隨機擾動時碰摩轉子的非線性振動特性研究

李 展, 李 紅, 石志剛, 何 青

(1. 華北電力大學 能源動力與機械工程學院，北京102206; 2. 中國能源建設集團 鞍山鐵塔有限公司，遼寧鞍山114042)

隨機擾動時碰摩轉子的非線性振動特性研究

李 展1, 李 紅1, 石志剛2, 何 青1

(1. 華北電力大學 能源動力與機械工程學院，北京102206; 2. 中國能源建設集團 鞍山鐵塔有限公司，遼寧鞍山114042)

為了研究隨機擾動對碰摩轉子系統振動特性的影響，建立了隨機擾動下的碰摩轉子的動力學模型，利用四階龍格—庫塔法對該模型進行求解，得到了系統的非線性振動特性。結果表明隨機擾動對碰摩轉子的運動特征有顯著的影響，這種影響與隨機擾動的強度有關。當隨機擾動強度系數不超過某一常數時,擾動只影響倍周期分岔點處或者周期運動與擬周期或混沌運動結合點處的周期運動形式，而對原周期運動的影響較小。當隨機擾動強度系數大于某一常數時，隨機擾動不僅使原周期運動變為擬周期或混沌運動，而且也使原混沌運動的系統行為特征變得更為復雜，振動幅值顯著增大。所以在實際的轉子系統運行中應盡量減少或避免隨機擾動的發生，以使系統運行更加穩定。

碰摩轉子；隨機擾動；周期運動；擬周期運動；混沌運動

0 引言

任何物體每時每刻都會受到隨機擾動的影響，轉子系統也不例外。尤其是運行在復雜環境下的大型汽輪發電機組、遠洋航行中受到波浪擾動的大型軍艦的動力機組等最為明顯。因此，對轉子系統進行隨機擾動的動力學特性分析討論具有更為重要的意義。

目前國內外都對轉子碰摩的非線性特征進行了一些研究。Goldman[2]等在考慮分段剛度、粘性阻尼等因素的影響下，通過數值積分求解表明轉子系統具有豐富的超諧響應、次諧響應和混沌響應等運動形式。候蘭蘭[3]以Jeffcott轉子為研究對象分析了碰摩系統隨轉速和阻尼變化的振動特征。劉小亮[4]分析了蒸汽壓力變化對汽輪機運行的影響。楊志安[5]分析了轉子系統隨轉子半徑、氣密磁隙等參數變化的特性。康錦萍[6]分析了氣隙計算長度、定子漏抗對汽輪發電機組的影響。袁惠群[7]考慮機匣的彈性和陀螺力矩等因素的影響，建立了碰摩轉子的動力學模型，并用穩定性理論得到研究了各參數對系統運動的影響。羅躍剛[8]考慮轉子材料的物理非線性特征，發現系統具有倍周期、陣發性和倍周期倒分岔等豐富的運動特性。

從目前的研究來看，針對故障轉子在隨機激勵下的研究較少。所以本文以局部碰摩轉子為研究對象，建立考慮油膜力的碰摩轉子的動力學模型，研究系統在不同隨機擾動強度系數下隨轉速和圓盤阻尼等參數變化的非線性振動特征。

1 碰摩模型

本文以徑向局部碰摩為研究對象，建立碰摩模型[9]，如圖1(a)、(b)所示。假設轉子兩端由兩個完全相同的滑動軸承支承，兩端軸承的位移也完全相同，轉軸為無質量彈性軸。O為靜止時轉子的質心位置，OO1為轉子徑向位移，圓盤中心坐標(x,y)，軸承中心坐標為(x1,y1)，用軸承間隙δ0無量綱化有

(1)

圖1 碰摩轉子模型

假定定子徑向變形為線彈性變形，轉子與定子間的摩擦符合庫侖定律，即摩擦力Fτ與作用于接觸面上的正壓力Fn成正比

Fτ=fFn

(2)

式中：f為摩擦系數。

面積作為生活中常見的六種物理量之一，面積的教學為今后角度、體積、容積的學習奠定了度量基礎。在“面積”的再教學中，通過“把握面積概念，滲透度量意識”“感知面積單位，發展度量意識”“理解面積公式，感悟度量本質”，學生初步把握了度量的數學結構，逐步增強度量觀念，有效地落實了本單元的教學。

(3)

式中：ks為定子徑向剛度，N/m。

根據式(3)，當r>δ時，碰摩力Fn在x,y方向上的分力分別為

(4)

無量綱形式為

(5)

