利用Excel進(jìn)行初等行變換求線性方程組的解

摘 要：Excel在線性代數(shù)中應(yīng)用廣泛，但一般用來求矩陣的轉(zhuǎn)置、行列式的值、矩陣的乘法、方陣的逆等。本文介紹了如何利用Excel進(jìn)行初等行變換，求矩陣的秩和基礎(chǔ)解系，進(jìn)而求出線性方程組的解（通解）。

關(guān)鍵詞：Excel;初等變換;線性方程組

學(xué)生在對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換求線性方程組的解（通解）時(shí)，常常因?yàn)橛?jì)算量過大而發(fā)生錯(cuò)誤，既浪費(fèi)了時(shí)間又容易使學(xué)生失去學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。雖然這些計(jì)算可以用專業(yè)軟件Mathematica及Matlab等求解，但這類軟件有較高的專業(yè)要求，攜帶也不方便。而Excel作為Office自帶軟件，其操作方法簡便、快捷，而且它自身具有強(qiáng)大的分析和計(jì)算數(shù)據(jù)的能力，能輔助解決這一問題。

1 矩陣的初等變換定義

矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：

①交換矩陣的兩行（交換i，j兩行，記作ri→rj）;

②以一個(gè)非零的數(shù)k乘矩陣的某一行（第i行乘數(shù)k，記作ri×k）;

③把矩陣的某一行的k倍加到另一行（第j行乘k加到i行，記為rj+krj）。

把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（相應(yīng)記號(hào)中把r換成c），

初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。[1]

2 在Excel中實(shí)現(xiàn)初等變換（以初等行變換為例）

2.1 交換矩陣的兩行

①選中要換的行;

②鼠標(biāo)移到選區(qū)的邊緣，當(dāng)光標(biāo)變?yōu)樗南蚴旨^時(shí)，按住“Sihft”鍵的同時(shí)，按住鼠標(biāo)左鍵向下拖到要更換的行的位置;

③以上步驟操作兩次即可完成互換。

2.2 以一個(gè)非零的數(shù)k乘矩陣的某一行

方法一：①選中一個(gè)與要進(jìn)行變換的行同樣大小的空白區(qū)域;

②輸入公式“=”選中要進(jìn)行變換的行，再輸入公式“*k”;

③同時(shí)按住“Ctrl+Shift+Enter”這3 個(gè)鍵，就可得到計(jì)算結(jié)果;

④把新得到的結(jié)果復(fù)制選擇數(shù)字粘貼替換到原行位置。

方法二：①選中一個(gè)空單元格;

②輸入公式“=”選中某一行的第一個(gè)數(shù)，再輸入公式“*k+”再選中另兩行的第一個(gè)數(shù);（也可以選中整行）

③同時(shí)按住“Ctrl+Shift+Enter”這3 個(gè)鍵，空單元格內(nèi)就會(huì)得到一個(gè)結(jié)果;

④鼠標(biāo)移到這個(gè)單元格的邊緣，當(dāng)光標(biāo)變?yōu)樗南蚴旨^時(shí)，按住鼠標(biāo)左鍵向右拖動(dòng)，范圍與某一行相同;

⑤把新得到的結(jié)果復(fù)制選擇數(shù)字粘貼替換到另一行位置。

2.3 把矩陣的某一行的k倍加到另一行

方法一：①選中與某一行同樣大小的空白區(qū)域;

②輸入公式“=”選中某一行，再輸入公式“*k+”再選中另兩行;

③同時(shí)按住“Ctrl+Shift+Enter”這3 個(gè)鍵，就可得到計(jì)算結(jié)果;

④把新得到的結(jié)果復(fù)制選擇數(shù)字粘貼替換到另一行位置。

方法二：①選中一個(gè)空單元格;

②輸入公式“=”選中要進(jìn)行變換的行的第一數(shù)，再輸入公式“*k”;（也可以選中整行）

③同時(shí)按住“Ctrl+Shift+Enter”這3 個(gè)鍵，空單元格內(nèi)就會(huì)得到一個(gè)結(jié)果;

④鼠標(biāo)移到這個(gè)單元格的邊緣，當(dāng)光標(biāo)變?yōu)樗南蚴旨^時(shí)，按住鼠標(biāo)左鍵向右拖動(dòng)，范圍與某一行相同;

⑤把新得到的結(jié)果復(fù)制選擇數(shù)字粘貼替換到另一行位置。

3 例題

3.1 方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的情況

例一：求解線性方程組：2x1+3x2+5x3=2

x1+2x2=5

3x2+5x3=4。

解：構(gòu)建矩陣=2 ?3 ?5 ?2

1 ?2 ?0 ?5

0 ?3 ?5 ?4

①空白區(qū)域輸入矩陣，如圖：

注：輸入數(shù)字時(shí)可先選中輸入?yún)^(qū)域，然后用“Tab”鍵移動(dòng)位置，這樣不用考慮換行問題，能節(jié)約輸入時(shí)間。

②交換第一、二行，如圖：

③第一行*（-2）加到第二行，如圖：

④第二行*（-1），如圖：

⑤第二行*（-2）加到第一行，第二行*（-3）加到第三行，如圖：

⑥第三行/20，如圖：

⑦第三行*（-10）加到第一行，第三行*5加到第二行，如圖：

所以，x1=-1，x2=3，x3=-1。

3.2 方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等的情況

例二：求齊次線性方程組2x1+x2-2x3+3x4=0，

3x1+2x2-x3+2x4=0，

x1+x2+x3-x4=0.的通解。

解：構(gòu)建矩陣A=2 ?1 ?-2 ?3

3 ?2 ?-1 ?2

1 ?1 ? ?1 ?-1

①空白區(qū)域輸入矩陣，如圖：

②交換第一、三行，如圖：

③第一行*（-3）加到第二行，第一行*（-2）加到第三行，如圖：

④第二行*（-1）后，新第二行*（-1）加到第一行，新第二行*1加到第三行，如圖：

于是原方程組可同解地變?yōu)椋?/p>

并由此得到通解

4 小結(jié)

利用Excel進(jìn)行初等行變換，進(jìn)而求線性方程組的解（通解）。這個(gè)方法能提高求解線性方程組解的效率和準(zhǔn)確率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳贛昌.線性代數(shù)（經(jīng)濟(jì)類）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2012.

作者簡介：

梁海濱，女，1978年生，漢族，遼寧大連人，副教授，碩士，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。