例析數學中考中的動點變化產生的特殊圖形的模式與構圖（下）

林致桐

4 動點變化產生的平行四邊形問題

例4 （2012年湖北襄陽中考）如圖15所示，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處.分別以OC、OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，拋物線y=ax2+bx+c經過O、D、C三點.

（1）求AD的長及拋物線的解析式.

（2）一動點P從E出發，沿EC以每秒2個單位長度的速度向點C運動，同時，動點Q從點C出發，沿CO以每秒1個單位長度的速度向點O運動，當點P運動到點C時，兩點同時停止運動，設運動時間為t秒，當t為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與△ADE相似？

（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標，若不存在，請說明理由.

4.1 平行四邊形存在性問題的模式識別

通常在平行四邊形問題中，會確定一條邊，但這條邊可能作為邊，也可能作為對角線，則出現二種模式，如圖16.

4.2 平行四邊形存在性問題的剖析圖

構成平行四邊形作圖法為：（1）定邊長為邊作平行四邊形；（2）定邊長為對角線作平行四邊形.如圖17，圖18，圖19.

4.3 解題思維點撥：

（1）利用△BDC和△DEC重疊性質，算出△EOC和△AED中各線段的大小，再利用勾股定理求出AD的大小和點D的坐標，再把D、O、C三點坐標代入拋物線解析式即可求解.（2）根據條件，先判斷∠DEA=∠OCE，再分類討論△PQC中另一個角為90°，然后利用相似三角形對應線段成比例求解.（3）由于以M、N、C、E為頂點的平行四邊形中已知線段EC是邊還是對角線不明確，因此要分情況討論：①當EC是平行四邊形的邊時，利用點M到對稱軸的距離，確定點M的坐標，再確定點N的坐標；②當EC是平行四邊形的對角線時，根據對角線互相平分，確定點M的坐標，再確定點N的坐標.

5 動點變化產生的菱形問題

例5 （2012年遼寧省鐵嶺中考）如圖20所示，已知拋物線經過原點O和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與 x軸交于點D，直線y=-2x-1經過拋物線上一點B（-2，m），且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F.

（1）求m的值及該拋物線對應的解析式.

（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合條件的點P的坐標.

（3）點Q是平面內任意一點，點M從F點出發，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形，若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由.

5.1 菱形存在性問題的模式識別

通常在菱形問題中，會確定一條邊，但這條邊可能作為菱形的邊也可能用為菱形的對角線，則出現二種模式：見圖21.

5.2 菱形存在性問題的剖析圖

構成菱形作圖法：（1）定邊長為邊構圖，如圖22，圖23，圖24；（2）定邊長為對角線構圖，如圖25.

5.3 解題思維點撥：

（1）直接把B（-2，m）代入一次函數解析式，求出m.直接將A、B、O三點坐標代入拋物線的解析式即可求解.（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，根據同底等高三角形面積相等，得到點P的縱坐標為1，再代入拋物線解析式求出點P的坐標.（3）由于以Q、A、E、M為頂點的菱形中，已知線段AE是邊還是對角線沒有明確，因此要分情況討論：①當AE是菱形的邊時，利用ME=AE=■，確定點M的坐標，求出線段MF的長度，從而得到運動時間t的值.②當AE是菱形的對角線時，根據對角線互相垂直平分，確定點M的坐標，求出線段MF的長度，從而得到運動時間t的值.

6 動點變化產生的梯形問題

例6 （2011年山東省萊蕪中考）如圖26所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-2，-4），OB=2，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、O、B三點.

（1）求拋物線的函數表達式.

（2）若點M是拋物線對稱軸上一點，試求AM+BM的最小值.

（3）在此拋物線上，是否存在點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形.若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由.

6.1 梯形存在性問題的模式識別

通常在梯形問題中，會確定三個頂點，形成三條邊，但這三條邊是底還是腰沒有明確，則產生三種模式：如圖27.

6.2 梯形存在性問題的剖析圖

構成梯形問題的作圖法：分別以一邊為底或為腰作圖.如圖28，圖29，圖30.

6.3 解題思維點撥：

（1）直接將A、O、B三點坐標代入拋物線的解析式即可求解.（2）點O、B關于拋物線的對稱軸對稱，連接AB，根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短的性質，AB與對稱軸的交點即為符合條件的M點.（3）由于以O、A、B為頂點頂點梯形中，已知線段AO、BO、AB是底還是腰沒有明確，因此要分三種情況討論：①BO是梯形的底，即OB∥AP，OB≠AP，過點A作直線AP∥OB，求出直線AP與拋物線的交點即可；②AO是梯形的底，即AO∥BP，AO≠BP，過點B作直線BP∥OA，求出直線BP與拋物線的交點即可；③AB是梯形的底，即AB∥OP，AB≠OP，過點O作直線OP∥AB，求出直線OP與拋物線的交點即可.

從以上的例析中可以看出，對動點變化產生的特殊圖形通過模式化與構圖，不僅讓學生明晰了一類題型的解題思路、方法和技巧，也提升了教師自身研題和教學的能力.我們雖然反對“題海戰術”，但不應輕視數學解題研究，尤其是對學生困惑問題的研究.我們要把解題上升到研題、編題，培養學生的建模能力，讓學生知其然而知其所以然.

〔連載完〕