“錯 題”巧用

王永雙

【分類號】G633.6

在臨近考前總復習的時候，學生在大量的做題，老師也忙碌地在為學生從各種資料上篩選題，以便上課之用。

有一名學生拿著一本名曰《初三檢測試題》的復習資料，問我資料上的這樣一道幾何題：已知⊙ 和⊙ 相交于A、D；AB切⊙ 于A點，AC切⊙ 于A點，

∠BAD=45°，∠CAD=30°； AB：AC=2：1，

則⊙ 與⊙ 的半徑之比為（ ）。

A） 4 ： B） 2 ： C） 1 ： D） 2 ：1

我通過推理、計算發現了這道題所給的條件有問題（即相互矛盾），但我沒給這名學生講，我只是告訴他：明天上課讓我們全班同學一起幫你解決好嗎？他說好，（學生創新能力的培養，主要體現在學生發現問題、解決問題甚至創造問題能力上，這就要求教師在教學方法上，一改過去的直接告訴學生答案的做法，而是設計解決問題的方案），第二天的頭節數學課上，我叫這名同學把題抄在了黑板上，并告訴全班同學這道題我和這名同學一樣有疑問，總覺得哪不對勁，請大家幫我們倆解決一下好嗎？（教師設下疑問，并創設教學情境），這時全班同學情緒激昂，都想一顯身手，就都埋頭思考計算起來，不一會兒，就有不少學生興奮地叫嚷到：“做出來了”、“太簡單了”。接下來，我就提問了一名A同學，讓他說出他的做法，同時把他的做法寫在了黑板上：做法A： 連O1A、O1B、O2A、O2C，由AC切圓⊙O1于A點，AB切⊙O2于A點，得∠O1AC=∠O2AB=90°，推出

∠O1AB=∠O2AC=90°-∠BAC

易得△O1AB∽△O2AC O1A：O2A=

AB：AC=2：1， 故選D。

這時有的同學喊不對，有的同學開始沉思，于是我

不失時機地問有不同意見嗎？于是就有學生B站起來說出了

他的答案：做法B：過A作⊙O1的直徑AE，作⊙O2的直徑AF，

連ED、FD，易證∠E=∠DAC=30°，∠F=∠BAD=45°，且∠EDA=

∠FDA=90°，E、D、F在一條直線上，AD⊥EF，可得AE=2AD，AF= AD，∴O1A：O2A=AE：AF=2： ，故選B.

這時全班同學大部分就不吱聲了，只有小部分同學在嘟囔著，我于是又問了還有不同答案嗎？這時又有學生C 說出了他的答案：做法C：連O1B、O1D、O2D、

O2C、BD、DC易證∠O1=2∠BAD

=90°，∠O2=2∠DAC=60°可得BD=

O1B， CD=O2C ①又由∠BAD=∠ACD， ∠CAD= ∠ABD △ABD∽△CAD AB：AC=BD：AD=AD：DC=2：1 BD=2AD=4DC ② 由①②可得O1B：O2C=4： ，故選A。

課進行到這里，全班同學幾乎都不吱聲了，因為三種方法看似都對，可數學題答案不可能有三個不同結果，這時我就不失時機地應學生，“為什么會出現這樣的結果？該如何解釋？不妨我們一起討論研究一下，問題出在了什么地方？ （給學生設計空白點，并讓學生探究問題）”，于是學生七嘴八舌地討論起來，通過一番激烈的討論、研究，（當然老師也在加入小組的爭論中）漸漸地學生開始明白了，（老師并未告訴學生其中的原因）三種方法的所用的條件各不相同，這時我又加問了一句“可為何用不同條件推出結果會不同呢？”學生于是又開始討論并且用筆推算起來，通過學生的相互討論（合作），研究及推算，結果令人意外（當然課堂效果也大出老師意外，似乎學生從沉默中醒過來，這時班級又熱鬧起來），不少同學搶著發言（合作發現），并把他們的推理說出來，其一說條件AB：AC=2：1，與條件∠BAD=45°，

