“說題”的三個考查維度和五步法原則

唐震

摘 要：“說題”可以提高教師在課堂教學中的針對性和有效性，促進教師自身的數學知識的熟練和業務素質的提高.本文總結出參加“說題”活動的“三個維度考查”研究和說題“五步法原則”等說題經驗，并以此為出發點通過實例進行分析探討、規劃說題策略.

關鍵詞：說題；五步法原則；三個維度考查；實例探討

前言

筆者被三明市教科所數學教研室選中參加高中新課程背景下數學學科高考復習策略研訓活動并親身參與“說題”.并對此次活動的說題環節感悟頗深，本文就“說題”準備過程中對“說題”這項活動的理解和如何進行說題的實踐進行歸納總結與大家分享.

1 “說題”的理解

1.1 數學說題的定義

一般的，對所給試題，說所研究題的出處，蘊含的數學知識及與該題相聯系的數學知識點、解題的數學方法、技巧和數學思想；同時，說清解題思路等的教研活動或深層次的備課.

1.2 說題的意義

“說題”前，教師通過認真學習相關題型的資料，深入分析數學知識結構與分類，從而把握命題的趨勢，把握素質教育的方向，用以指導課堂教學，提高課堂教學的針對性和有效性.堅持“說題”能夠促進教師自身對數學知識脈絡的把握，使其對所研究知識的理論變得廣博而深刻，知識的應用變得有效而靈活，從而促進教師專業化成長.

1.3 說題的步驟（五步法原則）

（1）說所研究的題目的出處與內涵；

（2）根據題目的類型或內涵所涉及的知識點，考點進行籠統的歸納；

（3）說題目考查意圖或改編意圖（包括對題目考查的基本技巧、基本方法、數學思想方法的展示）；

（4）說評價（題目考查的核心目標和啟發）；

（5）說感悟與提升.

2 “說題”的具體實踐

說題要求：基于自身對高考試題的理解，將原題進行研磨改編或變式試題并說題：

例題：已知函數f（x）的導函數是f ′（x）=3x2+2mx+9，

f（x）在x=3處取得極值，且f（0）=0.

（Ⅰ）求f（x）的極大值和極小值；

（Ⅱ）記f（x）在閉區間[0，t]上的最大值為F（t），若對任意的t（0

（Ⅲ）設M（x，y）是曲線y=f（x）上的任意一點.當x∈（0，1]時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷f（x）與4sinx的大小關系，并說明理由.

2.1 通過三個考查維度的深入研究，做好說題準備工作

筆者接到例題后對“函數與導數”部分大量高考題進行分析，并對《考試說明》進行充分研讀歸納出高考對“導數”知識點的要求主要有以下四個方面：（1）導數概念及其幾何意義；（2）導數的運算；（3）導數在研究函數中的應用：① 了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間；② 了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值；會求閉區間上函數的最大值、最小值；（4）生活中的優化問題，會利用導數解決某些簡單的實際問題.

當然，僅僅從數學的知識點考察的維度去說題就不能達到說題的要求和發揮說題的功能.所以，筆者在數學思想方法和數學能力考察等方面進行分析.數學一般思想方法有：函數與方程數學思想方法、數形結合數學思想方法、分類討論數學思想方法、轉化化歸數學思想方法、數學模型數學思想方法、最優化數學思想方法、統計思想和數據處理方法、參數代數學方法、集合與對應的思想方法等.其中前四項思想方法常被人們稱為“四大數學思想方法”.數學能力主要包含運算求解能力、推理論證能力、類比和知識遷移能力、直覺思維能力、邏輯推理能力和自主探索能力等.

筆者就通過“知識點考查”、“數學思想方法考查”和“數學能力考查”等三個考查維度對例題進行考查分析.確定將例題進行如下改編：

改編題：已知函數f（x）=x3+mx2+9x+n（m，n∈R）圖像在點（2， f（2））處的切線方程為3x+y-8=0.

（Ⅰ）求函數f（x）在閉區間[0，4]上的最值；

（Ⅱ）記函數f（x）在閉區間[0，t]上的最大值為F（t），存在t∈（0，4]，使得F（t）≤λt2成立，求λ的取值范圍；

（Ⅲ）設曲線y=f（t）上的任意兩點A、B處的切線斜率分別為kA、kB.猜想：當kA=kB時，動直線lAB恒過哪個點？并給出證明.

