淺談數學教學中的數形結合

徐建飛

【摘要】"數形結合"思想方法是研究數學問題的重要方法，本文對初中數學中的部分問題，談談如何運用"數形結合"的思想解題。

【關鍵詞】數形結合 數形結合思想 以形助數 以數解形

【中圖分類號】G633. 6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）14-0277-02

中學數學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！薄皵怠迸c“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。

作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”。“以數解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等等，特別是在做選擇題時，只有一個答案是正確答案，用此種方法就可能起到意想不到的效果。由于這“以數解形”比較簡單，所以這里就不多做介紹了?！耙孕沃鷶怠笔侵赴殉橄蟮臄祵W語言轉化為直觀的圖形，可避免繁雜的計算，獲得出奇制勝的解法。學生通常把“數形結合”就理解為“以形助數”，也可以這么說，理解了并掌握了“以形助數”這種思想方法，就是理解了“數形結合”?！耙孕沃鷶怠敝械摹靶巍?，或有形或無形。若有形，則可為圖表與模型，若無形，則可另行構造或聯想。因此“以形輔數”的途徑大體有三種：一是運用圖形；二是構造圖形；三是借助于代數式的幾何意義。以下我將從 “數形結合”在哪些題型中可以應用和使用“數形結合”時要注意哪些事項這兩個方面來具體介紹數形結合這種思想方法。

一、解決集合問題：在集合運算中常常借助于數軸、Venn圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了。

例如：某班有54名同學，其中會打籃球的有36人，其余的不會；會打排球的人數比會打籃球的多4人，其余的不會；另外，這兩種球都不會打的人數是都會打的人數的 還少1，問既會打籃球又會打排球的有多少人？

分析：用韋恩圖畫出示意圖，借助圖形去分析解決此問題，使復雜的問題簡單化，借助方程去求解。

解析：不妨設54名同學組成的集合為S，會打籃球的同學組成的集合為A，會打排球的同學組成的集合為B，兩種球都會打的同學組成的集合為C

設C中有元素x個即既會打籃球又會打排球的同學有x人

則 （36-x）+（40-x）+（ x-1）=54 則 x=9

所以說既會打籃球又會打排球的同學有9人.

通過圖示先將無形的東西轉化成有形，再將有形的東西轉化成方程去求解是復雜的問題簡單化

二、解決函數問題：借助于圖象研究函數的性質是一種常用的方法。函數圖象的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。

例如，代數中，二次函數圖象y=ax2+bx+c（a≠0）， △= .

當△>0 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點。

△=0 y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個交點。

△<0 y=ax2+bx+c的圖象與x軸無交點。

三、在理解數量關系及概念上的作用

初中數學有代數和幾何兩部分內容，它門是互相滲透與推進的，如代數列方程解應用題中的行程問題，往往借助幾何圖形，靠圖形感知來“支持”抽象的思維過程，從而數量之間的相依關系，所以數形結合是尋找解決問題途徑的—種思維方法。又如初一教材引入數軸，就為數形結合的思想奠定了基礎。教材借助于數軸：（1）直觀地給出了相反數的定義，在數軸上表示該兩數的點分別在原點的兩旁，離開原點的距離相等；零的相反數仍是零。（2）直觀地給出了有理數大小的比較法則，即在數軸上表示的幾個有理數，右邊的數總比左邊的數大，（3）直觀地給出了“絕對值”的定義：一個數的絕對值是在數軸上表示—個數的點與原點的距離，因此，借助數軸使數和最簡單的圖形——直線上的點之間建立了對應關系，揭示了“數”與“形”之間的緊密內在聯系，充分顯示出數與形結合起來產生的威力，這種抽象與形象的結合，能使學生的思維得到鍛煉。

四、數形結合在平面幾何中《圓》中的運用，點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，也是通過數形聯系來描述的。