關于油膜力，本文采用具有較高精度和收斂性好的非線性Ca-pone模型[10]，其無量綱形式為

(6)

其中，

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

所以，非線性油膜力為

(12)

其中，s為Sommerfeld修正系數

(13)

式中：μ為潤滑油黏度，Pa·s；W為轉子和圓盤重量的一半，kg；L為軸承的長度，mm；R為軸承半徑，mm；ω為轉子轉速，rad/s。

2 運動方程

由于實際運行中的汽輪機葉片會受到氣流力的擾動，即假設隨機擾動信號加在圓盤的x方向上，則系統在隨機擾動下的無量綱運動微分方程為

(14)

其中

(15)

3 系統參數與仿真方法

本文仿真的碰摩轉子系統參數如表1所示[12]。

表1 碰摩轉子系統參數

方程(14)為隨機激勵非線性周期時變系統，其中的隨機擾動項即方程(15)使用Monte-Carlo隨機模擬的方法進行模擬，最后對方程(14)使用四階龍格—庫塔法進行求解。

本文選取轉速和圓盤阻尼為參數來模擬不同隨機擾動強度系數下的轉子系統的非線性特征響應。此外，在本文的研究中，按式(15)構造不同的隨機擾動樣本，最終得到的碰摩轉子的非線性特征響應基本相同，所以也從側面可以印證用式(15)得到的白噪聲過程是滿足各態歷經條件。

4 仿真結果與分析

4.1 轉速對碰摩轉子非線性特性的影響

圖2(a)為圓盤隨轉速變化時的分岔圖，響應特征如表2所示。從圖2(a)和表2可以看出，當系統無擾動時圓盤在不同的轉速下表現出復雜的運動狀態。當轉速較低時碰摩力較小，油膜力在轉子運動中起主導作用，系統表現為穩定的P-1周期運動。隨著轉速的升高，在油膜力和碰摩力共同作用下，圓盤在560 rad/s時突然出現失穩現象進入擬周期狀態，之后由于碰摩力的增大系統重新經倒分岔現象進入P-2周期運動狀態，然后又經倍分岔現象進入P-4周期運動，最后進入混沌運動。圖2(b)為加入較小隨機擾動強度系數即當σ=0.000 55的情況下的圓盤隨轉速的響應。從圖2(b)中可以看出，小的擾動只是讓分岔曲線變得更粗了一點，而周期解與擬周期解的交匯點，倍分岔點以及周期解與混沌解的交點的位置基本無變化，此時的轉子運動規律與無擾動時的響應與表2所示基本相同。當加入的隨機擾動強度系數增大到σ=0.002時，如圖2(c)所示，轉子轉速為390rad/s時就由P-1周期運動進入擬周期運動且一直持續到混沌運動狀態，而轉子在無擾動或小擾動時由P-2周期到P-4周期再到混沌運動的級聯現象也模糊不清了。

圖2 系統響應隨轉速的分岔圖

圖3～5為系統在典型轉速ω=1 150rad/s下的響應。從圖3(a)、(b)、(c)中可以看出，系統首先由無擾動下的周期軸心軌跡變為微小擾動下的一簇環形軌跡，最后變成了較大擾動下的混亂軌跡。從圖4(a)相圖中的封閉曲線和圖5(a)中有4個點可以看出，此時系統做P-4周期運動。從圖4(b)可以看出，如果加入的隨機擾動強度系數較小，此時的相圖也變成了一簇環形軌跡，再參照圖5(b)中龐加萊截面圖中形成了閉合的圈形，說明此時系統開始做擬周期運動，但系統整體上還是穩定的。從圖4(c)中可以看出，再增大隨機擾動強度系數后，此時的相圖變得混亂，圖5(c)中龐加萊截面包含有分散堆積的散點，形成了兩個混沌島，所以，可以判定此時系統做混沌運動。

表2 系統響應隨轉速的變化(σ=0)

