數(shù)學(xué)解題中的巧妙變形

李紅霞

變形是數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中最基本而又常用的方法。那什么是數(shù)學(xué)變形？這是一個(gè)很模糊的概念，總之就是為了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段。它屬于技能性的知識(shí)，既靈活又多變；一個(gè)公式，一個(gè)法則，它的表述形式是多種多樣的。當(dāng)然它也存在著技巧和方法，也就是人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握，乃至靈活應(yīng)用的。在數(shù)學(xué)解題中，為了完成論證、求值、化簡(jiǎn)等任務(wù)，常要對(duì)某些式子進(jìn)行恒等變形，但是恒等變形又沒(méi)有規(guī)定的法則與方法，一個(gè)式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強(qiáng)。本文主要介紹變形技巧在高中數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用。掌握好并靈活應(yīng)用這些技巧，可以很快確定解題方向，減少解題的盲目性，提高解題效率。

變形舉例

“0”的變形技巧 恩格斯在《自然辨證法》一書(shū)中指出：“零不只是一個(gè)非常確定的數(shù)，而且它本身比其他一切被要所限定的數(shù)都更重要，事實(shí)上，零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容……零乘以任何一個(gè)數(shù)，都使這個(gè)數(shù)變?yōu)榱悖愠匀魏我粋€(gè)不等于零的數(shù)，都等于零……”由于零具備許多特殊的性質(zhì)，因此，在解題活動(dòng)中若能對(duì)這些特性加以注意，對(duì)于解題的順利進(jìn)行是大有幫助的，下面舉例幾個(gè)“0”的特性在解題中的應(yīng)用。例一：若a>b>c，求證.

分析：通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)a-c可以變形為a-b+b-b，即式子a-c加了0（-b+b=0），則再利用不等式的性質(zhì)可方便解決這道題。“0”在這道題目中作為一座橋梁，通過(guò)這座橋梁，使我們的問(wèn)題就變得很簡(jiǎn)單。另外，在指數(shù)、對(duì)數(shù)中，解關(guān)于含有指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式，一定要化成同底的指數(shù)與對(duì)數(shù)。特別是在對(duì)數(shù)中，對(duì)于“0”就可以靈活處理，可以根據(jù)需要把“0”化成所需要的對(duì)數(shù)。

“1”的變形技巧 對(duì)于“1”的變型，在三角函數(shù)中，使用的最為廣泛。例二：已知tanα=2，求2sin2α-3sinαcosα-2cos2α的值。這道題的常規(guī)解法是把正切轉(zhuǎn)化成正弦與余弦的比值等于2，且正余弦的平方和等于1，聯(lián)立方程組，分別解出α的正余弦值，再代入所求的式子里面，得出所求式子的值，其中還會(huì)用到分類討論的思想，所以解題的過(guò)程就十分麻煩，且比較浪費(fèi)時(shí)間。但如果應(yīng)用“1”的代換，解題過(guò)程就相當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單。其解題過(guò)程如下：

∴當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減。像這道題，把這樣一個(gè)比較復(fù)雜的式子，經(jīng)過(guò)了變形，化簡(jiǎn)成了一個(gè)簡(jiǎn)單的正弦型的函數(shù)，最終通過(guò)了正弦函數(shù)的性質(zhì)，得到了相應(yīng)的結(jié)果。所以，像這樣的變形，可以把不熟悉的問(wèn)題，通過(guò)變形轉(zhuǎn)化成熟悉的問(wèn)題，進(jìn)而達(dá)到解題的效果。

數(shù)列中的變形 同樣，在數(shù)列的解題過(guò)程中也用到了變形這一技巧。例四，已知數(shù)列，求的值。解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項(xiàng)為-1，d=-1的等差數(shù)列故∴。這道題，也是應(yīng)用了變形的技巧。先把已知條件化成了數(shù)列的問(wèn)題，而通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式這座橋，解出了。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)中變形的方法與技巧遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上這些，而上述幾種只不過(guò)是許多變形技巧中的幾個(gè)小分支。變形技巧是數(shù)學(xué)解題的一種方法，變形能力的強(qiáng)弱直接制約著解題能力的高低。在此強(qiáng)調(diào)，變形屬于技能性的知識(shí)，需要在實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握，直至靈活與綜合應(yīng)用。由于高中數(shù)學(xué)的改革及社會(huì)發(fā)展的需求，以及提高學(xué)生應(yīng)試能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，數(shù)學(xué)變形技巧作為一種解題的手段越來(lái)越被人們所喜愛(ài)，但是它并無(wú)一定之規(guī)，所以這就需要在平時(shí)的學(xué)習(xí)中加以運(yùn)用和積累。如果熟練掌握了基本的變形技巧，這會(huì)使解題過(guò)程得心應(yīng)手，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

（作者單位：內(nèi)蒙古自治區(qū)阿拉善盟第一中學(xué)）