G′／G展開法在Riccati方程中的應用

魏帥帥，李凱輝，劉漢澤

（聊城大學數學科學學院，山東聊城 252059）

G′／G展開法在Riccati方程中的應用

魏帥帥，李凱輝，劉漢澤

（聊城大學數學科學學院，山東聊城 252059）

通過齊次平衡原理和G′／G展開法對Riccati方程進行求解，得到了滿足一定條件的Riccati方程的G′／G解。擴大了對Riccati方程的研究成果，擴展了G′／G展開法的應用。

齊次平衡原理；G′／G展開法；Riccati方程；精確解

0 引言

由于非線性變系數發展方程可以描述許多非均勻介質的物理現象，因此，這些方程的求解近年來得到了人們的廣泛關注［1］。非線性變系數發展方程往往比非線性常系數發展方程具有更廣泛的物理意義，所以尋求非線性變系數發展方程的解具有重要意義［2］。本文研究如下形式的Riccati方程：

其中：P（x）、Q（x）、R（x）是連續的函數。

Liouville在1841年已經證明：Riccati方程沒有初等解法［3］，但是如果能找到Riccati方程的一個特解，再通過初等變換，可求出方程的通解。許多文獻對Riccati方程的特解進行了研究［4－5］，但本文并沒有從求其特解這方面入手，而是用G′／G展開法［6－17］和齊次平衡原理［18－19］對Riccati方程進行了研究，得到滿足一些條件的Riccati方程［20］具有G′／G解，并列舉一些特例。然后對一些特例進行了驗證，并求出其精確解。

1 Riccati方程G′／G解的存在性

其中：G＝G（x）并且滿足二階線性常微分方程

把式（3）、式（5）和式（6）代入式（2）后，平衡最高階導數項和最高階次數項得到m＝1。那么，可設

2 求解舉例

對于上面列舉的一些例子，下面針對其中2個求出其精確解，具體過程如下。

例1如下方程：

把式（4）、式（19）和式（20）代入式（18）可以得到如下形式的解：

其中：C1和C2是任意的常數。

其中：C1和C2是任意的常數。

3 結論

開法求解有很大的便利性和發展前景。利用Lie群分析，可以將非線性發展方程約化為常微分方程，其中有些約化方程即為Riccati方程，這樣，利用本文的方法，可以求出某些Riccati方程的解，從而得到非線性發展方程的解。因此，本文的方法在求解非線性發展方程中也起著重要的作用。

［1］ 劉睿.相容性方法在求解變系數發展方程中的應用［J］.河北師范大學學報：自然科學版，2011，35（5）：442－447.

［2］ 王崗偉，劉希強，張穎元.變系數mKdV方程的精確解［J］.井岡山大學學報：自然科學版，2012，33（5）：1－5.

［3］ 王高雄，周之銘.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006.

［4］ 杜煒，師建國.Riccati方程的特解［J］.天中學刊，2003，18（5）：6－7.

［5］ 王建明.Riccati微分方程特解新求法的研究［J］.數學的實踐與認識，2006，36（7）：382－386.

［6］ Wang M L，Li X Z，Zhang J L.The（G′／G）-expansion Method and Travelling Wave Solutions of Nonlinear Evolution Equations in Mathematical Physics［J］.Physics Letters A，2008，372（4）：417－423.

［7］ 李幫慶，馬玉蘭.（G′／G）展開法和（2＋1）維非對稱Nizhnik-Novikov-Veselov系統的新精確解［J］.物理學報，2009（7）：4373－4378.

［8］ 郭冠平，周國中，何寶鋼.G′／G展開法對非線性耦合Klein-Gordon方程組的精確解磁［J］.浙江師范大學學報：自然科學版，2010，33（3）：286－290.

［9］ 牛艷霞，李二強，張金良.利用（G′／G）-展開法求解2＋1維破裂孤子方程組［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2008，29（5）：73－76.

［10］ 施業瓊.應用（G′／G）-展開法求解高階非線性薛定諤方程［J］.廣西工學院學報，2009，20（3）：45－49.

［11］ 張國棟，秦清鋒.齊次平衡法在微分方程中的應用［J］.中國新技術新產品，2010（21）：243－244.

［12］ 李保安，李靈曉.（G′／G，1／G）-展開法在求解非線性演化方程中的應用［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2015，36（3）：90－95.

［13］ 施業瓊.（2＋1）維Davey-StewartsonⅡ方程的精確解［J］.廣西科技大學學報，2015，26（1）：96－102.

［14］ 趙燁，徐茜.一類耦合Benjamin-Bona-Mahony型方程組的新精確解［J］.純粹數學與應用數學，2015，31（1）：12－17.

［15］ 孔淑霞.應用（G′／G）展開法求非線性弦振動方程的精確解［J］.高師理科學刊，2014，34（3）：10－12.

［16］ 李保安，李靈曉.簡化變形Ostrovsky方程的精確解［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2014，35（2）：82－85.

［17］ 李向正.Sawada-Kotera方程的兩類尖孤立波解［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2014，35（2）：78－81.

［18］ 張輝群.齊次平衡方法的擴展及應用［J］.數學物理學報，2001，21（3）：321－325.

［19］ 劉式適，傅遵濤，劉式達，等.Jacobi橢圓函數展開法及其在求解非線性波動方程中的應用［J］.物理學報，2001，50（11）：2068－2073.

［20］ Liu H Z，Li J B，Liu L，et al.Group Classifications，Optimal Systems and Exact Solutions to the Generalized Thomas Equations［J］.Journal of Mathematical Analysis and App lications，2011，383（2）：400－408.

O175.2

A

1672－6871（2015）05－0092－05

國家自然科學基金項目（11171041）

魏帥帥（1991－），男，山東濟寧人，碩士生；劉漢澤（1962－），男，山東濱州人，教授，博士，碩士生導師，研究方向為微分方程理論與應用.

2015－03－25