導數與定積分命題規律與備考策略

高慧明 季飛

本專題全國高考客觀題主要考查函數的基本性質、函數圖像及變換、函數的零點、導數的幾何意義、定積分（僅限理科）等為主，也有可能與不等式等知識綜合考查;解答題主要是以導數為工具解決函數、方程、不等式等的應用問題.

理科在“函數導數與積分”的考查：2011年第9題利用定積分求面積，2012～2015年均沒出現過定積分的試題，另外每年在第21題都是利用導數研究函數的性質，以求函數的單調性、極值、最值為主，考查不等式的相關問題.

函數、導數部分2011年有兩個選擇題，一個是判斷函數單調性與奇偶性，另一個定積分求面積，2012年有兩個選擇題，一個是由解析式找圖像，另一個是利用導數求切線、距離最值問題.2015年小題考了一個選擇題和一個填空題，選擇題考查利用導數研究函數的單調性，填空題考查基本的初等函數與函數的性質.

文科在“函數導數”的考查：函數的基本性質主要考查函數的單調性、奇偶性等，難度通常為中等，基本初等函數通常考查指數函數與對數函數，有時候會與函數的圖像、函數與方程等相結合，考查數形結合思想的靈活應用，有時候也會融入導數的應用等，這類題目通常難度偏大，一般作為選擇題或填空題的壓軸題出現.

對導數的考查通常以函數的單調性、函數的極值或最值、不等式的證明或不等式恒成立問題為載體，考查導數的綜合應用.在解決這類問題時，有時候需要對問題進行轉化或構造相應的函數，因此對等價轉化、數形結合的數學思想也有較高的要求，正確求出函數的導數，并靈活應用導致與單調性的關系是解題的關鍵.從這幾年的命題規律來看，這一部分通常出現在第20題或21題的位置，題型比較穩定.?小題中主要考查基本初等函數、函數的性質等，而解答題中主要考查導數在解決函數問題中的綜合應用，且或總會出現其一，小題中有時候也會對導數進行考查.

第一單元 變化率與導數、導數的計算

【考點聚焦】

本單元內容主要包括導數的概念、導數的幾何意義、導數的計算.

【經典解析】

考點1：導數的計算

例1.?分別求下列函數的導數：

【收獲與點評】?（1）本題在解答過程中常見的錯誤有：①商的求導中，符號判定錯誤;②不能正確運用求導公式和求導法則，在第（3）小題中，忘記對內層函數2x+1進行求導.

（2）求函數的導數應注意：

①求導之前利用代數或三角變換先進行化簡，減少運算量;

②根式形式，先化為分數指數冪，再求導.

③復合函數求導先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元處理.

考點2：導數的幾何意義

例2.?（1）若曲線y=kx+lnx在點（1，k）處的切線平行于x軸，則k=________.

（2）設f（x）=xlnx+1，若f?′（x0）=2，則f（x）在點（x0，y0）處的切線方程為____________________.

∴g′（x）<0，故g（x）在（0，1）上單調遞減;

當x>1時，x2-1>0，lnx>0，g′（x）>0，g（x）單調遞增.

所以，g（x）>g（1）=0（？坌x>0，x≠1）.

所以除切點之外，曲線C在直線l的下方.

【收獲與點評】（1）準確求切線l的方程是本題求解的關鍵;第（2）題將曲線與切線l的位置關系轉化為函數g（x）=x-1-f（x）在區間（0，+∞）上大于0恒成立的問題，進而運用導數研究，體現了函數思想與轉化思想的應用.

（2）當曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線平行于y軸（此時導數不存在）時，切線方程為x=x0;當切點坐標不知道時，應首先設出切點坐標，再求解.??注意：

1.?理解導數的概念時，要注意f?′（x0），（f（x0））′與f?′（x）的區別：?f?′（x）是函數y=f（x）的導函數，?f?′（x0）是f（x）在x=x0處的導數值，是常量但不一定為0，（f（x0））′是常數而且一定為0，即（f（x0））′=0.

2.?對于函數求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.

3.?求曲線的切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的區別.

第二單元 導數在研究函數中的應用

【考點聚焦】

本單元內容主要包括函數導數與單調性、導數與極值、導數與最值.

【經典解析】

考點1：利用導數研究函數的單調性

例1.?設函數f（x）=（x-1）ex-kx2.

（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間;

（2）若f（x）在x∈[0，+∞）上是增函數，求實數k的取值范圍.