2.2 利用五步法原則開展說題活動

筆者根據自身實踐和研究對“說題”進行模式化處理，將說題分成五個步驟（五步法），即前文所述：第一步，說所研究的題目的出處與內涵；第二步，根據題目的類型或內涵所涉及的知識點，考點進行籠統的歸納；第三步，說題目考查意圖或改編意圖（包括對題目或改編題考查的基本技巧、基本方法、數學思想方法的展示）；第四步，說評價（題目考查的核心目標和啟發）；第五步，說感悟與提升.

其中第一、二兩步較為簡單此文不提，后幾步驟要求說題人對題目或改編題的考查意圖、改變意圖、有何啟發、對今后的教學有何借鑒等提出個人的觀點，以下以此題為例談談筆者的觀點：

2.2.1 說改編意圖

原題：已知函數f（x）的導函數是f ′（x）=3x2+2mx+9，

f（x）在x=3處取得極值，且f（0）=0.

改編：已知函數f（x）=x2+mx2+9x+n（m，n∈R）圖像在

（2，f（2））點處的切線方程為3x+y-8=0.

改編意圖：結合考試說明的要求，著重考查導數的幾何意義.

原題（Ⅰ）求f（x）的極大值和極小值；

改編（Ⅰ）求函數f（x）在閉區間[0，4]上的最值；

改編意圖：1.基礎知識、基本技能的考查2.為第（Ⅱ）題的解答做鋪墊，提高重點考查點的思維量.

原題（Ⅱ）記f（x）在閉區間[0，t]上的最大值為F（t），若對任意的t（0

改編（Ⅱ）記函數f（x）在閉區間[0，t]上的最大值為F（t），存在t∈（0，4]，使得F（t）≤λt2成立，求λ的取值范圍；

改編意圖：1.恒成立、存在、恰成立問題是高考熱點2.改編意在對分析問題能力和計算能力提供補充 3.考查轉化化歸思想、函數方程思想、分類討論思想.

原題（Ⅲ）設M（x，y）是曲線y=f（t）上的任意一點.當x∈（0，1]時，求直線OM.

斜率的最小值，據此判斷f（x）與4sinx的大小關系，并說明理由.

改編（Ⅲ）設曲線y=f（x）上的任意兩點A、B處的切線斜率分別為kA、kB .

猜想：當kA=kB時，動直線lAB恒過哪個點？并給出證明.

改編意圖：1.求解和思考過程體現《數學課程標準》所倡導的數學活動方式，如：觀察、實驗、猜測、推理等；2.作為練習，可以提高學生的數學素質；作為考題，具備區分高數學素養學生和一般學生的要求.

2.2.2 說對原題評價

在這里，筆者把前期準備工作的“三個考查維度”利用起來，作為評價該題的方向.

①基礎知識立意：第一問是從函數的極值和導數的關系出發，第二問含參數恒成立問題，第三問巧妙的利用原點與曲線上點的連線斜率的最小值得到不等關系并用導數知識判斷兩個函數的關系.體現出試題命制梯度.②數學思想方法立意：以三次函數為背景，考查了函數與方程的思想、分類討論思想、轉化化歸思想和數形結合思想等數學四大思想方法.③能力素質立意：題目把函數、導數、恒成立問題結合在一起，來解決單調性、參數范圍等問題.這是將知識、方法、思想、能力素質融于一體的命題，對學生的直覺思維能力、邏輯推理能力、運算能力和自主探索能力等提出了很高的要求，有很好的區分度.

2.2.3 說感悟和提升

在這個步驟上說題人要對所說題型進行歸納、總結，并從解決問題和培養意識上進行升華，對今后出題或者教學中提出一些指導或感悟.同時，筆者認為“說題人”應該對說題的準備、摸索過程和自身說題的方法進行分享.當然只要說題能夠對自身和業內人士得到提高，具體的內容就仁者見仁、智者見智了.

3 結語

“說題”不僅對提高課堂教學的有效性和針對性發揮良好作用.而且對教師的專業水平的提升和自主學習能力的提高具有重要的意義.此次說題活動，作者通過深入試題研究，把握該類命題的趨勢、方向和技能技巧等同時，總結歸納出“三個維度考查”研究和說題“五步法原則”等，并以此為出發點通過特例進行分析探討、規劃說題策略.希望這些經驗分享能給大家些許借鑒.