三角函數(shù)中的數(shù)學思想

鄭曉令

摘 要：數(shù)學思想是數(shù)學的精髓，在數(shù)學教學中具有重要的影響.對數(shù)學思想的充分理解和靈活運用是數(shù)學能力的集中體現(xiàn).數(shù)學思想貫穿于整個數(shù)學教學中.三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，其中蘊含著豐富的數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)換、函數(shù)與方程等數(shù)學思想，學會用常用的數(shù)學思想解決三角函數(shù)問題顯得尤為重要.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；三角函數(shù)；數(shù)學思想；數(shù)學教學

1 數(shù)形結(jié)合思想

由數(shù)到形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點，有利于加深學生對知識的識記和理解；在解答數(shù)學題時，數(shù)形結(jié)合有利于分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，拓寬思路，迅速找到解題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力.

數(shù)形結(jié)合思想就是把抽象的數(shù)和直觀的形雙向聯(lián)系與溝通，使抽象思想與形象思維有機地結(jié)合起來化抽象為形象，以期達到化難為易的目的.三角函數(shù)中可利用的圖形有兩類，即函數(shù)圖象和三角函數(shù)線（單位圓）.

2 分類討論思想

分類是根據(jù)對象的本質(zhì)屬性的異同將其劃分為不同種類，即根據(jù)對象的共性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類.分類討論是數(shù)學解題的重要手段，如果對學過的知識恰當?shù)剡M行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性.

分類討論的思想就是整體問題分解為幾個部分問題來解決，它是邏輯劃分思想在解數(shù)學題中的具體運用.它有三個重要的原則，即不越級、不重復、不遺漏.

3 方程的思想

方程的思想，就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，把變量之間的聯(lián)系用方程的關(guān)系來反映，然后通過解方程或?qū)Ψ匠踢M行討論的方法，使問題得到解決.

4 函數(shù)的思想

函數(shù)的思想就是在解決問題的過程中，把變量之間的關(guān)系抽象成函數(shù)關(guān)系，把具體問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)相應問題的解決，便可達到解決具體問題的目的.

方程與函數(shù)是互相聯(lián)系的，利用函數(shù)與方程之間的對立統(tǒng)一關(guān)系，能進一步提高綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.

5 整體思想

整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和構(gòu)造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，將給出式整體變形處理，把握他們之間的關(guān)聯(lián)，進行有目的，有意識的整體處理.

整體思想方法是一種常見的數(shù)學方法，它把研究對象的某一部分（或全部）看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的有機聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑.往往能起到化繁為簡，化難為易的效果.

6 換元思想

換元的思想就是對較復雜問題有時恰當?shù)貙ψ兞孔魈鎿Q，可以達到化繁為簡，化未知為已知的目的.

7 化歸轉(zhuǎn)化思想

化歸轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中的一種重要思想方法.在處理數(shù)學問題的時候，如果我們能把問題進行轉(zhuǎn)化，做到復雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化、抽象問題向具體問題轉(zhuǎn)化等，往往能找到題目的考點，從而找到解題突破口.

化歸思想在三角函數(shù)中應用非常普遍，主要體現(xiàn)在：①化多角的形式為單角的形式；②化多種函數(shù)名稱為一種函數(shù)名稱；③化未知角為已知角；④化高次為低次；⑤化特殊為一般.轉(zhuǎn)化時要特別注意問題的等價性.8 特殊化（具體化）思想

對一些比較復雜或抽象的問題，若先將其特殊化或具體化，可以更容易找到解題思路.

例8 函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（ω>0），在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f（a）=-M，f（b）=M，則函數(shù)g（x）=Mcos（ωx+φ）在[a，b]（ ）.

A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)

C.可以取得最大值M D.可以取得最小值

解：由于f（x）和g（x）兩函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系不變，所以可令ω=1，φ=0，區(qū)間[a，b]為[-，]，M=1，則g（x）=cosx，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得答案為C.

此題主要考查函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）的性質(zhì)，兼考查分析思維能力.要求對基本函數(shù)的性質(zhì)能熟練運用（正用和逆用）；取特殊值可降低難度，簡化解題思路.

9 類比聯(lián)想的方法

類比是一種推理方式，數(shù)學類比有著其獨特的思維形式和特征，合理的利用類比進行數(shù)學教學，將有助于提高教學效果，有助于鍛煉學生的思維能力和創(chuàng)新能力.

類比法不僅是一種由特殊到特殊的推理方法，也是一種尋求解題思路、猜測問題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)方法.

10 逆向思想

逆向思想通常是指從問題的反向進行思考，運用于正面考慮繁瑣或難以進行時的一種解題思維策略，正確使用這種策略，往往能使問題絕處逢生，找到求解的新途徑.

例10 將函數(shù) y=f（x）sinx的圖像向右平移個單位后，再作關(guān)于x軸的對稱變換，得到函數(shù)y=1-2sin2x的圖像，求f（x）的解析式.

解析：我們可以采用倒推的方法，即將整個變化過程逆過來考慮.

∵y=1-2sin2x=cos2x關(guān)于x軸的對稱變換為y=-cos2x，然后再向左平移個單位得y=-cos2x+=sin2x=2cosxsinx，對照比較原函數(shù)y=f（x）sinx得f（x）=2cosx.

在三角函數(shù)這一章的學習和復習過程中，如果學生能熟練掌握以上幾種數(shù)學思想方法，并靈活地借助這些數(shù)學思想方法進行解題，不但可以避免復雜的運算過程，還能使解題難度降低，加快解題速度.在學習中應加以歸納與訓練，能提高學生靈活處理問題和解決問題的能力.