斜齒輪體積優化過程中建模方法的研究

王　成，沈婷婷(濟南大學機械工程學院，山東濟南250022)

斜齒輪體積優化過程中建模方法的研究

王成*，沈婷婷
(濟南大學機械工程學院，山東濟南250022)

摘要:針對目前齒輪體積優化設計中建模所存在的問題，以斜齒輪為研究對象，提出了斜齒輪體積建模的方法。首先分析了頂隙和變位系數對斜齒輪體積的影響，推導出由二者引起的間隙體積計算公式，以某斜齒輪為例，對間隙體積進行計算。結果表明，在齒輪體積精確計算等要求下，間隙體積不應忽略。其次，推導出不同結構下斜齒輪的體積計算公式，在Solidworks中建立相應的三維模型進行驗證。最后，以斜齒輪設計參數為優化變量，以滿足斜齒輪設計和傳動要求為約束條件，以齒輪體積總和最小為優化目標，同時對需要查圖表獲得的參數進行公式化處理，利用MATLAB軟件中的遺傳算法工具箱進行優化，對優化結果進行標準化處理和圓整。以《機械設計》中某單級斜齒輪傳動為例，利用上述方法進行優化設計，結果表明，優化后的齒輪體積減小了18.23%。

關鍵詞:斜齒輪;體積;優化設計

0　引言

與常規齒輪設計方法相比，齒輪機構優化設計對于提高齒輪的傳動性能具有重要意義［1-3］。以齒輪體積總和最小(或質量最輕)為優化目標一直是齒輪優化設計研究的熱點。如Yokota［4］利用改進的遺傳算法來求解直齒輪重量優化問題。Savsani［5］以單級直齒輪重量最輕為優化目標，分別利用粒子群算法和模擬退火算法來獲得直齒輪最優設計參數，并與Yokota所采用的方法進行比較，結果更加精確。David［6］提出了一種適用于任意輪系的多目標優化方法。Chong［7］利用模擬退火算法來進行齒輪箱最小體積優化，完成了多級齒輪傳動參數的初步設計。Sa'id［8］提出了齒輪箱體積優化的一種目標函數和約束條件的通用表達方式。Nenad［9］利用輪系選擇矩陣對直齒輪進行優化。張少軍［10］提出了一種直齒圓柱齒輪傳動設計的全局優化方法。張干清［11］基于可靠灰色粒子群算法對盾構機行星減速器輪系進行了多目標優化設計。蔣春明［12］基于MATLAB優化工具箱的計算方法，對汽車變速器進行了多目標可靠性優化設計。

研究者的工作主要集中在優化算法上，而在目標函數建模方面卻缺乏相關研究，其主要體現在［13-14］: 1)計算齒輪體積時常采用簡化的方法，因此存在誤差; 2)缺乏對所用或所推導體積公式的驗證; 3)齒輪采用固定的結構，優化過程中未考慮齒輪尺寸變化而引起齒輪結構變化的情況。

基于上述問題，本文的工作主要集中在齒輪體積建模方面。在考慮頂隙和齒輪變位對齒輪體積影響的基礎上，分別推導出不同結構下齒輪的體積計算公式，并在Solidworks中建立相應的三維模型，驗證所推導體積計算公式的準確性。以斜齒輪設計參數為優化變量，以滿足齒面接觸強度和齒根彎曲強度等為約束條件，以齒輪體積總和最小為優化目標，對程序中需要查表或查圖獲得的參數進行公式化處理，利用MATLAB軟件中的遺傳算法工具箱進行優化，對優化結果分別進行標準化處理和圓整，對優化前后的結果進行對比。

1　頂隙和齒輪變位對斜齒輪體積的影響

齒輪體積可以分為3部分，即，輪齒部分、輪輻部分和輪轂部分。對于輪齒部分體積的計算，通常是將分度圓至齒頂圓間的實體部分倒放到分度圓至齒根圓間的齒槽中(如圖1所示)。這樣，計算輪齒體積時將其作為直徑為d(分度圓直徑)的圓柱來考慮。但由于頂隙和齒輪變位的存在，上述計算方法顯然存在誤差。因此，推導出由于頂隙和齒輪變位(假定齒全高不變)而導致的間隙體積計算公式，并對其影響進行分析。

圖1　輪齒部分計算示意圖Fig.1 Calculation schematic diagram of tooth part volume

1.1間隙體積的推導

斜齒輪按圓柱展開后齒向為一條傾斜的直線。因此，將間隙體積近似看做沿齒向的長方體(圖2)。其中，a為齒頂圓上的齒厚sa，h為間隙高度(即倒放齒頂到齒根圓的距離)，l為輪齒的長度。

