Realized GARCH模型在黃金期貨市場的應用

王玲

Realized GARCH模型在黃金期貨市場的應用

王玲

采用結合高頻數據實現計量的Realized GARCH模型對黃金期貨市場的杠桿效應、波動集群性等波動性特征進行研究。選取對價格穩健的實現計量作為Realized GARCH模型的解釋變量，并對我國黃金期貨的高頻樣本數據進行檢驗。極大似然方法估計結果表明：對價格跳穩健的實現雙冪變差波動性（RBV）所得結果更優，黃金期貨存在明顯的杠桿效應和波動集群性，且波動具有長持續性，而實現方差并不能有效的刻畫數據實際特征。

黃金期貨 非對稱性；Realized GARCH 極大似然估計

金融收益波動一般具有杠桿效應、集群性等。Engle（1982年）提出ARCH模型，解釋了波動集聚效應，奠定了波動性度量的基礎。Bollerslev提出的GARCH模型，能很好的刻畫金融收益的異方差性和波動集群性，但不能說明金融資產收益的其他特性，如非對稱性等。

為彌補GARCH模型的缺陷，描述利空、利好消息對收益波動影響和波動長記憶性的非對稱GARCH模型應運而生。EGARCH模型、TGARCH模型、GJR-GARCH模型主要對收益的非對稱性建模，FIGARCH模型描述了序列變動的異方差性和長記憶變動特性。

GARCH族模型雖然改進了條件方差方程，但所用日間數據損失了大量日內市場信息，勢必造成結果的相應偏差。高頻數據可提供更多的經濟和市場信息，可得性顯著提高，同時研究表明可用標準時間序列技術對“可觀測”實現波動性建模。因此如果能充分利用數據自身包含的信息，即讓數據盡可能的表現自己，并將這種信息嵌入到易于估計的模型中，則可期待精確的估計出資產收益的真實波動。越來越多的金融研究人員利用高頻數據信息來度量資產收益波動的動態性。

一、文獻綜述

為充分利用高頻數據的信息，主要從三個方面著手：（1）直接利用高頻數據計量；（2）將高頻數據計量嵌入已存在的模型中，對條件方差方程進行改進；（3）探索新的模型。徐正國、張世英（2004）利用上證綜指的高頻數據將調整已實現波動率和GARCH模型進行對比發現：實現波動率明顯優于使用低頻數據的GARCH模型。魏宇、余怒濤（2007）也證明使用高頻數據的實現波動率模型比傳統的低頻數據模型好。文鳳華（2012）等構建了AHAR-RV-V模型，并應用滬深300指數進行檢驗，結果表明模型能較好的捕捉股票市場波動的長記憶性和杠桿效應，且杠桿效應具有一定的持續性。田鳳平等（2014）修正了已實現門閥多次冪變差，構建考慮跳躍的AHAR-C-CJ模型證明股指波動的連續性成分長記憶性較強，離散成分長記憶性較弱，模型顯著提高了股指期貨市場波動率預測精度。Louzis等（2014）用三種波動率模型：GJR-GARCH模型、實現GARCH模型、非對稱HAR模型度量了股票、匯率、債券和黃金期貨數據的波動率。本文在黃金期貨高頻數據基礎上，利用Realized GARCH模型檢驗了市場波動的特征，并側重采用價格穩健的實現計量。采用極大似然方法估計的結果表明：采用價格穩健的變量能更有效地捕捉市場的波動性特征。

二、波動率模型

1、實現波動率

最初主要采用參數方法來度量波動率，但理論和實踐表明，可能由于樣本包含的經濟和市場信息不足等原因，參數方法都存在較大誤差，不能精確度量波動率。因此國外新近研究將度量波動率的方法轉向了利用高頻數據的非參數方法上，本質是讓數據盡可能的表現自己，并用收益的經驗分布—而非假設的理論分布來度量波動，此類方法都有一個潛在的假設：未來與過去相同。最具代表性的就是實現波動性模型。迄今對實現波動性模型的研究表明：首先，對數實現波動性的非條件分布近似正態分布，但仍與正態分布有差距。其次，（對數）實現波動性是分整的。最后，實現波動是非線性的，即在ARCH型模型中也很常見的杠桿效應：過去的負沖擊對當前（實現）波動的影響要大于正沖擊。

