基于有限參與模型的封閉式基金折價研究

于伯韜

[摘要]封閉式基金折價之謎是行為金融學的重要課題，以前學者已從多個角度進行解釋。本文在簡單總結前人研究結論的基礎上，基于有限參與模型，從基金管理費、委托代理問題和風險分散效應三個角度對封閉式基金折價進行新的解釋，并結合中國市場歷史數據進行實證檢驗。

[關鍵詞]封閉式基金折價;行為金融學;有限參與模型;委托代理問題

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.12.027

1封閉式基金折價的已有解釋

封閉式基金折價之謎由來已久，此前國內外許多學者已從多個角度做出理論解釋和實證檢驗。傳統理論試圖在不破壞有效市場假設的前提下對封閉式基金折價做出解釋，它們認為導致基金折價的主要原因有：代理成本、流動性限制、資本利得稅以及未來績效預期等。這些觀點各有一定的說服力，但都沒有解釋問題的所有方面。20世紀90年代以來，行為金融學打破了理性金融學關于投資者理性的假設，發展了新的觀點，對封閉式基金折價提出了新的解釋，其中包括：噪聲理論（DSSW理論）、非對稱信息解釋、投資者情緒理論、隨機換手理論、均勻流動性解釋、羊群行為等等。

2基于有限參與假說的模型

2.1模型假設

盡管過去許多學者從傳統金融學和行為金融學的角度對封閉式基金折價提出了各種觀點，但這些觀點仍不能很好地解釋這個謎題。本文參考Youngsoo（2007）的有限參與模型，從一個新的角度解釋封閉式基金折價之謎，并檢驗該模型是否能解釋中國封閉式基金市場的折價現象。這個模型的一大特點是考慮了封閉式基金的委托代理問題，并把這個因素量化到數學模型中。

基于有限參與假說考慮一個簡單的兩階段模型，這種假設的合理性在于投資者必須為了解調查更多的公司付出相當大的固定成本。假定當投資者了解一組資產的均值和協方差矩陣時，他們就算了解這組資產，所有的投資者對其了解的同一組資產具有同質預期，所以具有同質預期的投資者只有初始稟賦不同其他方面均相同。假定投資者僅了解可供投資的所有資產中的一部分，并且投資者只投資他們了解的資產，這種假設的動機在于從實證檢驗中發現投資者在其投資組合中通常只持有成千上萬可投資資產的一小部分。

在筆者的模型中，僅有一種無風險資產、三種風險資產和一種封閉式基金。基金經理用無風險資產、風險資產乙和風險資產丙這三種他了解的資產構建封閉式基金的投資組合。基金經理在基金結束期收取基金收益的一部分作為基金管理的回報。在所有的投資者中，只有一部分投資者（我們稱之為投資者N）了解封閉式基金，這些投資者同時了解風險資產甲和無風險資產。因此投資者N投資于無風險資產，封閉式基金份額和風險資產甲。

根據這種假設，嘗試求解投資者N和基金經理M的最優選擇和封閉式基金份額的均衡價格。基于有限參與假說，考慮三種影響封閉式基金折價或溢價的經濟因素：基金管理費、委托代理問題和風險分散效應。

第一個經濟因素是基金管理費。這是封閉式基金折價之謎的最早解釋因素之一。在完全參與假設下，基金份額價格等于凈資產價值（NAV）減去基金管理費。

第二個因素是委托代理問題。所謂委托代理問題是指代理人和委托人利益并不完全一致，在委托人處于信息劣勢，不能對代理人進行完全監督的情況下，代理人有動機為了自身利益，做出有損于委托人利益的行為，由此造成的委托人利益受損的現象。在我們的模型中，基金經理在構建投資組合時考慮的是如何使其基金管理費收入最大化而不是如何使投資者N的收益最大化，這種目的的不一致造成了基金份額價格偏離其NAV，由此產生委托代理問題。

第三個因素是風險分散效應。盡管基金管理費和委托代理成本能夠解釋封閉式基金份額折價，但它們都不能解釋基金的溢價情況，盡管這種情況很少見。風險分散效應基于封閉式基金收益和風險資產甲收益的相關系數，能夠解釋基金的溢價現象。兩者的相關系數越低，風險分散效應越大，基金份額價格因此上升。當僅考慮風險分散效應，忽略基金管理費和委托代理問題，封閉式基金收益與風險資產甲收益呈負相關時，基金份額溢價交易。

