集合、函數(shù)與不等式命題規(guī)律與備考策略

張琦

“集合、函數(shù)與不等式”專題包括集合、函數(shù)、不等式三部分內(nèi)容.其中集合部分幾乎是高考必考內(nèi)容，而函數(shù)部分則是高考的重點，不等式或者單獨命題或者與其他相關(guān)知識相結(jié)合綜合考查考生的分析問題、解決問題的能力.集合部分如果單獨考查，主要考查集合與集合之間的關(guān)系以及集合的基本運算.函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的考查，是高考考查的重點.而且通常會與集合、不等式、方程、數(shù)列等知識結(jié)合，考查考生的綜合能力.不等式部分具有一定的特色，其中線性規(guī)劃部分是考查的重點，而解不等式以及基本不等式也不能輕視.

從題型上來講，集合部分的考題主要以選擇填空題的形式出現(xiàn)，5分. 就函數(shù)題目（不包括導(dǎo)數(shù)）而言，考查范圍涉及到函數(shù)的方方面面，難度覆蓋面也很廣，但也基本以選擇填空題的形式出現(xiàn)，大概10分.不等式部分的考題大致也是以選擇填空題出現(xiàn)，大概5分.

從難度上來講，如果單純考查集合的概念以及相關(guān)運算，屬容易題.但是如果將集合與排列組合、數(shù)列等知識相結(jié)合，則難度變大，屬難題.高考對函數(shù)知識要求是很高的，考查函數(shù)單一性質(zhì)的簡單題目不多;大都是函數(shù)性質(zhì)之間的綜合考查，例如圖像與解不等式結(jié)合、周期性、單調(diào)性、奇偶性相結(jié)合，等等，較難題的比例較大.而不等式部分的題目由于知識點的限制，以及素質(zhì)教育的需求，難度有所下降，屬中等難度題.

預(yù)計該部分試題仍以選擇題、填空題為主，難度保持穩(wěn)定，要求考生對基本知識、基本題型求解準(zhǔn)確熟練.對創(chuàng)新試題型要關(guān)注.

第一單元 ?集合

【考點聚焦】

集合的主要內(nèi)容包括集合的含義與表示，集合間的基本關(guān)系和集合的基本運算.

【經(jīng)典解析】

考點1：集合間的基本關(guān)系以及基本運算

例1.（2015年高考新課標(biāo)Ⅰ文科）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，12，14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

【思維生長點】本題涉及到集合列舉法表示和描述法表示的辨析，同時也涉及到集合運算中的求交運算.

解析：因為A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，…}，B={6，8，12，14}，所以A∩B={8，14}，所以集合A∩B中共有2個元素. 故選D.

【收獲與點評】本題難度不大，但是也算是對集合部分知識點的一個綜合考查.對于部分考生而言自然數(shù)是否包括0，是一個小小的難點，但是本題并沒有在此處難為考生，顯得比較大氣.其實與本題類似，2015年高考北京文科卷也考查了集合的運算：若集合，A={x|-5

考點2：集合創(chuàng)新題型

例2. （2015年高考廣東文科）若集合，E={（p，q，r，s）|0≤p

A. 50 B. 100 C. 150 D. 200

【思維生長點】本題不是傳統(tǒng)意義上考查集合運算的題目，而是通過集合形式包裝，實質(zhì)是考查“推理與證明”相關(guān)知識.主要考查考生閱讀與理解、信息遷移以及考生的學(xué)習(xí)潛力，考查考生分析問題和解決問題的能力，屬于創(chuàng)新題型.而對于給定兩個集合中的元素可以理解為四維空間中的點.

解析：當(dāng)s=4時，p，q，r都是取0，1，2，3中的一個，有4×4×4=64種;當(dāng)s=3時，p，q，r都是取0，1，2中的一個，有3×3×3=27種，當(dāng)s=2時，p，q，r都是取0，1中的一個，有2×2×2=8種，當(dāng)s=1時，p，q，r都取0，有1種，所以card（E）=64+27+8+1=100，當(dāng)t=0時，u取1，2，3，4中的一個，有4種，當(dāng)t=1時，u取2，3，4中的一個，有3種，當(dāng)t=2時，u取3，4中的一個，有2種，當(dāng)t=3時，u取4，有1種，所以t、u的取值有1+2+3+4=10種，同理，v、w的取值也有10種，所以card（F）=10×10=100，所以card（E）+card（F）=100+100=200，故選D.