∠DAC=30°，不能同時存在，他們互相矛盾，其二說：若

∠BAD=45°、∠DAC=30°，由解法B可推出AB：AC= ：1，其三說：若AB：AC=2：1，由解法C，BD=4DC，則∠DO2C≠60°，于是∠DAC≠30°，否則可推出BD=2O1B， △O1BD不存在，即∠BO1D=180°，也就是說∠BAD≠45°。課進行到這個階段，班級的同學們這才都弄清楚了這道題的真正錯誤，（合作、探究問題的結果是發現問題），于是就有不少同學提出了各自不同的正確的修改意見，最后教師提出問題：同學們能否以這道題為基礎編出幾道題，（培養學生創新意識，提高學生的創新能力）。于是學生編出了好幾道與此相關的幾何題，這一堂課，通過同學們的討論研究，學生不但弄清了這一道題錯誤的原因和不同答案的原理，還在討論研究的過程中復習了很多圓、角、全等、函數等有關的性質和定理的知識。達到了畢業班綜合復習的目的。

這堂課的教學非常成功，學生也非常活躍，這堂課的教學特點是以“自主、合作、創新”的自主高效課堂教學模式進行的。其成功方面有以下幾點：

第一，體現學生主體地位和作用。

整個一堂課老師幾乎沒講幾句話，全都是由學生討論完成的，從問題的提出（學生出一道題），到用不同的方法做出不同的答案，而引出的疑問，以及出現這種疑問的原因和疑問的解決都是由學生們自己討論完成的。把教學過程完全交給了學生，讓學生自主參與、合作討論，自己去完成認知過程，老師只起了個階段衍接的主持作用。這樣，知識的發生、發展過程，學生就容易掌握，而且還不容易忘，既達到培養了學生的自主意識，又發展了學生的獨立思維的能力，

第二，體現了分層教學特點。

現代教育是培養創新人才和實現人的全面發展為目標的教育，這道題的三種不同方法的難易程度不同，不同層次的學生有不同的思維方法和解決方案，每人都參與到了此題的思考之中，達到了分層教學和多層教學的教學目的。

第三，鍛煉了學生獨立思考，勇于探究問題的精神。

問題的提出就給學生設了疑問，帶著疑問讓學生思考，學生這時思維異常活躍，并且互不服輸，帶著爭強好勝的心理去獨立思考，得到了自己的方法又使學生充滿了成就感，這就鍛煉了學生獨立思考，勇于探究問題的精神。體現了"自主、合作、創新"的現代意識，比如上面教學中三種解題的方法的得出及后面疑問的不同解釋等等。

第四，體現了團結協助、互相幫助、互為啟發、謙虛求實的學習精神。

在小組討論過程中，同學之間問題的思考及部分結論的得出，都互相起了提示和鋪墊使用，并通過討論，加強了同學間的團結協助、互為引導、啟發的學習精神。如在解釋條件互相矛盾時，必須借助不同同學的不同解題方法才能得出，從而引導學生養成不但要善于獨立思考還要多聽別人意見的習慣。

第五，培養和鍛煉了學生的語言表達能力。

本節課教學中有好多處需要同學間互相說明自己的觀點和方法，并且在解釋疑問時，還要表達明白、清楚，這就要求學生有很好的語言表達能力，而在本堂課的教學過程中（如小組討論及回答問題時）時時鍛煉著學生的語言表達能力，從而完成了培養中學生語言表達能力的教學目標。

第六，達到了復習知識貫穿知識和應用知識的要求。

雖然本節課只有一道題，可由于不同解法用到的知識不同，并且每種知識的應用方法也各不相同，所以在思考題的過程中無形就復習了相似、圓及比例和三角函數等各種不同的知識點和它們之間的聯系，也就正好完成了畢業班學生復習課的要求和目的。

第七，提高了學生“沒有懷疑就沒有發展”的創新思想。

通過這一道題的思考，使學生不但學會了正確分析問題的方法，還學會了懷疑和批判的辨證唯物主義思想，即對任何問題都應帶有自己的懷疑和否定思想，如這節課例題的條件錯誤的發現及疑問的解決都體現了這種思想，從而提高和培養了學生的各種綜合能力和創新思維。

通過這堂課的教學，使我感覺到隨著創新教育要求的提高及師生角色變換，教師在課堂教學的設計中不但要研究教師的教法，而且要研究學生的學法，使課堂活動的設計多層次、更全面地面向全體學生，培養學生學習數學的興趣，培養學生發現問題的能力，培養學生創新思維的能力。

本案例雖然只是一道題的教學，但效果卻非常明顯，因為整個一堂課，始終是按照"自主、合作、創新"的自主高效課堂教學模式進行的，我認為除選好例題，抓好問題的切入點進行教學外，多層次參與練習及體現"自主、合作、創新"的課堂教學模式是成功的關鍵，也真正體現了現代社會素質教育的需要，這是我們全體教師應研究的問題。