Andersen等（2001）提出實現波動率，利用日內高頻數據計算出事后波動率的“可觀測”估計量，且已實現波動率估計量不依賴于任何模型，沒有估計誤差，可視為“可觀測”變量。金融資產的日條件對數收益為rt＝p（t）－p（t－1）（其中p（t）是t天觀察到的金融資產價格的對數），可表示為：

rt＝μt＋εt＝μt＋σtzt（1）（zt獨立同分布于均值為0，方差為1的分布）。

通常市場微觀噪聲會引起日內收益的自相關，為了解釋金融資產收益過程隱含的序列自相關性，如Giot和Laurent（2004）與Kuester（2006），用AR （1）對條件均值建模：E（rt│It-1）＝c＋φ1rt-1，條件期望解釋了收益的動態時間依賴性和非零均值，而收益常常是異方差的，因此將典型特征嵌入到收益過程中是合理的。

2、Realized GARCH模型

GARCH模型和實現波動性模型各有自身的優勢，如果能將GARCH模型的特性（靈活性等）與實現波動模型的優點結合，那么可以期待較準確的度量波動率。最初直接將實現波動性計量（實現方差、實現核等） 納入 GARCH模型—GARCH-X模型，易于估計，操作簡單，但只能用日收益數據提供波動性當前水平的單一信息，即實現計量是外生變量，不能用來更新波動性信息，是不完整的。為了改進這一點，人們開始嘗試建立完整模型，Engle和 Gallo（2006），Sheppard和Shephard（2010）分別提出至少依賴兩個隱變量的MEM和HEAVY模型。

Hansen等（2012）提出將實現波動性與收益聯合建模的完整模型，即Realized GARCH模型。Realized GARCH模型可以調整由市場微觀噪聲和非交易時間所引起的實現波動的偏差，可以利用高頻數據實現波動性計量方法更新波動性信息，而且波動能很快達到最新水平，本質上是一個離散時間隨機波動率（SV）模型，由于實現測度的存在（構建了實現計量的封閉函數），可直接用極大似然方法同時估計收益和波動性等式的參數。其對數形式為：

一般來說，我們期望真實日收益波動的無偏估計量能使K的估計值接近0，π的估計值接近1。但rt和σ2t是整日的收益和波動性，RVt是用日間開市時期數據計算的實現波動，因此，K應小于0，π應小于1。

金融資產價格常常存在跳躍性，為了克服價格中跳對積分波動率的影響，Barndorff-Nielsen和Shephard給出了已實現雙冪變差波動率（RBV）：（t天的第j個連續復合日內收益為2，…M），M是日內收益的總數，t天的收益為rt＝實現波動性在不含微觀噪聲的情形下，無論真實資產過程是否具有跳，當抽樣間隔趨于0時，RBV將趨近真實積分波動率，即RBV依概率收斂于積分波動率。而存在跳時，RV趨近于積分波動率加上跳躍部分，不再是積分波動率的一致漸近估計。

所有等式（等式（1）、（2）、（3））的參數都可以通過最大化實現波動性模型的聯合對數似然函數來估計：

θ是參數向量，fGARCH（rt│xt-1,θ）是新息分布的密度函數，取決于GARCH式中zt的分布選擇，fn（xt│xt-1，rt，θ）是相對于計算式的正態分布密度。當zt服從標準正態分布時，（4）式為

三、實證分析

1、數據的選取

金融數據常常受到市場微觀噪聲的影響，不同的采樣頻率會對結果產生不同影響，一般來說，實現波動率隨著采樣頻率的降低而增大，直到采樣頻率降到5分鐘，這種趨勢才穩定下來。本文選擇常用資產：商品中具有代表性的黃金期貨2011-01-04—2014-07-04（848天）的5分鐘數據。

2、描述性統計量

表1描述了日觀察值和用于計算實現計量的日內收益數據的信息，也給出了資產的日（平方）收益，（對數）實現波動性和（對數）實現雙冪變差波動的描述統計量。

表1 黃金期貨全樣本數據描述統計量表

由表1及圖1、2、3可知：收益表現出明顯的負偏性和厚尾性，峰度顯著大于3。其值在0附近上下頻繁波動，ACF圖表明收益前后并無明顯相關性，建模時將收益的條件均值設為0。收益平方ACF圖表明收益平方前后相關性較大，即出現集群現象：大的波動跟隨大的波動，小的波動跟隨小的波動。