【收獲與點評】從知識點來講，本題是集合的形式，實質(zhì)為分類與分步計數(shù)原理.而通過分類討論，本題能夠順利得以解決.其實對于計數(shù)原理，考生不要有畏難情緒，可以通過分類討論、數(shù)形結(jié)合等方法解決這類問題.

例3. （2014年卓越）已知集合A，B滿足A∪B={1，2，3，…，8}，A∩B=？覫. 若A中元素的個數(shù)不是A中的元素，B中元素的個數(shù)不是B中的元素，則滿足條件的所有不同的集合A的個數(shù)為___________.

【思維生長點】本題解決的關(guān)鍵是考生要分清當(dāng)集合A中只有一個元素時，集合B中有7個元素;而且只要集合A確定了，那么集合B也必然已經(jīng)確定.所以只需要考慮集合A的情況就可以了.當(dāng)集合A中只有一個元素時，不是有7種情況，而只有A={7}一種情況.余者類似.

解析：當(dāng)集合A中只有一個元素時，A={7}，1種情況;當(dāng)集合A中有兩個元素時，A={6}∪C，其中C是集合{1，3，4，5，7，8}的單元素子集，共6種情況;當(dāng)集合A中有三個元素時，A={5}∪D，其中D是集合{1，2，4，6，7，8}的雙元素子集，共=15種情況;當(dāng)集合A中有五個元素時，A={3}∪E，其中E是集合{1，2，4，6，7，8}的四元素子集，共=15種情況;當(dāng)集合A中有六個元素時，A={2}∪F，其中F是集合{1，3，4，5，7，8}的五元素子集，共=6種情況;當(dāng)集合A中有七個元素時，A={1，2，3，4，5，6，8}，1種情況;所以2×（1+6+15）=44.

【收獲與點評】本題與例2有類似的地方，以集合為背景，求子集的個數(shù)的問題.常用解法有公式法、圖表法、組合數(shù)公式法等.而且在解決本題時要注意集合A，集合B不能是空集，而且這兩個集合中的元素不能是4個（聰明的考生，你知道為什么嗎）.

第二單元 函數(shù)

【考點聚焦】

不等式的主要內(nèi)容包括：函數(shù)概念、定義域和值域，函數(shù)圖像與性質(zhì)，基本初等函數(shù)，函數(shù)與方程和函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題.

考點1：函數(shù)概念、函數(shù)的定義域值域

例1. （2015年高考新課標(biāo)Ⅱ理科）設(shè)函數(shù)f（x）=

1+log2（2-x），x<12x-1，x≥1f（-2）+f（log212）=（ ）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

【思維生長點】本題主要考查函數(shù)三要素中的對應(yīng)法則，對廣大考生而言不難.但是在本題中，又混合有對數(shù)運算，如果指數(shù)運算掌握不精的考生，解決本題可能會有困難.

解析：由已知得f（-2）=1+log24=3，又log212>1，所以f（log212）=2=2=6，故f（-2）+f（log212）=9.

【收獲與點評】本題中函數(shù)解析式是以分段函數(shù)的形式給出，高考中，經(jīng)常通過分段函數(shù)來考查函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等，這對考生理解函數(shù)性質(zhì)深度提出了更高要求.下文再詳細介紹.

例2. （2015年高考山東理科）已知函數(shù)f（x）=ax+b（a>0，a≠1）的定義域和值域都是[-1，0]，則a+b= ? ? ? ? ?.

【思維生長點】指數(shù)型函數(shù)f（x）=ax+b的單調(diào)性與底數(shù)a的范圍有關(guān)，但是考生應(yīng)該清楚，不論a>1還是0

解析：當(dāng)a>1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（-1）=-1，f（0）=0？圯a-1+b=-1，a0+b=0，無解;

當(dāng)0

所以a+b=-2=-.

