幾何證明選講、坐標系與參數方程和不等式選講命題規律與備考策略

高慧明

本專題包括：幾何證明選講?、坐標系與參數方程和不等式選講.

幾何證明選講主要內容有：相似三角形的定義與性質、平行截割定理、直角三角形射影定理、圓周角定理、圓的切線判定定理與性質定理、相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理.

坐標系與參數方程主要內容有：坐標系、極坐標的基本概念、極坐標和直角坐標的互化.簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）表示的極坐標方程、參數方程的基本概念、直線、圓和圓錐曲線的參數方程.

不等式選講主要內容有：（1）含絕對值不等式;（2）通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.

本專題共有10個知識點，5年來全國高考試題先后均涉及到10個知識點，高考覆蓋率為100%.本專題在高考中是選做題中的一個解答題，總分10分，分值比重為6.66%，試題平均難度為0.44.

在能力考查方面，主要考查：推理論證能力4%.運算求解能力3%

本專題的中高頻考點及五年高考試題中出現的頻數有：圓內接四邊形的性質定理與判定定理（頻數3），極坐標和直角坐標的互化（頻數3），含絕對值不等式（頻數5）.

根據上述分析可以看出，高考命題在本篇中特別突出了幾何證明選講中圓的相關定理的運用考察，坐標系與參數方程中極坐標和直角坐標的互化、參數方程與一般方程的互化的考察，不等式選講中含絕對值不等式的相關問題的考察.

從知識范圍來看，本篇是高考選做題，主要是幾何證明選講?、坐標系與參數方程、不等式選講三專題中選做一題.此內容是以解答題的形式出現，分值10分，難度不大.

從能力要求來看，本篇是高考命題的一個特點，考生根據自己的學情選做，但三專題均始終是考查推理論證能力，運算求解能力，所占比重約為7%.

從題型分布來看，三專題各為一個解答題，分值都是10分.考生選做一題.

從試題難度來看，平均難度約為0.45，屬于中檔題.

上述考查宗旨和特點已呈現出持續穩定的態勢，必然會影響到今后的命題.

第一單元???幾何證明選講

【考情分析】幾何證明選講近五年的高考考查情況是：

基本屬于中檔題.

【考點聚焦】

幾何證明選講主要內容有：（1）理解相似三角形的定義與性質，了解平行截割定理.（2）會證明和應用以下定理：①直角三角形射影定理;②圓周角定理;③圓的切線判定定理與性質定理;④相交弦定理;⑤圓內接四邊形的性質定理與判定定理;⑥切割線定理.

【經典解析】

考點1：平行截割定理

例1.?在梯形ABCD中，點E，F分別在腰AB，CD上，EF∥AD，AE∶EB=m∶n.

求證：（m+n）EF=mBC+nAD.你能由此推導出梯形的中位線公式嗎？

【思維生長點】由題目可獲得的主要信息及解題思路：.

【收獲與點評】本題旨在考查考生對平行線分線段成比列定理的掌握情況，考察考生的綜合分析問題能力，屬于中檔題.

考點2：圓的相關定理和性質

例2.?如圖2，已知⊙A、⊙B都經過點C，BC是⊙A的切線，⊙B交AB于點D，連結CD并延長交⊙A于點E，連結AE.

（1）求證：AE⊥AB;

（2）求證：DE·DC=2AD·DB;

（3）如果DE·DC=8，AE=3，求BC的長.

【思維生長點】由題目可獲得的主要信息及解題思路：

【收獲與點評】本題旨在考查考生對圓的切線的判定定理及性質定理及弦切角定理及其推論、相交弦定理、割線定理、切割線定理等問題的掌握情況，在證明一些帶有倍數的乘積式（或比例式）時，常常需要將它轉化為標準的比例式，即用具體的線段代換“倍線段”，以便進一步探尋，屬于中檔題.

