精選巧變 夯基提能

何曉麗

摘 要：化歸與轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)了利用動態(tài)思維從未知向已知轉(zhuǎn)化的重要過程，沒有統(tǒng)一模式，最具靈活性與多樣性，有利于開拓思路，是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，在高中數(shù)學(xué)的各個模塊都有非常廣泛的應(yīng)用.結(jié)合文科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)際，就《導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用》一課，通過例題的選取、變式、探究等教學(xué)設(shè)計(jì)，談對高中數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化思想的踐行與感悟.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；化歸與轉(zhuǎn)化；函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；超越函數(shù)

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開解題，而解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，新知向舊知轉(zhuǎn)化，未知向已知轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，空間向平面轉(zhuǎn)化，復(fù)雜向簡單轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式轉(zhuǎn)化等，幾乎每個問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的.化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)就是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，因而理所當(dāng)然成為高中數(shù)學(xué)最重要的思想之一，在各個模塊都發(fā)揮著極其重要的作用.筆者結(jié)合文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)，通過福州市級公開課《導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用》的例題設(shè)計(jì)與教學(xué)反思，談?wù)勛约簩@一思想的踐行與感悟.

導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初等、高等數(shù)學(xué)的紐帶，隨著課改的不斷深入，考查的要求也逐漸加強(qiáng)，已經(jīng)由分析和解決問題的輔助地位上升為不可缺少的重要工具.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個重要載體，涉及較多的知識和方法，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問題尤其是單調(diào)性、極值、最值 [1 ]方面具有廣泛的應(yīng)用，可以解決函數(shù)中的恒成立問題、不等式問題、交點(diǎn)零點(diǎn)問題等，還可以在知識交匯處命題，訓(xùn)練和考查學(xué)生的思維能力.

【案例1】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c-16，

（1）求a，b的值；

（2）若f（x）有極大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值.[2]

分析：（1）因?yàn)閒（x）=ax3+bx+c，故f ′（x）=3ax2+b，

由于f（x）在點(diǎn)x=2處取得極值c-16，故有f（2）=c-16且f ′（2）=0，

即12a+b=0，8a+2b+c=c-16，化簡得12a+b=0，4a+b=-8，解得a=1，b=-12，

（2）由（1）知f（x）=x3-12x+c，

f ′（x）=3x2-12=3（x+2）（x-2） ，令f ′（x）=0，得x1=-2，x2=2，

當(dāng)x∈（-∞，-2）時， f ′（x）>0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數(shù)；

當(dāng)x∈（-2，2）時， f ′（x）<0，故f（x）在（-2，2）上為減函數(shù)；

當(dāng)x∈（2，+∞）時，f ′（x）>0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，

則f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=16+c，在x=2處取得極小值f（2）=c-16，

由題設(shè)條件知16+c=28，解得c=12，

此時f（-3）=9+c=21， f（2）=-16+c=-4，

因此f（x）在[-3，3]上的最小值為f（2）=-4.

在案例1的基礎(chǔ)上，筆者精心設(shè)計(jì)如下探究問題供學(xué)生思考交流：

【探究1】恒成立、能成立問題

（1）若任給x∈[-3，3]使得f（x）≤m2-3m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

（2）若存在x∈[-3，3]使得f（x）≤t2-5t能成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析：由案例知f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-2）=28，最小值為f（2）=-4，

（1）f（x）≤m2-3m對x∈[-3，3]恒成立？坩m2-3m≥f（x）max？坩m2-3m≥28，

（2）f（x）≤t2-5t對x∈[-3，3]能成立？坩t(yī)2-5t≥f（x）min ？坩t(yī)2-5t≥-4.

導(dǎo)數(shù)為研究函數(shù)性質(zhì)提供了簡單、程序化的方法和思路，同時為解決恒成立能成立問題提供了階梯.此探究把恒成立（任意性）和能成立（存在性）問題轉(zhuǎn)化為研究f（x）的最值問題，同時給出了參數(shù)與變量分離的形式，為后繼問題提供直觀感知.

【探究2】不等式問題

（1）對案例中的函數(shù)f（x）=x3-12x+12，求證： f（x）≤28；

（2）已知函數(shù)f（x）=x3+x2-12x-28，g（x）=x2-12，

求證：f（x）≤g（x）.

分析：（1）思路1：f（x）≤28即x3-12x+12≤28？圳

f（x）max≤28？坩求函數(shù)f（x）最大值；

思路2：f（x）≤28即x3-12x+12≤28？圳x3-12x-16≤0

？坩求函數(shù)h（x）=x3-12x-16的最大值.