【收獲與點評】在函數(shù)三要素中，函數(shù)的定義域問題都比較簡單，需要考生能夠適當(dāng)建立不等式，解不等式即可. 而對于值域問題，則比較復(fù)雜，應(yīng)該首先探求函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)情況. 若f（x）是基本初等函數(shù)，應(yīng)優(yōu)先考慮采用特殊方法，如不等式法、配方法、幾何法、換元法，也可直接利用它的圖像和性質(zhì)求解;若f（x）為其他函數(shù)，可利用單調(diào)性定義或?qū)?shù)法確定其性質(zhì)，再求值域.

例3. （2015年高考福建理科）若函數(shù)f（x）=-x+6，x≤23+logax，x>2（a>0且a≠1）的值域是[4，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是 ? ? ? ?.

【思維生長點】本題是通過分段函數(shù)包裝的函數(shù)值域問題，由于含有參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性確定起來比較困難，所以本題不能直接通過單調(diào)性求解.但是如果考生進一步分析能夠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x≤2時，-x+6≥4，那么只需要y=3+logax（x>2）的值域是[4，+∞）的子集即可.

解析：當(dāng)x≤2時，-x+6≥4，要使得函數(shù)f（x）=-x+6，x≤23+logax，x>2（a>0且a≠1）的值域是[4，+∞），只需要y=3+logax（x>2）的值域是[4，+∞）的子集即可.

當(dāng)a>1時，3+logax>3+loga2（x>2），所以3+loga2≥4，解得1

當(dāng)02），此時函數(shù)f（x）的值域不可能是[4，+∞）.

所以實數(shù)a的取值范圍是（1，2].

【收獲與點評】如果考生審題時不能意識到當(dāng)x≤2時，-x+6≥4，那么本題操作起來難度加大.所以提醒各位考生，審題要細心.

考點2：函數(shù)圖像與性質(zhì)

例4. （2015年高考安徽文科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖像只有一個交點，則a的值為 ? ? ? ? .

【思維生長點】函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的一種表示，它從“形”的方面顯示了函數(shù)的性質(zhì)，刻畫了函數(shù)的變化規(guī)律.而對于本題，則需要考生能夠主動畫出函數(shù)圖像，通過圖像觀察可得結(jié)論.

解析：在坐標(biāo)系內(nèi)，作出y=2a與y=|x-a|-1的大致圖像，如下圖：由題意，可知2a=-1？圯a=-.

【收獲與點評】本題在畫函數(shù)y=|x-a|-1的圖像的時候，可以有兩種處理方案.一種是將絕對值簡單理解為分段函數(shù)，也就是說y=|x-a|-1=x-a-1，x≥a-x+a-1. x

例5. （2015年高考陜西文科）設(shè)f（x）=x-sin x，則f（x）=

（ ）

A. 既是奇函數(shù)又是減函數(shù) ? ?B. 既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

C. 是有零點的減函數(shù) ? ? ? ? ? D. 是沒有零點的奇函數(shù)

【思維生長點】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的知識點，對于函數(shù)的奇偶性考生應(yīng)該注意其大前提是定義域要關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.而對于單調(diào)性，可以通過定義法去判斷也可以通過求導(dǎo)的方法去判斷.

解析：f（x）=x-sinx？圯f（-x）=（-x）-sin（-x）=-x+sinx=-（x-sinx）=-f（x）又f（x）的定義域為R是關(guān)于原點對稱，所以f（x）是奇函數(shù).

f ′（x）=1-cosx≥0？圯f（x）是增函數(shù).

【收獲與點評】判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時若函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但要保證定義域不變，再利用定義判定;用圖像判定也是常用的方法.

單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，一般用求導(dǎo)的方法解決，對于選擇題和空題，也可用一些命題來解決，如兩個增（減）函數(shù)的和函數(shù)仍為增（減）函數(shù).解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決.

例6. （2015年高考福建文科）若函數(shù)f（x）=2|x-a|（a∈R）滿足f（1+x）=f（1-x），且f（x）在[m，+∞）單調(diào)遞增，則實數(shù)m的最小值等于_______.

【思維生長點】f（1+x）=f（1-x），刻畫的是函數(shù)f（x）的對稱性;與此類似f（x+1）=f（x-1），則刻畫的是函數(shù)f（x）的周期性.本題中，應(yīng)該根據(jù)對稱軸，求得參數(shù)a的值.進而可以求得實數(shù)m的取值范圍.

