數學教材例習題教學需要具備的三意識

陳吉讀

摘 要：當前學生解題遇到的困惑是：“看看容易，解解費力，想想有趣，功夫還差一點點”.面對試題命制的背景源，提出了教師在進行教材例習題教學要有反思提煉、穿越組合、探究開發三意識，充分挖掘教材中例習題的內在“潛能”及教學價值.

關鍵詞：試題背景源；教材例習題；教學意識

我們都知道質量高的練習題或高考題很多背景源都是來自教材例習題，可學生面對這樣的試題總是“解解費力，想想有趣，解不出怨自己” ，造成這種局面的原因其實是在老師身上.首先，我們在高一、二年新課教學時為了趕進度，能給高三年留下更多的總復習時間，對教材中的部分例習題，沒有真正地去挖掘其蘊含的知識，總是一語帶過，甚至視而不見，干脆不講.可以說有部分老師備課時根本沒有真正地備教材習題，沒有真正發揮教材例習題應有的功能，舍本求未，把經過專家團隊精選的教材中例習題，晾在一邊，或者對教材不理解或理解不透徹.盲目崇拜，迷戀課輔習題，大搞題海戰術！把自已的學生搞累搞暈，最后得到的卻是事倍功半的教學效果.其次，有些老師選題隨意，就題論題，缺乏規劃，缺乏一定的目標意識和專業高度，題目是否精彩或自己是否喜愛，缺乏一種提煉意識和學科的深度，缺乏對問題的探究，缺乏對例習題講解后的反思與提煉.

教材中許多例題和習題是經過專家團隊精選的，都能反映相關數學理論的本質屬性，蘊含著重要的數學思想和思維方法，具有典型的范例作用，極具“開采”價值.因此，教師必須具有反思提煉、穿越組合、探究開發靈活處理教材例習題的三意識.

1 教材例習題教學要有反思提煉意識

教師在解題教學中，不應局限于課本知識的狹窄領域里.應該在學生初步理解與掌握基本知識和技能后，創設有利情景，常抓變式訓練，鼓勵學生類比遷移，歸納總結，促進知識的系統化，提煉解決某一同類問題的基本方法.

例1 （2010福建高考理科17） 已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與其的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

本題背景源是人教社高中A版《選修2-1》第47頁例7 ：已知橢圓，直線14x+5y+40=0，橢圓上是否存在一點，它到直線的距離最小？最小距離是多少？

這兩題的解題要素相同：①平行直線； ②判別式； ③距離公式.教學時，我們如果能通過講解后的反思與提煉，將此類問題提煉成一個新概念——在數學上，可以定義曲線上的點到直線的距離的最小值為曲線到直線的距離； 并把解決此類問題的思路提煉成一般的方法：用切線法求曲線到直線的距離（或最大值）.那么學生遇到此類問題就能輕車熟路，迎刃而解了.

2 教材例習題教學要有穿越組合意識

要實現例習題的教學價值，數學教師應具有穿越組合意識：從學科的高度審視原問題，實現數學知識、方法與思想的前后貫通，首尾呼應.

例2 （2014年龍巖市質檢15）將函數y=的圖象繞原點順時針旋轉后可得到雙曲線x2-y2=2.據此，類比推理得函數y=的圖象的焦距為 .

分析：本題背景源是人教社《高中A版必修4》第三章平面向量（第113頁）習題B組第3題 ：已知對任意平面向量=（x，y），繞著點A逆時針方向旋轉θ角后，得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把B點繞點A逆時針旋轉θ角得到點P ，（1）已知平面內一點A（1，2），點B（1+，2-），把點B繞點A順時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標；（2）設平面內曲線C上的每一點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉角后得到點的軌跡是曲線x2-y2=1，求曲線C的方程.

本題數學本質是解析幾何中的坐標旋轉公式；作用是讓學生除了會做些向量基本運算外，還對選修系列4中的《矩陣與變換》中坐標旋轉公式有個初步印象.教學時，學生肯定會對這個坐標旋轉公式怎么來產生疑問.這時作為老師在講解此題時就要用心多花些時間，揪住這樣難得的素材，用系統性和前瞻性，也就是穿越與組合意識，不但要利用三角函數的定義結合向量知識簡單推導一下這個公式的由來，同時還可以設計如下的相應問題：

問題1 初中學習過的反比例函數y=（k≠0），其圖象是雙曲線，在高中我們又學習過雙曲線的定義，方程為=1（a>0，b>0），那么這兩種雙曲線是否一致，如何證明你的判斷呢？

問題2 設反比例函數y=（k≠0）的圖像繞坐標原點沿逆時針方向旋轉角后，得到的點的軌跡顯然是高中學過的等軸雙曲線，那么你能求出其方程（方程式）、頂點、焦點、對稱軸、漸進線方程等等嗎？

問題3 雙曲線的許多性質應該也一樣適用反比例函數，你能說出幾條？

通過這樣對教材例習題穿越組合，我們就真正實現了例習題的教學價值，實現數學知識、方法與思想的前后貫通，首尾呼應，有利于培養學生思維的連續性.

3 教材例習題教學要有探究開發意識

教材中有許多極具開發價值的例習題，教師要根據教學的要求和學生的實際，將這些例習題進一步探究開發，引導學生多方位，多角度地思考，對新產生的問題探求答案，強化培養學生的發散思維能力.

例3 （2009高考北京卷理16） 如圖1，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.

（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由.

本題背景源（必修2第57頁習題1-2B第8題）： 如圖2所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點.求證：BC⊥平面PAC.

教師教學時可以引導學生對比圖形，明確位置關系，可設計如下問題引導學生觀察：

（1）四面體P-ABC四個面的形狀；（2）有無線面垂直？（3）可否指出側面間及側面與底面間的二面角的平面角；（4）有無公垂線段？（5）四面體P-ABC可否補成一個熟知的幾何體？由此圖形引申出的部分習題歸納如下：設AC=a，BC=b，PA=c.

（1）求三棱錐P-ABC的全面積和體積；（2）求PA與BC的距離；（3）求點A到平面PBC的距離；（4）求AC與PB所成的角；（5）當b=c時，求AC與PB兩直線間的距離；（6）求二面角C-PB-A的余弦值；（7）若∠CAB=α，二面角C-PA-B=β，∠PBA=30°，問點C位于何處時，三棱錐P-ABC的體積最大？

總之，教材中可以做類似處理的題目比比皆是，以上所列舉的試題背景都源自教材例習題.在全面推進課程改革的今天，教學中教師應增強上述對教材例習題合理處理的意識，善于捕捉課本中典型例習題的求解信息加以研究，挖掘好它的潛在功能，從而提高教材例習題教學的有效性.這樣不僅有利于減輕學生的學習負擔，擺脫題海的困擾，同時也有利于提升學生的創新能力.