2.2模型推導

在假設中共有三個不同的風險資產，用Fk表示三種風險資產在期末支付的隨機收益，k=1，2，3。Fk服從均值為μk的正態分布。用Fc表示表示封閉式基金份額在期末支付的隨機收益，其均值為μc，方差為σc，與風險資產甲的協方差為σ1c。R表示無風險資產在期末支付的收益，無風險資產的期末支付R對包括基金經理在內的所有投資者是公開信息。用xjK表示投資者j持有的風險資產k的數量，用Pc表示封閉式基金一單位份額的價格，用gk表示資產k預期的額外收益。

gk=E（Fk-PkR）=μk-PkR（1）

考慮一個了解風險資產乙丙的基金經理M（或一組相同的基金經理），在期初建立封閉式基金并以確定的價格（通常溢價）向投資者出售基金份額。當基金開始運行時，基金經理用出售基金份額所得收入構建投資組合，作為回報基金經理在期末收取基金投資組合收益的一部分，記為。假設基金經理在其私人賬戶不進行任何風險資產或基金份額的交易，因為這樣會消除基金的折價或溢價。

投資者在期初的初始稟賦為Wj，效用函數為負指數形式如下：

U（Wj）=-1ajexp（-ajWj）（2）

這樣規定的意義在于負指數形式的效用函數絕對風險厭惡系數為aj。

U′（W）=-e-aWU″（W）=-ae-aWRA（W）

=-U″（W）U′（W）=a（3）

投資者N希望其投資組合收益的期望效用最大化，而基金經理希望基金管理費收入的期望效用最大化。假設發行在外的基金份額數量為1。

2.2.1對基金經理而言的投資組合問題

基金經理的目的在于通過持有適當數量的風險資產乙，xm2，和風險資產丙，xm3，使其基金管理費收入Fc的期望效用最大化。基金投資組合的收益為：

Fc=WmR+xm2（F2-P2R）+xm3（F3-P3R）（4）

基金經理持有風險資產的最優數量為：

xm2=σ23g2-σ2 3g3am[σ22σ23-（σ2 3）2]

和xm2=σ22g3-σ2 3g2am[σ22σ23-（σ2 3）2]（5）

2.2.2對投資者N而言的投資組合問題

投資者N可投資風險資產甲、封閉式基金份額和無風險資產，他了解風險資產甲和基金份額期末隨機支付的均值和方差，同時也知道風險資產甲和基金份額收益的協方差，他不知道的是基金經理投資組合的構成。

σ2c=var（Fc）=（xm2σ2）2+（xm3σ3）2+2xm2xm3σ23（6）

σ1c=cov（F1， Fc）=xm2σ12+xm3σ13（7）

μc=E（Fc）=WmR+xm2g2+xm3g3（8）

投資者N的目的在于選擇持有適當數量的風險資產甲，xN1，和基金份額，xNc，使得其期末財富的預期效用最大化。

N=NR+xN1（F1-P1R）+xNc[（1-）Fc-PcR]（9）

投資者N持有的風險資產甲和基金份額的最優數量為：

xN1=（1-）σ2cg1-σ1c[（1-）μc-PcR]aN（1-）[σ21σ2c-（σ1c）2]（10）

xNc=-（1-）σ1cg1-σ21[（1-）μc-PcR]aN（1-）2[σ21σ2c-（σ1c）2]（11）

2.2.3市場出清的均衡價格

當投資者N持有全部發行在外的封閉式基金份額時，市場處于出清狀態，此時：xNc=1

由式（5）和式（8）得：

μc=E（Fc）=mR+amσ2c（12）

由式（10）、式（11）和“xNc=1”得：

xN1=1aNσ21[g1-aN（1-）σ1c]（13）

用NAV代替m，由式（12）、式（11）和“xNc=1”可得市場出清狀態下分隔壁是基金的價格為：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]-aNRσ1cxN1（14）

2.3模型解釋

我們從基金管理費、委托代理問題和風險分散因素三個角度解釋上述模型。

2.3.1基金管理費

假設投資者N完全了解風險資產甲、乙、丙，并可投資這些風險資產（完全參與假說），那么無套利條件下封閉式基金份額的價格為：

Pc=（1-）NAV（15）

在投資者N完全參與的假設下，封閉式基金折價僅取決于基金管理費，基金管理費反映了基金經理的參與成本或交易成本。

2.3.2委托代理問題

假設投資者N并不了解任何的風險資產，即有限參與假設下，投資者只能投資無風險資產和封閉式基金份額，容易得出這種狀態下的封閉式基金份額價格為：

Pc=（1-）NAV-σ2cR[aN（1-）-am]（16）

上述公式主要表達第二個因素，即委托代理問題對封閉式基金份額價格的影響，-σ2cR[aN（1-）-am]這一項即是由委托代理問題引起的。通常情況下，委托代理問題導致封閉式基金份額價格偏離其NAV，但是當aN（1-）=am時除外，在這種情況下恰好沒有委托代理問題，基金的折價水平僅取決于基金管理費。為了說明這一點，我們回憶基金經理和投資者N所面臨的最大化問題：

基金經理：Max E[exp（1amFc）]

投資者N：Max E{exp[-aN（1-）Fc]}

當aN（1-）=am時，這兩個最大化問題是相同的，也就是說，基金經理和投資者N此時的目的是一致的，也就不存在委托代理問題。此時封閉式基金的交易價格等于基金的NAV減去基金管理費。