解析：（1）當k=1時，f（x）=（x-1）ex-x2，∴?f?′（x）=ex+（x-1）ex-2x=x（ex-2）.令f?′（x）>0，即x（ex-2）>0，∴?x>ln?2或x<0.令f?′（x）<0，即x（ex-2）<0，∴0

【收獲與點評】?（1）可導函數y=f（x）在點x0處取得極值的充要條件是f?′（x0）=0，且在x0左側與右側f?′（x）的符號不同.（2）若f（x）在（a，b）內有極值，那么f（x）在（a，b）內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值.

第三單元 導數的綜合應用

【考點聚焦】

本單元內容主要包括利用導數解決生活中的優化問題、導數在研究方程和不等式中的應用.

【經典解析】

考點1：導數在方程（函數零點）中的應用

例1.?已知函數f（x）=x2+xsinx+cosx.

（1）若曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，求a與b的值;

（2）若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍.

【思維生長點】（1）由導數的幾何意義，知f?′（a）=0且f（a）=b，解方程得a，b的值.?（2）兩曲線的交點問題，轉化為方程x2+xsinx+cosx-b=0.?通過判定零點個數來求解.

解析：由f（x）=x2+xsinx+cosx，得f?′（x）=2x+sinx+x（sinx）′-sinx=x（2+cosx）.

（1）因為曲線y=f（x）在點（a，f（a））處與直線y=b相切，所以f?′（a）=a（2+cosa）=0，b=f（a）.

解得a=0，b=f（0）=1.

（2）設g（x）=f（x）-b=x2+xsinx+cosx-b.

令g′（x）=f?′（x）-0=x（2+cosx）=0，得x=0.

當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

所以函數g（x）在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增，且g（x）的最小值為g（0）=1-b.

①當1-b≥0時，即b≤1時，g（x）=0至多有一個實根，曲線y=f（x）與y=b最多有一個交點，不合題意.

②當1-b<0時，即b>1時，有g（0）=1-b<0，

g（2b）=4b2+2bsin2b+cos2b-b>4b-2b-1-b>0.

∴y=g（x）在（0，2b）內存在零點，

又y=g（x）在R上是偶函數，且g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

∴y=g（x）在（0，+∞）上有唯一零點，在（-∞，0）也有唯一零點.

故當b>1時，y=g（x）在R上有兩個零點，

則曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點.

綜上可知，如果曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同交點，那么b的取值范圍是（1，+∞）.

【收獲與點評】?（1）在解答本題（2）問時，可轉化為判定f（x）=b有兩個實根時實數b應滿足的條件，并注意g（x）的單調性、奇偶性、最值的靈活應用.另外還可作出函數y=f（x）的大致圖像，直觀判定曲線交點個數，但應注意嚴謹性，進行必要的論證.

（2）該類問題的求解，一般利用導數研究函數的單調性、極值等性質，并借助函數圖像，根據零點或圖像的交點情況，建立含參數的方程（或不等式）組求解，實現形與數的和諧統一.

考點2：導數在不等式中的應用

例2.?已知函數f（x）=ex-ln（x+m）.（1）設x=0是f（x）的極值點，求m，并討論f（x）的單調性;（2）當m≤2時，證明f（x）>0.

【思維生長點】（1）由極值點確定出實數m的值，然后利用導數求出函數的單調區間;（2）當m≤2時，轉化為求f（x）min，證明f（x）min>0.

【收獲與點評】?（1）第（2）問證明抓住兩點：一是轉化為證明當m=2時，?f（x）>0;二是依據f?′（x0）=0，準確求f（x）=ex-ln（x+2）的最小值.（2）對于該類問題，可從不等式的結構特點出發，構造函數，借助導數確定函數的性質，借助單調性或最值實現轉化.

研究函數的單調性和極（最）值等離不開方程與不等式;反過來方程的根的個數、不等式的證明、不等式恒成立求參數等，又可轉化為函數的單調性、極值與最值的問題，利用導數進行研究.

第四單元 定積分與微積分基本定理

【考點聚焦】

本單元內容主要包括定積分的概念與幾何意義、定積分的性質、微積分基本定理.

本單元特別注意：

1.?一種思想：定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步驟解決“無限”問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”.定積分只與積分區間和被積函數有關，與積分變量無關.

2.?一個定理：由微積分基本定理可知求定積分的關鍵是求導函數的原函數，由此可知，求導與積分是互為逆運算.

3.?兩點提醒：一是重視定積分性質在求值中的應用;二是區別定積分與曲邊梯形面積間的關系，定積分可正、可負、也可以為0，是曲邊梯形面積的代數和，但曲邊梯形面積非負.

（作者單位：高慧明：北京市第十二中學;季飛：首都師范大學附屬麗澤中學）

責任編校???徐國堅