次指數分布下復合Poisson風險過程破產概率的漸近公式

趙麗霞

（山西大學商務學院，山西 太原 030031）

0 引 言

風險模型是精算學研究的一個熱門話題，國內外眾多學者對風險模型中的破產概率問題進行了探討，得出了破產概率的顯式通解或漸近分布［1－8］。文中考慮了帶有常數保險費率、常數利息力的復合Poisson風險模型，在次指數分布下推導出了破產概率的漸近公式。

1 模型描述

給定概率空間（Ω，F，P），假定理賠次數過程｛N（t），t≥0｝服從強度參數為λ的Possion過程，其中，N（t）為時間間隔［0，t］中的索賠次數；｛Yj，j≥1｝為獨立同分布的理賠額隨機變量序列，其中Yj表示第j次理賠額，其分布函數為F，滿足進一步假 定｛N（t），t≥0｝與｛Yj，j≥1｝相互獨立。

記

文中假定H為次指數分布，在此基礎上研究風險模型的破產概率問題。

總理賠額過程｛X（t），t≥0｝定義為

考慮經典風險模型

式中：｛Uγ（t），t≥0｝——保險公司的風險準備金；

P——常數保險費率；

γ——常數利息力。

在以上假定條件下，由文獻［1］可知，風險準備金｛Uγ（t），t≥0｝滿足方程

其中v＝Uγ（0）≥0為保險公司的初始盈余。定義，稱為該盈余過程的終極破產概率。

為研究方便，文中給定以下變量記號：

記ρ＝λμ：單位時間內的期望理賠額數量；

φγ（v）＝1－Ψγ（v）：生存概率；

Gγ（v）＝1－Ψγ（v）／Ψγ（0）：輔助分布函數；

2 輔助關系

假設安全載負ρ＜c成立，由文獻［1］可知

其中，Hn＊為Stieltjes卷積，

文中將利用Gγ（v）討論保險公司的破產概率問題。

由Beekman卷積公式，破產概率Ψ0（v）可表示為

由式（1）和式（2）可得

即

由Laplace－Stieltjes轉換，并結合式（2）得

3 主要結論及證明

我們將要在H為次指數分布的假定條件下，通過估計eγ（v）的上、下界進而得到eγ（v）的漸近公式。

定理1 若ρ＜p，則

證明：顯然eγ（v）≥v（1－Gγ（v）），將其代入式（4），得

又

得

定理2 對于次指數分布H及ρ＜p，有

證明：由于

又

則

定理3 若H為次指數分布，則

證明：

情形1：ρ＜p。

由定理2可知，

情形2：ρ≥p。

由破產概率的表達式可知，若p≤p′，則Ψγ（v，p）≥Ψγ（v，p′）。若ρ＜p′，則由情形1可知，，并且對于任意的且，有

另v′滿足ρ＜p＋γv′，則由情形1可知

因此，Ψγ（v）上、下界表達式相同，則

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