例3.?如圖所示，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC=2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.?求證：

（Ⅰ）BE=EC;

（Ⅱ）AD·DE=2PB2.

【思維生長點】（Ⅰ）連接AB，AC.由題設知PA=PD，

【收獲與點評】平面幾何是一門研究平面內幾何圖形性質的基礎學科.學習幾何是訓練思維的最好方式.?在現代，幾何更成了理工科類的基礎學科之一.對于考生而言，千變萬化的幾何圖形深深的吸引著他們.考生大都認為幾何比代數更具體、更形象，有一種直觀的美感.本道題第一問采用分析法（要證BE=EC只需證明∠DAC=∠BAD），從而解題思路得以進行.第二問利用相交弦定理比較容易處理.

考點3：四點共圓的判定

例4.?D，E分別為？駐ABC的邊AB，AC上的點，且不與？駐ABC的頂點重合.已知AE的長為n，AC的長為m，AD，AB的長是關于x的方程x2-14x+mn=0的兩個根.

（Ⅰ）證明：C，B，D，E四點共圓;

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圓的半徑.

【思維生長點】由題目可獲得的主要信息及解題思路：

【收獲與點評】本題以三角形為載體，考察了四點共圓的判定，同時還考察了圓的相關性質，是比較綜合的問題，屬于中檔題.

【復習攻略】

本單元在高考試卷中占10分，對考生推理論證能力的要求較高，試題難度中等偏難.因此，其復習時間應有2～3課時為宜，并且配以適量的課后作業.

本單元應重點掌握的知識包括：相似三角形的定義與性質、平行截割定理、直角三角形射影定理、圓周角定理、圓的切線判定定理與性質定理、相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理.

本單元復習的基本方法是：借助圖形，用心觀察，善于分析，手腦并用，多畫圖、畫好圖有利于建立圖形元素間的聯系，提高圖形分析推理能力.

第二單元???坐標系與參數方程

【考情分析】坐標系與參數方程近五年的高考考查情況是：

基本屬于中檔題.

【考點聚焦】

坐標系與參數方程主要內容有：坐標系、極坐標的基本概念、極坐標和直角坐標的互化.簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）表示的極坐標方程、參數方程的基本概念、直線、圓和圓錐曲線的參數方程.

【經典解析】

考點1：圓的參數方程

【思維生長點】由題目可獲得的主要信息及解題思路：

【收獲與點評】參數重要的功能是把兩個變量間的關系用一個變量來表示，引進參數能起到降維的功能，使問題簡化.本道題難在轉換（因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線GD與l的斜率相同），這種轉換是建立在數形結合的恰當應用上.

考點3：極坐標和直角坐標的互化

【收獲與點評】本題主要從坐標和方程兩個角度來考察了極坐標和直角坐標的互化，屬于容易題.

【復習攻略】

本單元在高考試卷中占10分，對考生計算互化能力的要求較高，試題難度中等.因此，其復習時間應有2～3課時為宜，并且配以適量的課后作業.

本單元應重點掌握的知識包括：坐標系、極坐標的基本概念、極坐標和直角坐標的互化.簡單圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓）表示的極坐標方程、參數方程的基本概念、直線、圓和圓錐曲線的參數方程.

本單元復習的基本方法是：了解坐標系、極坐標的基本概念，充分認識坐標系的作用和意義，坐標系的思想是現代數學最重要的基本思想之一，是聯系代數和幾何的橋梁，充分體現了“形”與“數”二者的有機結合，也是其它幾何問題、函數問題、方程問題等的基礎。借助于坐標系，我們可以把幾何圖形用代數的形式表示出來;熟練掌握極坐標和直角坐標的互化，從而將不熟悉的問題劃歸為熟悉的問題加以解決;領悟參數方程的基本概念和作用，參數的選擇是參數方程應用的關鍵;要學會比較，學會選擇，數形結合，要善于將它們有機結合、互相轉化.

第三單元???不等式選講

【考情分析】不等式選講近五年的高考考查情況是：

基本屬于中檔題.

