測了短期內(nèi)股票的走勢，根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)評估了單只股票的收益與風(fēng)險，使評估結(jié)果具有可靠性與中短期時間內(nèi)的有效性。在求解投資組合優(yōu)化模型時，將所確立的雙目標(biāo)規(guī)劃模型分解為3個單目標(biāo)模型進(jìn)行求解，計算方法比較全面地考慮了投資者的投資心理。仿真實(shí)例表明，本文所建立的模型可根據(jù)投資者追求收益或規(guī)避風(fēng)險等不同的投資理念得到適合投資者個人投資理念的投資組合。

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