圖3 軌跡圖

圖4 相圖

圖5 龐加萊截面圖

4.2 阻尼對碰摩轉子非線性特性的影響

圖6(a)為無擾動時系統在轉速為700 rad/s且其他基本參數不變的情況下轉子振動隨圓盤阻尼變化的分岔圖，響應特征如表3所示。從圖6(a)和表3中可以看出，系統隨著圓盤阻尼從小到大要經歷周期、擬周期、混沌等復雜狀態。當圓盤阻尼較小時，油膜力占主導作用，所以做周期運動。隨著圓盤阻尼的增加，當圓盤阻尼為1 000 Ns/m時系統出現陣發性跳躍進入擬周期運動，然后經過倒分岔進入周期運動，隨后又由陣發性跳躍到混沌運動。當圓盤阻尼大于1 800 Ns/m時，系統做穩定的周期運動。由此可見，圓盤阻尼越大，系統的運動越穩定，但是同時增加系統的能量消耗。當向系統中加入微小的擾動后，如圖6(b)所示，此時系統的運動規律基本與無擾動的情況相同，只是周期曲線變得更粗了一點。但是，當向系統中加入較大擾動時，如圖6(c)所示，系統的周期曲線不但變得更粗，而且使得原系統的倒分岔現象變得模糊不清，即周期運動變成了擬周期或混沌運動。

圖6 系統隨輪盤阻尼的分岔圖

圓盤阻尼/(N·s·m-1)響應特征0～300周期4300～1000周期21000～1240擬周期1240～1400周期51400～1800混沌1800～3500周期1

從圖7到圖9為系統在轉速為700 rad/s，輪盤阻尼為1 350 Ns/m時的典型響應。從圖7(a)、(b)、(c)中可以看出，小的隨機擾動強度系數可以使原系統的有規律的閉曲線周期解變為一組非閉曲線的擾動下的周期解，加大隨機擾動強度系數后軸心軌跡線變的非常混亂，即此時系統做混沌運動。從圖8(a)相圖中包含5個閉曲線，圖9(a)中有5個點，可以判斷系統此時做周期P-5運動。從圖9(b)龐加萊截面圖中形成了一條閉曲線，可以判定現在系統做擬周期運動，這反映在軌跡圖中就是軌線變成了一簇閉合的曲線環。當σ=0.002時，從軸心軌跡圖和相圖中可以看出此時的軌跡在區域中來回折疊形成了一組混亂的圖形，反映到龐加萊圖中如圖9(c)包含有大量的散點，形成了云狀的圖形，即此時系統做混沌運動。

圖7 軌跡圖

圖8 相圖

圖9 龐加萊截面圖

5 結論

本文建立了碰摩轉子系統的動力學模型，分析了隨機擾動強度系數對系統的影響，得到以下結論：

(1)在本文中當隨機擾動強度系數小于0.000 55時，隨機擾動主要影響系統的倍周期分叉點以及周期運動和擬周期或混沌運動的結合點處的運動，一般使系統的周期運動數增加，而不能使系統進入擬周期或混沌運動的狀態。此時隨機擾動對系統周期運動影響很小，可以忽略。

(2) 在本文中當隨機擾動強度系數大于或等于0.000 55時，隨機擾動對整個系統的運動造成較大的影響,可以使周期運動變成擬周期或混沌運動，且使原有的擬周期或混沌運動的位移顯著增大。

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[6]康錦萍，徐英輝. 汽輪發電機穩態有限元模型中計算參數對仿真結果的影響[J]. 電力科學與工程，2015，31(5)：29-33.

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NonlinearCharacteristicsResponseofRub-impactRotorbyRandomDisturbance

Li Zhan1, Li Hong1,Shi Zhigang2,He Qing1

(1.School of Energy Power and Mechanical Engineering, North China Electric Power University, Beijing 102206, China;2. Anshan Iron Tower Factory, China Energy Engineering Corporation Ltd., Anshan 114042, China)

This paper establishes the system dynamics model with white noise as random disturbance in order to study the nonlinear vibration characteristics of rub-impact rotor system. And the Fourth-Order Runge-Kutta integral method is employed to obtain the numerical solution. It shows that random disturbance signal has a significant impact on the movement characteristics of the rub-impact rotor, and this effect has a close relationship with the strength of disturbance signal. Generally speaking, random disturbance affects the period-doubling bifurcation point or the combining site of system movement between periodic motion and quasi periodic or chaotic motions only when the strength of disturbance signal is smaller than a constant. But when the strength is bigger than a constant, it not only makes the original periodic motion turn into a quasi periodic or chaotic motion, it also renders the original chaotic motions of the system more complex. So it needs to reduce or avoid the random disturbance in order to make the system steadier.

rub-impact rotor; random disturbance; periodic motion; quasi-periodic; chaos

2015-06-29。

中央高校基本科研業務費專項資金資助(2014MS17)。

李展(1990-),男,碩士研究生,研究方向為汽輪發電機組振動故障的非線性問題. E-mail：huadianlizhan@163.com。

TK 261

A

10.3969/j.issn.1672-0792.2015.09.010