（2）f（x）≤g（x）即x3+x2-12x-28≤x2-12？圳x3-12x-16≤0

？坩求函數(shù)h（x）=x3-12x-16的最大值.

導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用，一般通過構(gòu)造一個函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f（x）>0（或f（x）<0）的形式，再求f（x）的最值而實(shí)現(xiàn).導(dǎo)數(shù)為解決此類問題開辟了新的思路，使過去不等式的證明從特殊技巧變?yōu)橥ǚǎ蔑@導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的靈活性、普適性.

【探究3】零點(diǎn)交點(diǎn)問題

對案例中的函數(shù)f（x）=x3-12x+12，

（1）當(dāng)x∈R時，關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值集合；

（2）當(dāng)x∈[-3，3]時，關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值集合.

分析：由案例知f（x）的增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞），減區(qū)間為（-2，2），極大值為f（-2）=28，極小值為f（2）=-4，且

f（-3）=21，f（3）=3，

（1）當(dāng)x∈R時，關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個實(shí)根

？圳函數(shù)y=f（x）圖像與直線y=k有兩個交點(diǎn)，

結(jié)合圖像可知k=28或k=-4；

（2）當(dāng)x∈[-3，3]時，關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個實(shí)根

？圳函數(shù)y= f（x）圖像與直線y=k 在x∈[-3，3]有兩個交點(diǎn)，結(jié)合圖像特征可知-4

探究3更是將化歸與轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)得淋漓盡致，一方面，把函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)個數(shù)問題，另一方面，圖像問題又轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)圖象直觀地反映了兩個變量之間的變化規(guī)律，直接作圖往往比較困難，導(dǎo)致這種規(guī)律的揭示經(jīng)常不盡如人意，當(dāng)我們把問題轉(zhuǎn)化成為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像時，便順其自然地打開了思路.

所謂“教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行”（園斯金），知識可以通過記憶儲存，方法必須領(lǐng)會而后應(yīng)用.為檢驗(yàn)并鞏固所學(xué)內(nèi)容，繼續(xù)讓學(xué)生思考以下案例：

【案例2】已知f（x）=x-1， g（x），求證：f（x）≥g（x）. [2]

【方案1】令h（x）=f（x）-g（x）= x-1-， x>0 ， h（1）=0，

h′（x）=，令h′（x）=0，得x=1，

當(dāng)0

當(dāng)x>1時，x2-1>0，lnx>0，得h′（x）>0，故h（x）單調(diào)遞增，

則x=1時，h（x）取極小值且為最小值，

所以，h（x）≥h（1）=0即f（x）≥g（x）.

大部分學(xué)生給出了方案1的解答，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：

【方案2】f（x）≥g（x）即x-1≥（x>0）

？圳x（x-1） ≥lnx？圳x（x-1）-lnx≥0即x2-x-lnx≥0，

令F（x）=x2-x-lnx（x>0），以下證明F（x）≥0：

F′（x）=2x-1-，令F ′（x）=0，得x=1（x=-舍去），

當(dāng)0

當(dāng)x>1時，F(xiàn)′（x）>0，故F（x）單調(diào)遞增，

則x=1時，F(xiàn)（x）取極小值且為最小值，

所以，F(xiàn)（x）≥F（1）=0即f（x）≥g（x）.

觀察以上兩個轉(zhuǎn)化方向，方案1求導(dǎo)后的分式中，分子部分仍為超越函數(shù)，本題可觀察得到零點(diǎn)，而在比較復(fù)雜的超越函數(shù)中，零點(diǎn)往往不易求解；方案2中經(jīng)過不等式的等價轉(zhuǎn)化，超越式變?yōu)榇鷶?shù)式，問題迎刃而解.

高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)內(nèi)容多、范圍廣、題量大，讓學(xué)生尤其是文科班學(xué)生望而卻步，而化歸思想可以成功解決各個領(lǐng)域的許多復(fù)雜的問題，對學(xué)生的學(xué)和老師的教都頗有益處.老師在加強(qiáng)基礎(chǔ)知識和基本方法教學(xué)的同時，更要注重數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)和滲透，讓學(xué)生掌握科學(xué)的方法，達(dá)到優(yōu)化解題的目的.“教育不是注滿一桶水，而且點(diǎn)燃一把火”（葉芝），只要把握思想領(lǐng)會方法，學(xué)生的自我提升便有了無限可能.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（選修1-1）A版[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]董均燦.三維設(shè)計(jì)（2015新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí)一輪用書，七省專版·數(shù)學(xué)文科）[M].上海：光明日報出版社，2009.