對數實現計量也表現出明顯的前后依賴性。RVt、RBVt都表現出右偏和尖峰厚尾性；log RVt、log RBVt接近正態分布，log RBVt更接近正態分布，可能是因為RBVt對價格的穩健性，但JB統計量和QQ圖表明兩者均不服從正態分布。自相關函數（ACF）以雙曲線形式緩慢衰減，表明所有（對數）實現波動序列表現出長期依賴性（即長記憶性）。圖1、2、3顯示，在2013.04-2014年間（恰好處于金價大幅跳水期），收益、收益平方、（對數）實現計量的波動最強。log RBVt的波動明顯弱于log RVt。

圖1 收益rt相關圖

圖2相關圖

圖3 實現計量相關圖

3、模型估計結果

表2 Realized GARCH模型的參數估計結果

對比Hansen（2012）和Louzis（2014）的研究結果，RBV情形下，GARCH式的估計結果：β、γ的估計值接近其相關研究中估計結果的平均值。計量式中對數實現計量的估計，即π的估計值反映了其能解釋的對數方差百分比，其值小于1，與先前預期吻合，所用只是開市時期數據，黃金期貨并非24小時連續交易，對數RBV能解釋真實方差對數的67.6%。K的估計值接近2，顯然與先前假設不符合，實現計量不是未確定條件方差的無偏估計，可能由于中國黃金期貨市場起步較晚，各方面體制并不健全，易受其他因素的影響。且RBV對價格跳穩健意味著其低于或等于由RV估計的價格過程的二次變分，所以由RBV所得的K估計值1.96小于采用RV所得的7.44。τ1的估計值為負，說明黃金期貨市場存在杠桿效應；τ2的估計值為正，證明期貨市場存在尺度效應，這與我們在收益序列中觀察到的特性相符，杠桿函數估計結果驗證了收益存在非對稱性的典型特征。波動的持續性β＋γπ為0.95，表明波動的持續性較長。

在RV情形下，GARCH式的估計結果與先前研究相符，但是計算式的估計結果相差較大，特別是杠桿效應的估計值為正，與實際不符合，且實現計量是真實方差的有偏估計。持續性值為0.97，同樣表明波動具有長持續性。總體來說，RBV的度量效果優于RV。

四、結 論

在GARCH模型中將實現波動性視為解釋變量可用來評估用于衡量波動性的高頻數據信息量。文中選用由高頻數據計算的價格穩健實現計量RBV作為Realized GARCH模型的解釋變量，對黃金期貨收益的杠桿效應和波動集群性進行研究，并采用極大似然方法估計模型參數。

選取的黃金期貨收益數據并沒有自相關性（可能由于市場微觀噪聲對黃金期貨市場收益的影響較小），建模時收益的條件均值設為0。利用RBV進行分析時，β、γ的估計值接近相關研究中估計結果的平均值。τ1估計值為負，杠桿效應明顯存在；τ2估計值為正，即存在波動集群性；τ1、τ2估計結果表明黃金期貨市場并非完全有效，沖擊對于波動的影響具有非對稱性。π的估計值較大，證明對數RBV可解釋的對數波動的比例較大，由于交易時間的制約，其估計值小于1，符合先前假設。然而，采用RV進行分析的結果不盡理想，尤其τ1的估計值為正，顯然與預期相悖。但兩變量同時表明波動具有長持續性。

總體來說，在新息和計量式誤差項正態分布假設條件下，采用RBV估計的結果優于RV，可能歸因于RBV對價格跳穩健的特性，波動相對較弱，取其對數后更接近正態分布。

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Application of Realized GARCH Model in Gold Future Market

WANG Ling
University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093

This paper studies the leverage effect and volatility clustering of gold future in China by using realized GARCH model combined with realized measures calculated from high-frequency data.The realized measure robust to price jumps is selected as the explanatory variable of realized GARCH model to test the features of high-frequency data of gold future in China.The results got from maximum likelihood estimation show:the Realized Bipower Variation (RBV)which robust to price jumps performs good,gold future presents leverage effect and volatility clustering,and volatility lasts a long time;but Realized Variance(RV)can't describe the real characters of the data effectively.

Gold Future,Asymmetry,Realized GARCH,Maximum Likelihood Estimation

F831

A

王玲，女，漢族，安徽淮南人，上海理工大學碩士研究生，研究方向：金融統計；上海，200093