【考點聚焦】

不等式選講主要內容有：（1）含絕對值不等式;（2）通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法.

【經典解析】

考點1：解含絕對值不等式

例1.?設函數f（x）=|x-a|+3x，其中a>0.

（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）≥3x+2的解集;

（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤-1}，求a的值.

【思維生長點】由題目可獲得的主要信息及解題思路：

①當a=1時，f（x）≥3x+2可化為|x-1|≥2.

由此可得x≥3或x≤-1.

故不等式f（x）≥3x+2的解集為{x|x≥3或x≤-1}.

②關鍵在于去絕對值符號的分類討論：由f（x）≤0，得

【收獲與點評】本題旨在考查考生對解含絕對值不等式的掌握情況，考察考生的分類分析問題和計算能力，屬于中檔題.

考點2：含絕對值函數的作圖及函數圖像間的關系

例2.?設函數f（x）=|2x-4|+1，

（Ⅰ）畫出函數y=f（x）的圖像

（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍.

【思維生長點】由題目可獲得的主要信息及解題思路：

①要作函數y=f（x）的圖像，要將原函數化簡為分段函數：

【收獲與點評】本題旨在考查考生作圖能力，和化歸的數學思想，要考生善于從函數的觀點解決問題，屬于中檔題.

例3.?已知函數f（x）=|x-8|-|x-4|，

（1）作出函數y=f（x）的圖像;

（2）解不等式|x-8|-|x-4|>2.

圖像如下頁.

（Ⅱ）不等式|x-8|-|x-4|>2，即f（x）>2，

由-2x+12=2得x=5.

由函數f（x）圖像可知，原不等式的解集為（-∞，5）.

【收獲與點評】在解題時函數、不等式、方程幾者之間合理地轉化，能起到化繁為簡的功效.?本題考查了分類與整合的數學思想方法.?屬于較簡單題目.

考點3：解含絕對值不等式及恒成立問題

例4.?設函數f（x）=|x-1|+|x-a|，

（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3;

（2）如果？坌x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍.

【思維生長點】由題目可獲得的主要信息及解題思路：

②由（2）中恒成立問題條件出發可知關鍵在于求f（x）的最小值;其次結合函數f（x）=|x-1|+|x-a|的在數軸上的幾何意義可知f（x）的最小值為|a-1|.

從代數分析如下若a=1，f（x）=2|x-1|，不滿足題設條件.

若a<1，f（x）=-2x+a+1，x≤a1-a，a

若a>1，f（x）=-2x+a+1，x≤11-a，1

所以？坌x∈R，f（x）≥2的充要條件是|a-1|≥2，從而a的取值范圍為（-∞，-1]∪[3，+∞）.

【收獲與點評】本題以恒成立問題為載體，考察了解含絕對值的不等式及如何求含絕對值函數的最值問題，同時還要考生善于從數、形兩個角度來理解問題實質，是比較綜合的問題，屬于中檔題.

【收獲與點評】不等關系在現實生活中比比皆是，?選修4-5，不等式選講部分是不等式、不等關系的補充，本道試題第一問，要利用一個簡單的絕對值放縮.第二問利用分類討論的思想方法解絕對值不等式.

【復習攻略】

本單元在高考試卷中占10分，對考生分類討論分析問題的能力的要求較高，試題難度中等.因此，其復習時間應有1～2課時為宜，并且配以適量的課后作業.

本單元應重點掌握的知識包括：含絕對值不等式的相關問題，不等式證明的基本方法.

本單元復習的基本方法是：解不等式的核心問題是將不等式要同解變形，由復雜向簡單轉化，不等式的性質、去絕對值符號的分類討論是同解變形的理論依據，方程的根、函數的圖像和性質都會給不等式的求解提供幫助，要善于將它們有機結合、互相轉化.

（作者單位：北京市第十二中學）

責任編校 徐國堅