鋼構(gòu)件排料問題的數(shù)學(xué)模型研究★

丁 勇

(湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430079)

鋼構(gòu)件排料問題的數(shù)學(xué)模型研究★

丁 勇

(湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430079)

對2015年華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽A題(鋼構(gòu)件排料問題)進(jìn)行了研究，建立了規(guī)則形狀零件情形下的數(shù)學(xué)模型，采用縱、橫向切割方式，對原料板材的零件切割分布進(jìn)行了模擬，通過圖形各面積的關(guān)系確定了準(zhǔn)最優(yōu)切割模式，得到最高利用率約為99%。

鋼構(gòu)件，排料，數(shù)學(xué)模型，規(guī)則形狀零件，利用率

1 問題重述[1]

在鋼構(gòu)件制造產(chǎn)品的生產(chǎn)過程中，依照產(chǎn)品零件尺寸從板料中截取大小適當(dāng)?shù)牧慵^程稱之為排料，也稱之為下料。排料是鋼構(gòu)件制造的第一道工序。在這道工序中，不同的排料方案具有不同的材料利用率，而原材料的利用率直接影響產(chǎn)品的成本。對于一個年消耗大量鋼材的生產(chǎn)單位，若能夠提高原料利用率的1%，那么其節(jié)約的鋼材成本是可觀的。因此，降低廢料率、提高原材料利用率是鋼構(gòu)件生產(chǎn)企業(yè)追求的目標(biāo)。根據(jù)實際情況，板材排料又可分為兩種：1)規(guī)則形狀的零件排料；2)不規(guī)則形狀的零件排料。規(guī)則形狀零件是指矩形零件。其描述一般只需用矩形的長和寬。規(guī)則形狀零件的排料問題的實質(zhì)是研究如何組合零件擺放問題，使得在整個原料上擺放大量的不同長和寬的零件產(chǎn)生的廢料最少、整料和余料的利用率最高。排料時，其零件間的搭接關(guān)系的處理只考慮長、寬兩個因素(含預(yù)留的損耗量)。由于切割工藝的要求，切割只能實行“一刀切”的工藝(在整料或余料中，從一邊的某點到另外一邊某點的連線一次切割，但可以在切割下來的板料中再次切割)。板材的利用率就是所有零件面積之和與在一刀切工藝后繼續(xù)切割的那部分板材面積的比值。論文主要研究對于1張板料和若干規(guī)則形狀零件，如何在板料中擺放零件使板料的利用率最高(板料和零件參數(shù)見文獻(xiàn)[1]附件1)。

2 問題分析

1)從一邊的某點到另外一邊某點的連線一次切割，是指只能直線段切割，而不能折線或曲線切割。2)“板材的利用率就是所有零件面積之和與在一刀切工藝后繼續(xù)切割的那部分板材面積的比值”，說明了在一刀切工藝后，繼續(xù)切割的那部分板材面積越小，則利用率越大，這符合人們對利用率的理解。3)擺放模型有如下考慮方向：a.與以往的全國賽題(地震搜救、衛(wèi)星測控)、2014年數(shù)學(xué)中國數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽題(幼兒園園長的煩惱)類似，屬于幾何覆蓋問題。b.與鋼管下料問題類似，屬于數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，可以采用LINGO求解，可以將題給數(shù)據(jù)存儲于EXCEL，使用LINGO程序調(diào)用EXCEL數(shù)據(jù)。對于所研究的三種情形，目標(biāo)均為利用率最高，因此首先應(yīng)設(shè)計目標(biāo)函數(shù)，即給出利用率的表達(dá)式，且表達(dá)式應(yīng)為與數(shù)據(jù)無關(guān)的通用形式，以便于推廣。如果在研究過程中建立的是線性非整數(shù)規(guī)劃模型，則需要使用LINGO完成靈敏度分析，以適應(yīng)數(shù)據(jù)變化的情形，如果是非線性規(guī)劃模型或整數(shù)線性規(guī)劃模型，則LINGO無法完成靈敏度分析。c.通過對附件1中坐標(biāo)數(shù)據(jù)的處理，再利用CAD繪制零件擺放切割模型的模擬圖，最后通過計算出的損耗值得出利用率的大小。

3 數(shù)學(xué)模型的建立與求解

3.1 數(shù)學(xué)模型的建立

規(guī)則零件均為四邊形，且只需考慮切割時零件的長和寬，在對附件1中的數(shù)據(jù)[1]進(jìn)行處理后，得到了各零件邊的坐標(biāo)值部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表1所示。

表1 附件1中各零件邊的坐標(biāo)值 mm

由于原料板材在切割時選用“一刀切”工藝，因此將原料板材分為縱、橫向切割[2]，見圖2，圖3。

在切割過程中因為零件的尺寸原因也有兩種方式交替使用的原則，例如先橫向切割再縱向切割，如圖4所示。

將上述的幾種切割方式轉(zhuǎn)化為零件在原料板材的排列方式，通過CAD的模擬繪制，得到零件切割方式圖，如圖5所示。

由圖5可得出各零件在原料板材的分割位置，圖5中填充的黑

色部分為原料板材切割零件后所余留下的材料，同時也可得知該切割方式為先整體規(guī)劃共邊[3]豎向切割，再分布進(jìn)行橫向切割，附件1已給出相應(yīng)的尺寸與坐標(biāo)值，可得相應(yīng)的面積。

以逆向統(tǒng)計的方法將利用率轉(zhuǎn)換為求損耗率，則有：

可得利用率為：

L=1-Q。

3.2 數(shù)學(xué)模型的求解

將零件的尺寸規(guī)格進(jìn)行統(tǒng)計處理，求得各零件的面積，統(tǒng)計結(jié)果如表2所示。

表2 附件1中所給零件的長、寬和面積值

通過數(shù)據(jù)和圖5可計算出問題一中的余料面積：

Sy≈114 999.99 mm2。

則損耗率為：

結(jié)果接近0，因此利用率L=1-Q≈99%，可知利用率接近1，所以按圖5方式排列切割的方式為最優(yōu)化的結(jié)果，利用率最高。

[1] 華中數(shù)模網(wǎng).第八屆華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽賽題發(fā)布[OL]. http://www.shumo.cn/html/jmjs_576_1181.html，2015-05-01.

[2] 崔耀東.同尺寸矩形毛坯排樣與板材尺寸的合理選擇[OL].http://www.docin.com/p-857443892.html，2015-05-03.

[3] 呂亞軍.基于共邊切割方法的板材切割路徑優(yōu)化[OL].http://www.docin.com/p-791677416.html，2015-05-03.

Study on mathematical model of steel discharging problem★

Ding Yong

(HubeiCommunicationsTechnicalCollege，Wuhan430079,China)

Problem A (steel cutting problem) in the 2015 central China Undergraduate Mathematical Modeling Competition is studied in this paper. The paper established a mathematical model of shape under the condition of the parts, longitudinal, transverse cutting mode, cutting parts on the raw plate distribution was simulated, through the relationship between the figure of each area to determine the quasi optimal cutting mode, the highest utilization rate is about 99%.

steel， discharge， mathematical model， irregular parts， utilization

2015-05-26★：湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研項目(項目編號：201219B)

丁 勇(1983- )，男，碩士，講師

1009-6825(2015)22-0128-02

O242

A