例如：圓與圓的位置關系，設兩圓的半徑分別為R、r（R>r），圓心距為d，則

當d>R+r 兩圓外離

當d=R+r 兩圓外切

當R-r

當d=R-r 兩圓內切

當d

這種描述，正是通過數形結合來揭示事物本質特征，既直觀又能體現了運動變化的規律.“數”與“形”的教學不能孤立進行，而應是交錯進行，相輔相成。

五、解決方程與不等式的問題：處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

在解題中應用數形結合能使解題速度快，思維敏捷。如求二次不等式 的解集，依代數方法是轉化為解不等式 再轉化為不等式組：

或 解之

但若以形代數，架起直覺思維之橋，其獲得結論的速度是上述推導所望塵莫及的。其方法是：先求一元二次方程 的兩根x1=-3，x2=1，

再畫略圖：

不等式 的解集，便一目了然。同時。又可以把三個“二次”即一元二次方程ax2+bx+c=0，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）及一元二次不等式通過圖象直觀地聯系起來，而其系數a.b.c的幾何意義，即a確定拋物開口方向，a與b確定對稱軸位置（ ），c確定圖象在y軸上的截距，都可以通過圖象得到直觀形象的解釋。一旦學生能從數形的結合上把握三個“二次”的聯系，那么就能加強對重要知識的理解與掌握，從而提高分析問題，解決問題的能力.

六、利用幾何圖形，幫助解決代數問題。

例1：在一塊底長為a，高為h的三角形鐵板ABC上，截出一塊矩形鐵板EFGH，使它的—邊FG在BC上；求矩形鐵板EFGH的面積S與矩形的邊EF（設為x）之間的函數關系。

解：矩形EFGH EH‖BC △AEH∽△ABC

可得

由此

∴矩形鐵板EFGH的面積S與矩形的邊EF之間的函數關系為：

七、求最值

例2：如果實數 滿足 則 的最大值為

分析：等式 有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，

圓心為（2，0）半徑 ，（如圖），而 則表示圓上的點 與坐

標原點（0，0）的連線的斜率。如此一來，該問題可轉化為如下幾可問題：動點A

在以（2，0）為圓心，以 為半徑的圓上移動。求直線OA的斜率的最大值，由圖可見，當 在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最大值為

以上例1，例2說明了有關“數”方面的問題，借用“形”的性質之后，可以使許多抽象的關系直觀化，形象化和簡單化，也有助于對問題的內在聯系更進一步的了解，從而變難為易，化繁為簡. 同時，這對于幫助學生開闊思路，突破思維定勢，有極好的作用。在學習過程中，有意培養學生的數形結合思維，往往更容易看清事物的本質，收到事半功倍的效果。

八、利用代數計算解決幾何問題

例3： 已知⊙O內切于△ABC，AB=10，BC=13，AC=11.求：過△ABC的頂點A、B、C各點的切線長。

解：設⊙O與△ABC各邊分別相切于點D、E、F，則

AD=AF，BD=BE，CE=CF

又設AD=x，BE=y，CF=z，則

x+y=10，y+z=13，z+x=11

解方程組： 得

∴過△ABC的頂點A、B、C各點的切線長分別為4，6，7。

例4：已知：三角形三邊長a、b、c滿足 ，

試確定三角形的形狀。

解：∵

∴

∴

∴a=b，b=c，c=a 即a=b=c

∴該三角形是等邊三角形。

由例3，例4說明幾何方面的問題，如果借用代數方法解決，解題方法就易于尋找，解題過程也變得比較簡便，因為幾何題顯然由形較直觀，但若遇到已知和結論之間相距較遠的問題，解題途徑常常不易找到，因而用代數方法解題，思維就比較明確，有規律，因此也就容易找到解題方法。

總之，在數形轉化過程中，必須遵循等價轉換原則，數形互補原則。初中數學教材中，數形結合的例子很多，僅從舉過的例子可以看出，代數，幾何雖然各有不同特點和思考問題的方法，但是，完全有可能，有必要把它們的知識聯系起來，因而我們數學教師應該在抓好代數，幾何的基礎知識的前提下，有意識地引導學生用數形結合的觀點分析問題和解決向題，在此，應注意培養學生以下幾點： （1）觀察圖形，挖掘圖形中蘊含的數量關系。（2）正確繪制圖形，反映圖形中相應的數量關系。（3）切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性，以性識圖。進而，加深對知識的理解與掌握，開拓思維。這種開拓思維對學生來講，可稱是創造，其思維的基礎在于多次地完成數形溝通的訓練，為創造思維積累了所需的潛在能量，在遇到新異問題時，才能閃現出創造性的火花。只要我們在教學中有意識地訓練，不惜從點滴做起，堅持實踐，學生思維素質便可望提高，同時，也為今后學習數學打下良好的基礎.

數形結合的確是一個非常好，也非常實用而且重要的思想方法，應用性強。但它又是一把雙刃劍，時時充滿誘惑和危險。因此，我們要慎之又慎，要揚長避短，要全面合理分析，直觀的同時，輔有嚴謹的演繹.

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