解析：由f（1+x）=f（1-x）得函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對稱，故a=1，則f（x）=2|x-1|，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得f（x）在[1，+∞）遞增，故m≥1，所以實數(shù)m的最小值等于1.

【收獲與點評】考生需要掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性的綜合應(yīng)用.同時考生需要學(xué)會運用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，感受應(yīng)用函數(shù)圖像處理函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性解決問題的優(yōu)越性，提高觀察、分析、推理、創(chuàng)新的能力.

考點3：基本初等函數(shù)

例7. （2015年高考安徽文科）lg+2lg2-（）-1= ? ? ? ? ?.

【思維生長點】處理本題既可以lg+2lg2=lg5-lg2+2lg2=lg5+lg2=1，也可以如下處理lg+2lg2=lg+lg4=lg10=1.

解析：原式=lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=1-2=-1.

【收獲與點評】縱觀近幾年高考文理試題，其實直接考查指數(shù)冪、對數(shù)運算的試題并不常見.但是今年安徽文科此題，也在給各位考生提醒，指、對、冪的運算是研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，需重視.

例8. （2015年高考天津理科）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x-m|-1（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）

A. a

【思維生長點】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，求得m=0，所以f（x）=2|x|-1. 如此一來，函數(shù)f（x）=2|x|-1的性質(zhì)就非常重要了，所以需要畫出函數(shù)圖像，進而研究性質(zhì).而對于函數(shù)f（x）=2|x|-1的圖像，既可以由f（x）=2|x|-1=2x-1，x≥02-x-1，x<0畫出，也可以通過平移得到.

解析：因為函數(shù)f（x）=2|x-m|-1為偶函數(shù)，所以m=0，即f（x）=2|x|-1=，所以：

a=f（log0.53）=f（log2）=2-1=2-1=3-1=2，

b=f（log25）=2-1=4，

c=f（2m）=f（0）=20-1=0.

所以c

【收獲與點評】從近幾年的高考形勢來看，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的試題大多以基本性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，考查利用單調(diào)性比較數(shù)的大小;解簡單的指數(shù)不等式;考查復(fù)合指數(shù)式的最值或參數(shù)的取值范圍等.

考點4：函數(shù)與方程

例9. （2015年高考湖南理科）已知f（x）=x3，x≤ax2，x>a若存在實數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個零點，則a的取值范圍是

.

【思維生長點】函數(shù)的零點，方程的根以及函數(shù)圖像交點之間有著密切的聯(lián)系.本題中就需要將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根.但是本題需要分清是“兩個方程各有一個根”還是“一個方程無根，一個方程有兩個根”——但是方程x3=b（x≤a）不會有兩個根，所以只能是方程x2=b（x>a）有2個根.

解析：由題意可知，問題等價于方程x3=b（x≤a）與方程x2=b（x>a）的根的個數(shù)和為2. 若兩個方程各有一個根，則可知關(guān)于b的不等式組b≤a，>a，-≤a有解，從而a>1;若方程x3=b（x≤a）無解，方程x2=b（x>a）有2個根，則可知關(guān)于b的不等式組b>a，->a有解，從而a<0，所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）.

【收獲與點評】函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識點.從近幾年高考的形勢來看，十分注重對三個“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同時也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用.

考點5：函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題

例10. （2015年高考北京理科）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（ ）

A. 消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多

C. 甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D. 某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

【思維生長點】本題需要考生能夠深刻的體會“燃油效率”的概念，之后通過排除法可以得出正確答案.

解析：“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖像最高點的縱坐標(biāo)值，A錯誤;B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯誤;C中甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km，行駛80km，消耗8升汽油，C錯誤;D中某城市機動車最高限速80千米/小時，由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，選D.

【收獲與點評】出于 “立意” 和創(chuàng)設(shè)情景的需要，高考函數(shù)應(yīng)用問題設(shè)置的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查，加大了探索題、開放題和信息題的考查力度，主要涉及經(jīng)濟、環(huán)保、能源、健康等社會現(xiàn)象，因而使高考考題顯得新穎、生動和靈活.

第三單元 不等式

【考點聚焦】

不等式的主要內(nèi)容包括不等關(guān)系與一元二次不等式解法，二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題，基本不等式≤（a，b≥0）.

