二分法求方程的近似解

陳炳愛

摘 要：數學方法是人類通過長期的實踐活動，在運用數學思想和數學語言提出問題、解決問題的過程中，形成的穩定的、實效的數學活動手段、方式或途徑.“二分法”是數學新課程的新增內容，它體現了數學課程與信息技術的結合，既要掌握基本的算法思想，又要恰當地運用計算器，合理組織技術平臺下的數學活動.

關鍵詞：數學方法；二分法求方程；教學過程的整體分析

數學方法是人類通過長期的實踐活動，在運用數學思想和數學語言提出問題、解決問題的過程中，形成的穩定的、實效的數學活動手段、方式或途徑。從心理學上看，數學方法屬于程序性知識.在中小學階段，大多數數學方法屬于基本技能范疇，需要學生識記、掌握，甚至達到“自動化”程度.但是數學教學不僅要教學生“學知識”，還要教學生“怎樣學知識”，讓學生經歷知識的發生發展過程，體會數學活動的過程和經驗，不但要提高解題能力，還要提升對知識體系與內涵的理解，才能達到新課程（高考或課標）的要求，這一點對我們數學老師來說不容易.下面就以我聽過的一節協作校（市級）公開課“二分法求方程的近似解”課堂實錄（片段）做分析，整理如下與大家分享.

1 研究目的

“二分法”是數學新課程的新增內容，它體現了數學課程與信息技術的結合，既要掌握基本的算法思想，又要恰當地運用計算器，合理組織技術平臺下的數學活動.上好這樣一堂課，不僅需要研究教材，確定合適的技能目標，還要研究教學法，選擇合適的教學方法，設計合適的教學過程.

3 核心知識與方法論

二分法的本質在于逼近，除了二分，還可以三分、四分、0.618分（黃金分割），這些都體現了數學計算的逼近思想.二分法還是運用函數觀點解決方程問題的重要方法之一，體現了函數與方程之間的內在聯系.“函數的零點”與“方程的解”之間的關系，是理解二分法的關鍵，抓住這個關鍵點，也就抓住了函數與方程之間的內在聯系.

由此可見，本課的核心概念是：方程與方程的解，函數與函數的零點，方程與函數的關系，函數的圖像，區間的中間值.必須掌握的技能是二分法的算法思想步驟.需要認識的數學思想是：函數思想，算法思想，逼近思想，數形結合思想.

4 教學過程的整體分析

4.1 教學模式

本課所采用的教學方式是教師啟發下的學生自主探究.教師以問題作為教學的出發點，不直接下結論，通過問題情境，提出問題引領學生思考，探索問題的解決辦法，形成基本的算法，并在具體的應用中反思、鞏固建構學習的成果。

4.2 閃光點

4.2.1 努力展示學生的思維過程

本課中，教師并不滿足于學生答對問題，而是通過追問，檢查學生的思考狀況，明確每一個思維環節的意義，讓學生加深對知識的理解。如例一中，

為什么要畫函數的圖像？

為什么范圍在3到4之間？

你怎么判斷在3到4之間？看出來的還是算出來的？

為什么想到取3.5？

數學是思維的科學，數學教學是思維的教學。在課堂教學過程中，及時追問是提高學生思維參與、加速知識領悟的重要策略。面對學生簡單、短小的回答，教師需要及時追問，在追問的過程中了解學生的理解程度，捕捉可能的問題，補救可能的不足。

4.2.2 以問題引領學生思考

赫爾墨斯指出：“問題是數學的心臟”。教學效果的好壞，很大程度取決于教師所設計數學問題的優劣。本課中，教師設計的問題，大都是明確的、容易引起學生思維的問題：

問題1：游戲中有什么技巧？游戲中包含了什么樣的數學方法？

問題2：如何求方程的近似根？

問題3：請用二分法求方程的近似解；

在與學生互動過程中，教師又以幾個小問題步步引導學生思考，如：

①如何利用上面的游戲活動中的思想設計求近似解的方案？

②如何判斷方程的根所在的區間？

③如何縮小方程的根所在的區間？

④回憶：如果二次函數在區間（a，b）上滿足f（a）f（b）<0，那么其零點滿足什么條件？

這些問題的設計，緊緊圍繞“二分法求方程的近似解”這一主題，層次分明，條理清晰，符合學生的認知規律 。

4.2.3 計算器支持數學探究順利開展

計算器的使用不是學生活動的重點，而是支持學生開展探究活動的實驗平臺。學生能夠獨立地、熟練地使用計算器，在計算器上的操作成為觀察函數值、選擇區間、判斷中止條件的有力工具，使學生集中精力于算法的探索和檢驗，保證了學生高水平的智力參與，保證了課堂探究目標的高效率實現。

5 不足之處與建議

教師是教學的主導。主導在很大程度上可以理解為教學向導，即在教學過程中進行啟發、暗示、引導。在探究教學中，教師的主導作用體現在：提供探究方向，提高探究目標，啟發探究方法等等。通俗地講，就是學生能做的，就讓學生自己去做，教師把握一個方向即可。

整體而言，本節課的教師教授還是有點偏多，某些關鍵點還有直接告知學生的現象。如逼近思想就是老師直接提出的。又如例1提出后，馬上就給出4個指導性問題，在方法上這無疑限制了學生的探索，尤其第4個問題，實際上是直接指示了解題的方法。

本課在提示語的啟發上還可以做得更好一些。數學教學啟發，最基本的方法就是能運用“元認知提示語”（也即“知識的就近原則”）由遠及近地進行引導。比如本節課的逼近思想不妨可以這樣設計：

（1）游戲時有什么技巧？

教師的提示語：想想整個過程，你是怎么做的？第一步是什么？第二步是什么？……怎么簡要說明步驟等.

（2）游戲中包含了什么樣的數學方法？

教師提示語：從總結出的步驟想想看，對我們平常的數學活動有什么啟發？比如第一步，在數學中有沒有這樣類似的做法，叫什么？第二步呢？……整個步驟又說明什么？

請學生回答，教師板書要點（如：估算、猜想、二分、逼近、程序化等），然后總結。

這樣學生就會對算法和數學思想形成充分的經驗，為后面求方程的近似值，提供更加有效的學習。