圖2　間隙體積Fig.2　The clearance volume

整個齒輪間隙體積計算公式為

需要說明的是，當齒輪不變位或采用負變位時，間隙體積為正;當采用正變位時，間隙體積可能為負，即此時齒頂進入齒根圓中。

1.2間隙體積的影響分析

以某實體斜齒輪為例，對間隙體積進行計算，與齒輪體積進行對比，計算結果見表1。

表1　間隙體積的影響分析Tab.1　The affection of clearance volume

從表1中可以看出，該實例中的間隙體積不應忽略。總的來說，當存在下述情況時，間隙體積應該考慮: 1)齒輪體積較小; 2)齒輪變位系數絕對值較大; 3)精確計算齒輪體積。

2　斜齒輪體積計算公式的推導及驗證

齒輪的結構與其幾何尺寸有關。根據齒輪齒頂圓直徑的不同，齒輪結構可分為實體式、腹板式和輪輻式，而輪輻截面又包括十字形和工字形2 種(表2)。下面分別推導這4種齒輪結構的體積計算公式，并建立相應的三維模型進行驗證。

表2　齒輪的結構Tab.2　The structure of gear

2.1實體式齒輪體積公式

實體式齒輪的結構見圖3，其體積公式為

式中，b為齒寬，z為齒數，mn為法面模數，dzh為與齒輪配合的軸徑，β為螺旋角，V″為間隙體積。

圖3　實體式結構Fig.3　The solid structure

2.2腹板式齒輪體積公式

腹板式齒輪的結構見圖4，其體積分為3部分，輪齒部分體積:

輪輻部分體積:

輪轂部分體積:

總體積:

式中，b為齒寬; z為齒數; mn為法面模數; dzh為與齒輪配合的軸徑;β為螺旋角; dv為輪緣的內徑，dv≈da－( 10～14) mn，da是齒頂圓直徑; dn為輪轂的外徑，dn≈1.7dzh; dp為腹板上孔的直徑，dp= ( 0.25～0.35) ( dv－dn) ; c為腹板的寬度，c = ( 0.2 ～0.3) b; n為孔的個數; V″為間隙體積。

圖4　腹板式結構Fig.4　The web-type structure

2.3輪輻式齒輪體積公式

根據齒頂圓直徑不同，輪輻截面分為“十”字形和“工”字形(圖5)。

圖5　輪輻截面的形狀Fig.5　The section of spoke

2.3.1輪輻截面為“十”字形

輪輻截面為“十字”形的輪輻式結構如圖6所示，其體積分為3部分，輪齒部分體積:

輪輻部分體積:

整理得

輪轂部分體積:

總體積:

式中，b為齒寬; z為齒數; mn為法面模數; dzh為與齒輪配合的軸徑;β為螺旋角;Δ為輪緣的厚度，Δ≈( 3～4) mn; dv為輪緣的內徑，dv= d－2( han*+ cn*－yn) mn－2Δ，da是齒頂圓直徑，yt為端面變位系數; dn為輪轂的外徑，dn≈1.7dzh;輪輻的相關尺寸，Δ2≈( 1～1.2)Δ，c≈0.8dzh/5，c1≈0.8dzh/6，b1≈0.9dzh，h = b－0.8dzh/3; V″為間隙體積。

2.3.2輪輻截面為“工”字形

輪輻截面為“工”字形的輪輻式結構如下圖7所示，其體積分為3部分，輪齒部分體積:輪輻部分體積:整理得輪轂部分體積:總體積:

V+= V1+ V2+ V3－V″，(16)

式中，b為齒寬; z為齒數; mn為法面模數; dzh為與齒輪配合的軸徑;β為螺旋角;Δ為輪緣的厚度，Δ≈(3～4) mn; dv為輪緣的內徑，dv= d－2(han*+ cn

*－yn) mn－2Δ，da是齒頂圓直徑，yt為端面變位系數; dn為輪轂的外徑，dn≈1.7dzh;輪輻的相關尺寸，Δ2≈(1～1.2)Δ，c≈0.8dzh/5，c1≈0.8dzh/6，b1≈0.9dzh，h = b－0.8dzh/3; V″為間隙體積。

圖6　“十”字形結構Fig.6　The cross shape structure

圖7　“工”字形結構Fig.7　The H-shape structure

2.4體積公式的驗證

利用Solidworks中的屬性命令可以顯示所建齒輪的體積。因此，分別建立斜齒輪的三維模型(圖8)。利用Solidworks計算斜齒輪的體積，與所推導公式計算得到的體積進行對比，結果如表3所示。

圖8　齒輪的三維模型Fig.8　The three-dimensional modeling of gear

表3　齒輪體積公式驗證Tab.3　The verification of formula of gear volume

以表3中的實體齒輪為例，分析變位對齒輪體積計算公式的影響。從表4中可以看出，當齒輪不變位時，二者基本沒有誤差;采用負變位時，公式計算體積要大于三維模型體積;采用正變位時，公式計算體積要小于三維模型體積。存在誤差的原因包括: 1)實際齒厚無法完全與齒槽重合，特別是在變位情況下，因此所推導的間隙體積公式存在一定誤差; 2)利用Solidworks計算斜齒輪的體積時，相關參數的取值存在誤差。例如，輸入的是法面模數，而實際用到的是端面模數，Solidworks在將法面模數轉化為端面模數過程中，取值存在取舍。由于最大誤差不超過5%，而優化后的體積通常可以減小5%以上。此外，優化所選用的一對齒輪采用等變位，因此，所推導的公式是可以采用的。