當aN（1-）≠am時，封閉式基金的折價或溢價取決于投資者N和基金經理的絕對風險厭惡系數。當投資者N更加風險厭惡時，即aN>am1-時，投資者N對持有基金份額需要更多的補償，因此基金份額的交易價格發生折價。相反地，當投資者N沒有那么風險厭惡時，基金份額的交易價格發生溢價。因為通常小于2%，所以我們容易得出aN>am1-和σ2cR[aN（1-）-am]>0。所以委托代理問題通常會引起封閉式基金折價。

2.3.3風險分散效應

假設當aN（1-）=am時，容易得出此時基金份額的價格為：

Pc=（1-）NAV-aNRσ1cxN1（17）

此刻暫時不考慮委托代理問題，我們把-aNRσ1cxN1稱為風險分散效應。為了看清這一點，我們應認識到基金投資組合為投資者N提供了風險分散效應，因為它為投資者提供了更多的投資機會。風險分散效應主要取決于風險資產甲和封閉式基金投資組合的相關系數σ1c，兩者間的相關系數越低，風險分散效應帶來的好處就越大，這和馬科維茨的經典投資組合理論相一致。

在以下兩種情況下，風險分散效應為0 。一是當風險資產甲為無風險資產，即σ1c=0;二是當風險資產甲為基金投資組合的一部分。第一種情況顯而易見，我們考慮第二種情況，在沒有委托代理問題的大前提下，當風險資產甲為基金投資組合的一部分時，投資者N不必再持有任何額外的風險資產甲，因為基金投資組合已為投資者N提供了最佳的風險資產甲的數量，此時xN1=0。

綜上，當風險資產甲和封閉式基金投資組合的相關系數為負時，-aNRσ1cxN1>0， 此時封閉式基金份額價格會上升。當兩者間的相關系數足夠小，風險分散效應所造成的價格上升影響超過基金管理費和委托代理問題造成的價格下降影響時，基金份額就會溢價交易。這樣我們的模型就解釋了雖然罕見但有時確實存在的封閉式基金溢價交易情況。

3實證檢驗與結論

本文的另一個主要目的是檢驗有限參與模型是否能解釋中國封閉式基金的折價現象。我們選取23只在上交所上市的封閉式基金從2001年到2007年的周數據，數據來源于國泰安數據庫。我們用上證指數代表中國市場投資組合的表現情況，用一年期定期存款利率代表無風險利率。因為模型中的一些參數是以回報的形式展示而不是回報率，所以我們需要對式（14）進行調整得：

PcNAV=（1-）1-NAV×σ2（rc）R[aN（1-）-am]-

cov（r1， rc）Rσ2（r1）[E（r1）-rf]-

aN（1-）×NAV×cov（r1， rc）]（18）

其中rf為無風險利率;為基金管理費，=0.015。把風險資產甲定義為中國市場投資組合，所以r1為上證指數收益率，E（r1）=0.13994，σ2（r1）=0.00023。σ2（rc）為封閉式基金NAV回報率的方差，cov（r1， rc）為上證指數收益率和封閉式基金收益率的協方差。我們把NAV標準化為1。aN和am是投資者N和基金經理的絕對風險厭惡系數，am=0.01055， aN=0.03165。在決定絕對風險厭惡系數的值時，參考Grundy（2002）的另一篇文獻，相對風險厭惡系數為4對應的絕對風險厭惡系數為0.0211，容易假設投資者N比基金經理更加的風險厭惡，所以令投資者N的絕對風險厭惡系數比0.0211大50%，令基金經理的絕對風險厭惡系數比0.0211小50%，這樣絕對風險厭惡系數的平均值仍為0.0211。

根據上表可得上圖，圖中橫坐標為基金NAV增長率與上證指數收益率的相關系數，因為折溢價率均為負，所以縱坐標取折價率絕對值。由圖可以看出，近半數基金由模型計算出的折價率比較明顯地大于實際折價率，極少數基金由模型計算出的折價率比較明顯地小于實際折價率，其余基金的實際折價率與由模型計算出的折價率基本相同。由模型計算出的折價率數據和實際折價率數據的相關系數為0.658711。總體來說，模型在一定程度上能解釋中國封閉式基金市場的折價原因，委托代理問題確實也是影響中國封閉式基金折價的因素之一。

但是仍應該看到，模型對真實市場的折價情況解釋能力有限，僅在兩階段有限參與假設的框架下，模型不能解釋基金折溢價與基金發行時間長短的關系，也不能解釋為什么在基金發行的最初一兩個星期投資者會以一定的溢價購買封閉式基金份額等問題。模型假設只有一種封閉式基金，投資者具有同質預期等等，種種苛刻假設簡化了許多問題，也為今后的研究提供了思路。

參考文獻：

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