一類神經元耦合系統的同步行為

霍玉洪

（淮南師范學院 金融學院，安徽 淮南 232038）

0 引 言

從20世紀60年代開始，非線性科學得到了蓬勃發展。在非線性動力學發展的同時，關于同步的概念和理論也得到進一步發展。1673年，Huygens研究懸掛在同一橫梁上的兩個弱耦合的擺鐘，發現相同步的現象。從而最早提出了同步的概念，此后，對于同步的研究主要以耦合周期系統為研究對象。直到1990年，Pecora和Carrol論證了兩個耦合的混沌系統能夠達到同步，引發了研究混沌同步的熱潮［1－2］。對于耦合的混沌系統，研究者已經發現各種類型的同步狀態，諸如完全 同 步（complete synchronization）、相 位 同 步（phase synchronization）、滯后同步（lag synchronization）、期 望 同 步（anticipating synchronization）、射影同步（projective synchronization）、廣義同步（generalized synchronization）、陣發性滯后同步（intermittent lag synchronization）、弱相同步（imperfect phase synchronization）和幾乎完全同步（almost complete synchronization）等。因此，關于同步的研究已經從周期振子的鎖相同步擴展到了混沌系統的同步，從兩個或者三個耦合系統的同步擴展到了復雜網絡系統的同步［3－6］。

眾所周知，構成生物神經系統的基本結構單元是神經元，其放電活動涉及其復雜的物理化學過程，表現出復雜的非線性動力學行為。而生物神經系統是由數目眾多的神經元所構成，單個細胞對信息的反應則是通過細胞的集群共同完成的，而不是僅僅單個細胞的功能。所以，對于耦合神經元系統的同步研究提出了許多新的非線性動力學問題，病態的同步往往會導致某種生理疾病的發生，例如帕金森癥、手的顫動和癲癇病等。利用新興的非線性動力學的概念和方法，找到消除這些病態的同步方法和措施具有非常重大的意義。

近年來，關于耦合神經元系統的同步研究備受國內外學者的關注。許多研究者用非線性動力學的方法對鈣離子進行研究，通過鈣離子振蕩行為和同步現象來揭示生物細胞系統的復雜動力行為，從而深入了解生物細胞系統產生的生理根源和機制。

在國外，Azhenov M［7］等研究了Hindmash－Rose系統的鏈式連接的耦合的神經元的群體行為。隨著耦合強度的不斷加大，耦合系統的神經元的規則化也隨之提高。Belykh［6］等研究了Hindmash－Rose系統的耦合強度的變化和網絡拓撲的不同對同步狀態的影響。Mainieri［8］等研究了Hindmash－Rose系統的方格子耦合神經元群體的共振結構隨時間的變化過程。在國內，石霞［9］等研究了Hindmash－Rose系統在環式結構下的電耦合的完全同步模式。在同步流形處對系統進行線性化，利用微分方程的穩定性理論和Lyapunov方法，得到了同步穩定性的一個判定條件。王青云［10－11］等研究了具有對稱結構的耦合神經元系統的同步行為，并且利用動力系統的漸近穩定理論和矩陣理論，得到了對稱耦合神經元系統同步的一個充分條件，而且給出了不同連接方式下，對稱連接的電耦合神經元同步的臨界值的理論結果。

文中針對由Borghans［12］等提出的一類生物神經元系統模型，推導了4個完全相同的神經元在鏈式耦合連接方式下達到完全同步的耦合強度的理論值，通過數值模擬驗證了結論的正確性，給出了時序圖、相圖，同步差隨著耦合強度的變化圖，給出的完全同步的狀態，針對現實中很多神經元是不會完全相同的，同等連接方式下，通過參數的變化選取4個不同的神經元進行了對比分析。