表4　齒輪變位對體積計算公式的影響Tab.4　The affection of modification

3　優化設計

3.1優化目標

單級斜齒輪傳動簡圖如圖9所示，以所有齒輪體積總和最小為優化目標，其體積計算公式可以表示為

在優化過程中，根據齒頂圓直徑的變化，Vi(i=Ⅰ，Ⅱ)采用不同結構的體積計算公式(式(2)、(6)、(11)和(16))。

圖9　單級斜齒輪傳動簡圖Fig.9　Diagram of single stage gear transmission

3.2斜齒輪的設計變量

斜齒輪的基本參數包括:齒數、法面模數、壓力角、螺旋角、法面頂隙系數和法面齒頂高系數。其中，壓力角、法面頂隙系數和法面齒頂高系數一般取標準值。從動輪齒數可以用主動輪的齒數和傳動比來表示。此外，齒輪設計還中涉及了齒寬、與齒輪配合的軸徑以及齒輪變位。基于以上分析，斜齒輪的設計變量為

其中，mn為齒輪的法向模數; z1為主動輪的齒數; yn1，yn2分別為齒輪的法面變位系數; b為齒輪的齒寬(假定主從動輪的齒寬相等) ; dzh1，dzh2分別為與主從動齒輪配合的軸徑;β為齒輪的螺旋角。

3.3約束條件

以滿足斜齒輪設計和傳動要求為約束條件，主要包括:

1)保證斜齒輪不發生根切;

2)齒寬系數在0.9～1.4之間;

3)采用等變位;

4)螺旋角在8°～20°之間;

5)滿足浸油要求;

6)滿足齒面接觸疲勞強度;

7)滿足齒根彎曲疲勞強度;

8)與齒輪配合的軸滿足強度要求。

此外，對查圖表獲得的參數進行公式化處理。

4　優化算例

以《機械設計》［15］例題中斜齒輪設計為例(傳動比為3.2，該題目中未給出與小輪配合的軸徑，這里假定為20 mm。)，利用MATLAB軟件中的遺傳算法工具箱進行優化，對優化結果進行標準化處理和圓整，優化前后的結果見表5。優化后的間隙體積為5 910.5 mm3，占總體積的0.7%。

表5　優化前后結果對比Tab.5 Comparison of optimal results and preliminary design

5　結論

1)推導出頂隙和齒輪變位(假定齒全高不變)產生的間隙體積公式。在體積計算公式中考慮間隙體積的影響，從而使齒輪體積計算公式更加精確。

2)推導出不同結構下的齒輪體積計算公式，與Solidworks中所建模型進行對比，驗證了所推導公式的準確性。

3)以某單級斜齒輪傳動為例，利用MATLAB軟件中的遺傳算法工具箱進行優化，對優化結果進行標準化處理和圓整。結果表明，優化后的齒輪體積減小了18.23%。

這里需要明確指出的是，本文的工作主要集中在齒輪體積建模方面。

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Study on volume modeling in process of volume optimization of helical gear

WANG Cheng，SHEN Ting-ting
(School of Mechanical Engineering，University of Jinan，Jinan，Shandong 250022，China)

Abstract:In the light of the current problems in the volume optimization design of gear，a helical gear is studied，and the method of helical gear volume modeling is proposed.First，the influences of tip gap and the modification coefficient on the helical gear volume are analyzed.A formula for solving clearance volume is derived.An example is provided to verify the clearance volume should not be ignored.Second，the formulas for solving the volume of different structure of helical gear are derived，and the corresponding three-dimensional models using Solidworks software are established in order to verify the accuracy of the formulas.Finally，the design parameters of helical gears，helical gears design＆transmission requirements，total minimum volume of all gears and parameters from the diagram are respectively taken as the optimization variables，the constraint conditions，the optimization target and formulation，and the optimization is carried out by the genetic algorithm toolbox in MATLAB software.The results of optimization are dealt with standardization and roundness.A single-stage helical gear system in the“mechanical design”is treated as an example，the optimization design is carried out.The result shows the volume of the optimized gear is decreased by 18.23%.

Key words:helical gears; volume; optimization design

作者簡介:*王成(1977-)，男，山東萊州人，博士，主要研究方向為機械傳動、機械系統動力學，Email: me_wangc@ ujn.edu.cn。

基金項目:國家自然科學基金資助項目(51475210) ;山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金資助項目(BS2011ZZ002) ;中國博士后科學基金資助項目(2014M550577) ;北京市博士后工作經費資助項目(2014ZZ-27)

收稿日期:2014-12-01

文章編號:1007-791X(2015) 01-0016-06

DOI:10.3969/j.issn.1007-791X.2015.01.003

文獻標識碼:A

中圖分類號:TH132