三角函數及解三角形在高考中的地位和應對策略

江建忠

【摘要】《考試說明》中提到解數學問題常用的數學思想方法，應在夯實“雙基”的同時，認識各種思想或方法的適應性，抽象概括出解決問題的有效地數學思想與方法，這樣，可以提高解決問題的能力。運算求解能力是思維能力和運算技能的結合，是中學數學中要求培養的重要能力。對應用意識的考查主要采用解決應用問題的形式，要求學生能理解對問題陳述的材料，并對所提供的消息資料進行歸納、整理和分析，將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型；應用相關的數學方法解決問題，并加以驗證；能用數學語言正確地表述和說明。

【關鍵詞】三角函數 解三角形 高考地位 應對策略

1、近三年福建省、新課標全國卷、新課標全國卷I的考情

年份

考題

考點 文理科 2014 2013 2012

三角函數圖象與性質、誘導公式、同角三角函數基本關系 理科 福建第16題

新課標全國卷I第6題 福建第20題 新課標全國卷

第9題

文科 福建第7、18題

新課標全國卷I第2題 福建第9題

新課標全國卷I第9題 福建第8題

新課標全國卷

第9題

和差公式、倍角公式、三角恒等變換及其綜合應用 理科 新課標全國卷I第8題 新課標全國卷I第15題 福建第17題

文科 新課標全國卷

第6、16題 福建第20題

正、余弦定理及面積公式的應用 理科 福建第12題

新課標全國卷I第16題 新課標全國卷

第17題

文科 福建第14題 新課標全國卷I第10題 福建第13題

新課標全國卷

第17題

正、余弦定理的綜合應用 理科 福建第13題

新課標全國卷I第17題

文科 新課標全國卷I第16題

2、《考試大綱》要求：

三角函數：（1）任意角的概念、弧度制：①了解任意角的概念，②了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化；（2）三角函數：①理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，②能利用單位圓則的三角函數線推導出 的正弦、余弦、正切的誘導公式，能畫出 的圖象，了解三角函數的周期性，③理解正弦函數、余弦函數在區間 上的性質（如單調性、最大值和最小值以及與 軸的交點等），理解正切函數在區間 內的單調性，④理解同角三角函數的基本關系式： ，⑤了解函數 的物理意義，能畫出 的圖象，了解 對函數圖象變化的影響，⑥了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型，會用三角函數解決一些簡單實際問題。

三角恒等變換：（1）和與差的三角函數公式：①會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式，②能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式，③能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系，（2）簡單的三角恒等變換：能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出半角公式）。

解三角形：（1）正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；（2）應用：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。

3、命題分析：

綜合近3年的福建省、新課標全國卷、新課標全國卷I高考試題，發現高考命題在本專題呈現以下規律：

（1）從考題題型來看：一般一道選擇題或填空題，再加一道解答題；從考查分值來看，大約17分左右。

（2）從考查知識來看：主要考查三角函數的定義、圖象與性質，同角三角函數的基本關系、誘導公式、和差角公式、倍角公式、輔助角公式以及正余弦定理，突出對轉化與化歸思想、數形結合思想、數學建模思想以及應用能力的考查。

（3）從命題思路上主要有：①利用三角恒等變換化簡與求值；②函數 的圖象與性質及圖象變換的考查；③三角函數的圖象、性質及三角恒等變換與平面向量的交匯考查；④正、余弦定理的考查；⑤正、余弦定理與應用問題，向量及圖象與性質的交匯考查。

（4）縱觀近3年福建省、新課標全國卷、新課標全國卷I高考試題，可以看出，在2015年三角函數及解三角形問題考查的重點仍然可能是三角函數 的圖象與性質的確定與應用，以及正、余弦定理的應用問題，試題的難度大多屬于基礎題與中檔題。

4、命題規律：

本專題常以三角函數的定義、同角三角函數的基本關系式及誘導公式、和差角二倍角公式為基礎考查三角函數的值域、最值、單調性、周期性等問題，而解三角形則以正弦定理、余弦定理為依托考查三角形度量問題。

5、應對策略：

根據近3年福建省、新課標全國卷、新課標全國卷I的高考命題特點和規律，在復習本專題時，要注意以下幾個方面：

（1）從三角函數定義出發，利用同角三角函數關系式、誘導公式進行簡單的三角函數的化簡、求值，結合三角函數的圖象，準確掌握三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值等三角函數的性質，并能正確地描述三角函數圖象的變換。

（2）以兩角差的余弦公式為基礎，掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式以及它們的正用、逆用、變形應用，并能正確應用這些公式進行化簡、求證與證明。

（3）從余弦定理、正弦定理的公式出發，結合三角形的面積公式，靈活地求解三角形中的邊角問題以及三角形中邊角互化、判定三角形的形狀等問題，同時注意在實際應用問題中正、余弦定理的應用，注意求解三角形問題時，三角形則隱含條件。

（4）以向量為載體，運用向量的坐標運算及數量積，結合三角形公式靈活地求解三角函數的圖象與性質。

（5）重視數學思想方法的應用：①轉化與化歸思想：在三角函數式的化簡求值的三角恒等變換，及利用正、余弦定理進行邊角轉化的過程中，轉化與化歸思想的應用比較廣泛，因此在復習過程中要強化該思想方法的應用意識。②數形結合思想：在研究三角函數的最值（值域）及簡單的三角函數零點問題，方程或不等式問題時，要強化數形結合思想的應用。