【經(jīng)典解析】

考點1：不等式解法

例1. （2015年高考廣東文科）不等式-x2-3x+4 > 0的解集為 ? ? ? ? ? ?.（用區(qū)間表示）

【思維生長點】解一元二次不等式是對考生的基本要求.而本題在解題時需要注意二次項系數(shù)為負，所以大于零的解集應(yīng)該取中間.

解析：由-x2-3x+4<0，得-40的解集為（-4，1），所以原不等式解集為（-4，1）.

【收獲與點評】解一元二次不等式時，首先要將二次項系數(shù)調(diào)整為正，之后求對應(yīng)一元二次方程的根，最后大于取兩邊小于取中間.與本題類似，2015年高考江蘇卷：不等式<4的解集為______.本題其實也就是利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，化指數(shù)不等式為一元二次不等式，進而解得-1

例2. （2015年高考新課標(biāo)Ⅱ文科）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+|x|）-，則使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范圍是（ ）

A. （，1） ?B. （-∞，）∪（1，+∞）

C. （-，） D. （-∞，-）∪（，+∞）

【思維生長點】解決本題一定要首先分析好f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減，進而轉(zhuǎn)化為絕對值不等式. 而不能莽撞的直接代入，如果直接代入，本題則會困難異常.

解析：由f（x）=ln（1+|x|）-可知f（x）是偶函數(shù)，且在[0，+∞）是增函數(shù)，所以f（x）>f（2x-1）？圳f（|x|）>f（|2x-1|）？圳|x|>|2x-1|？圳

【收獲與點評】對于本題中的絕對值不等式，常規(guī)的解法是通過分類去掉絕對值符號，此外也還可以通過幾何意義或者平方處理.

考點2：簡單線性規(guī)劃問題

例3. （2015年高考新課標(biāo)Ⅰ理科）若x，y滿足約束條件x-1≥0，x-y≤0，x+y-4≤0，則的最大值為 ? ? ? ?.

【思維生長點】本題考查用平面區(qū)域表示二元一次不等式組和簡單的線性規(guī)劃問題.求目標(biāo)函數(shù)的最大值問題是本題的亮點，也是突破口.應(yīng)該注意到的幾何意義為平面區(qū)域內(nèi)任意一點（x，y）與坐標(biāo)原點連線的斜率.

解析：作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A（1，3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.

【收獲與點評】本題的目標(biāo)函數(shù)是，其幾何意義為斜率;其實目標(biāo)函數(shù)還可以有其他一些常見的表達形式，比如z=x+y，z=x2+y2，對應(yīng)的幾何意義分別為截距，兩點間距離的平方.

考點3：基本不等式

例4. （2015年高考福建文科）若直線+=1（a>0，b>0）過點（1，1），則a+b的最小值等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【思維生長點】直線過定點，則點的坐標(biāo)必然滿足直線方程，從而可得+=1，進一步求a+b的最小值時，推薦1字代換的方法.

解析：由已知可得+=1，則a+b=（a+b）（+）=2++≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b=2時，等號成立.

【收獲與點評】本題除了上面的解法以外，還可以代入消元解決.由+=1，知b=，從而a+b=a+=a+=2+（a-1）+，進而可得結(jié)論.

例5. （2015年高考陜西理科）設(shè)f（x）=lnx，0

A. q=r

p C. p=rq

【思維生長點】順利解決本題，要熟悉對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，同時也要掌握對數(shù)運算性質(zhì)，最后，還要能利用基本不等式比較大小.本題中，基本不等式部分的內(nèi)容不難，僅僅需要了解≥即可.

解析：p=f（）=ln，q=f（）=ln，

r=（f（a）+f（b））==ln，函數(shù)f（x）=lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因為b>a>0，所以>，所以f（）>f（）. 故選C.

【收獲與點評】對于利用函數(shù)性質(zhì)比較大小的問題，也有這樣一道經(jīng)典的題目：若a>b>1，P=，Q=（lna+lnb），R=ln（），則R=ln（）>ln=（lna+lnb）=Q>=P.

（作者單位：北京市第十二中學(xué)）

責(zé)任編校 ? 徐國堅