關(guān)于隨機(jī)光滑點(diǎn)

趙世恩,趙 媛

(1.首都師范大學(xué) 初等教育學(xué)院,北京 100048;2.河北金融學(xué)院 基礎(chǔ)部,河北 保定 071051)

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關(guān)于隨機(jī)光滑點(diǎn)

趙世恩1,趙 媛2

(1.首都師范大學(xué) 初等教育學(xué)院,北京 100048;2.河北金融學(xué)院 基礎(chǔ)部,河北 保定 071051)

提出隨機(jī)賦范模中隨機(jī)光滑點(diǎn)的概念,利用隨機(jī)賦范模與經(jīng)典賦范空間的聯(lián)系,給出了隨機(jī)光滑點(diǎn)和經(jīng)典光滑點(diǎn)的關(guān)系。最后,利用有限生成隨機(jī)賦范模的代數(shù)結(jié)構(gòu),給出了幾個(gè)隨機(jī)光滑點(diǎn)的基本性質(zhì)。這些結(jié)果將進(jìn)一步豐富隨機(jī)賦范模幾何學(xué)已有的內(nèi)容。

隨機(jī)賦范模;隨機(jī)共軛空間;隨機(jī)光滑點(diǎn);(ε,λ)-拓?fù)?/p>

0 引言

隨機(jī)度量理論來(lái)源于概率度量空間理論[1],隨機(jī)賦范模的概念是在隨機(jī)度量理論的發(fā)展過(guò)程中提出來(lái)的,現(xiàn)在隨機(jī)賦范模已成為隨機(jī)度量理論的核心框架之一。當(dāng)前采用的隨機(jī)賦范模概念最終成型于文獻(xiàn)[2]。在文獻(xiàn)[1]中,隨機(jī)度量空間中兩點(diǎn)間的隨機(jī)距離或向量的隨機(jī)范數(shù)都采用非負(fù)隨機(jī)變量來(lái)定義。文獻(xiàn)[2]開始使用非負(fù)隨機(jī)變量等價(jià)類來(lái)定義兩點(diǎn)間的隨機(jī)距離或向量的隨機(jī)范數(shù),這樣雖然舍棄了一些概率論直觀性,但從泛函分析的觀點(diǎn)來(lái)看卻帶來(lái)了極大的方便。在隨機(jī)賦范模上所賦予的一個(gè)重要拓?fù)涫?ε,λ)-拓?fù)?從概率的角度來(lái)看是很自然的,但是這個(gè)拓?fù)洳皇蔷植客沟摹Ｒ虼耍瑐鹘y(tǒng)的共軛空間理論對(duì)于隨機(jī)賦范模理論的發(fā)展是失效的。正因?yàn)槿绱?文獻(xiàn)[2]開創(chuàng)性地提出了隨機(jī)共軛空間的概念。隨后,隨機(jī)賦范模理論在隨機(jī)共軛空間這一有利的工具下經(jīng)歷了快速的發(fā)展。

利用已有的關(guān)于隨機(jī)賦范模理論的結(jié)果,對(duì)隨機(jī)賦范模理論中的幾何學(xué)做了進(jìn)一步研究。首先，提出隨機(jī)賦范模中隨機(jī)光滑點(diǎn)的概念；其次,給出了隨機(jī)光滑點(diǎn)和經(jīng)典光滑點(diǎn)的關(guān)系；最后,給出關(guān)于隨機(jī)光滑點(diǎn)的幾個(gè)基本性質(zhì)。

為了方便閱讀,下面給出采用的記號(hào):K表示實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域C;(Ω,,P)表示一個(gè)概率空間;L0(,K)表示(Ω,,P)上K-值-可測(cè)隨機(jī)變量等價(jià)類所組成的代數(shù);L0()=L0(,R)，L0()表示(Ω,,P)上廣義-值-可測(cè)隨機(jī)變量等價(jià)類所組成的集合。

1 預(yù)備知識(shí)

以及

2 主要結(jié)果及其證明

命題1[9]如果dimX=n,則AX依范數(shù)稠于X。

命題2[9-10]如果dimX=n,則存在AX中n個(gè)元素a1,a2,…,an,使得{fa1,fa2,…,fan}為X*的一組基。

給出隨機(jī)光滑點(diǎn)的概念以及主要結(jié)果的證明。

對(duì)于任意簡(jiǎn)單函數(shù)f:Ω→(n)′,因?yàn)閧fx1,fx2,…,fxn}?(n)′為(n)′的一組基,容易證明f∈SpanL0{φ1,φ2,…,φn}。因此，在(ε,λ)-拓?fù)湎耂panL0{φ1,φ2,…,φn}稠于L0(,(n)′)。又因?yàn)镾panL0{φ1,φ2,…,φn}在(ε,λ)-拓?fù)湎率情]的,故有

的元素。證畢。

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國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401399);北京市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(1144008)

趙世恩(1981-),男,河北張家口人,講師,博士,研究方向?yàn)榉汉治?

2014-09-10

1672-6871(2015)04-0095-03

O177.92

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