1 模型介紹

文中主要研究描述由Borghans等提出的鈣振蕩模型［11］，對于單個神經元，動力學方程可以用下面的數學模型來描述：

式中：Cacyt——細胞液中的自由鈣離子濃度；

Caer——胞液中的內質網中的自由鈣離子濃度；

IP3——胞液中的三磷酸肌醇濃度。

以上的各項滿足如下關系等式：

對于單個神經元來說，模型中的參數取值分別為：kleak＝19.5μm／s；kpump＝6.5μm／s；kin1＝1.0μm／s；kin2＝2.0μm／s；kp＝2.5μm／s；kd＝80μm／s；kf＝1.0s－1；kout＝10s－1；K2＝0.1μm；Ka＝0.4μm；Ky＝0.2μm；Kz＝0.3μm；Kp＝1.0μm；Kd＝0.4μm；ε＝0.1；r＝0.798 1～1.196。

2 完全同步的充分條件的判定

在鏈式連接方式下，參照文獻［9－10］中的相應結論，對于系統（1），選定參數r＝0.99，則連接矩陣

則Achain的所有的特征值為

在同步流形處，選取參數r＝0.99，線性化系統（1），同時用Matlab計算得：Cacyt＝0.306 0；Caer＝1.730 9；IP3＝0.368 3。

相應的Jacobi矩陣記為DF（s（t）），代入具體的數值得

令

A（s（t））＝DF（s（t））＋DF（s（t））T

B（s（t））取A（s（t））的二階主子式，則

根據文獻［10］中的結論，得到在鏈式連接方式下，4個耦合神經元的達到同步的耦合強度為

3 數值仿真結果

根據上述理論分析，對于系統（1），在鏈式連接方式下，選定4個神經元。對于全同神經元的情形，選取參數r＝0.99；對于非同的神經元，選取參數r1＝0.85，r2＝0.99，r3＝1.0，r4＝1.13。當耦合強度g不同值時，4個鏈式連接的耦合生物細胞的時序圖的變化如圖1～圖5所示。

圖1 當g＝0.000 1時的空間歷程圖

圖2 當g＝4.0時（cell2，cell3，cell4）的3－D空間相圖

圖3 神經元max｜Cacyt1－Cacyt3｜隨著耦合強度的變化圖

圖4 神經元的相位差max‖e‖隨著耦合強度的變化圖

圖5 不同g值的完全同步相圖

圖1 中峰同步現象出現，隨著耦合強度g的增加，可見圖3和圖4。當耦合強度g＝4.5時，相同的cell1和cell3達到了完全同步，同時4個全同的鏈式耦合細胞的相位差‖e‖的最大值趨于零，這說明耦合生物系統（1）達到完全同步時耦合強度的臨界值為4.5，鏈式耦合的4個細胞此時達到完全同步。但是，對于非同的細胞，耦合強度的不斷增加，只能達到近似完全同步的狀態。從圖2和圖5中可以看出，（cell2，cell3，cell4）的空間相圖隨著耦合強度的不斷增加，當耦合強度g增加到4.5時，全同的神經元達到了完全同步狀態，而對于非同神經元，達到完全同步是非常困難的。

4 結 語

在耦合生物細胞中，同步行為承擔著信息傳遞和編碼的重要作用，研究耦合細胞的不同鏈接方式和耦合強度對同步的影響具有重要的意義。文中對于選定的模型系統（1），以4個全同的神經元為例，利用穩定性理論和矩陣理論計算出達到完全同步所需的耦合強度的最小值為17.512 4，為判定完全同步的現象提供了理論參考。但是在數值仿真中可以看到，完全同步所需耦合強度的最小值為4.5，這主要是由于判定的條件是充分的、粗糙的。但是計算的結果能夠為完全同步提供一個可供參考的閾值。文中還對非全同的神經元進行了對比分析，鏈式耦合的非全同神經元所需的耦合強度的臨界值要遠遠大于全同神經元所需要的，數值仿真部分很好地驗證了上面的結論。所以，對于不同的拓撲結構、時滯和隨機連接對同步的影響是進一步研究的方向。

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