具有兩個邊界層的奇異攝動轉向點問題的數值方法

耿發展

（常熟理工學院 數學與統計學院，江蘇 常熟 215500）

奇異攝動問題在流體動力學、海洋大氣層環流、化學反應、最優化控制等領域有著廣泛的應用，因此，該問題引起了廣大研究人員的興趣.奇異攝動問題的解具有邊界層的特性，經典的數值方法難以獲得該類問題的精度較高的近似解.具有轉向點的奇異攝動問題數值求解難度更大，尋求這類問題的有效數值方法更具挑戰性.文獻[1-4]討論了這類問題的數值方法，本文基于再生核空間理論，提出求解具有兩個邊界層的奇異攝動轉向點問題的有效數值方法.

1 數值方法

考慮下面的奇異攝動轉向點問題：

其中函數a(x)，b(x)和 f(x)是在-1＜x＜1內充分光滑.

依據a(x)的取值，方程（1.1）的解表現出邊界層或內部層的特性.系數a(x)=0時點稱為轉向點.與非轉向點問題相比，具有邊界層或內部層的轉向點問題處理起來往往更加棘手.這里，我們主要考慮如何解決具有邊界層的奇異攝動轉向點問題的情況.

假設：

在此假設下，問題（1.1）具有兩個邊界層.

1.1 問題（1.1）的轉化

引入變量變換 x=h(s)=sin(π sin(π sin(πs/2)/2)/2)，

問題（1.1）轉化成了下面的新的邊值問題

問題（1.3）的解不再具有邊界層特性，處理起來比（1.1）容易得多，一旦得到（1.3）的解，（1.1）的解即可得到，下面我們將用再生核方法求解（1.3）.

1.2 求解問題（1.3）的再生核方法

為了解決上述問題，引入一個未知函數

其中 ?(s)=γ0+γ1s，滿足 ?(-1)=α，?(1)=γ.

定義 Lv(s)= εv″(s)+p(s)v′(s)+q(s)v(s)，問題（1.3）轉化為

其中 F(s)=g(s)-L?(s).

為了求解問題（1.5），我們構造下面的再生核空間W4[-1,1].

定義1.1 W4[-1,1]={u(x)|u?(x)是絕對連續函數，且u(4)(x)∈L2[-1,1],u(-1)=0, }u(1)=0，W4[-1,1]的內積和范數分別表示為

和

定理1.1 W4[-1,1]為再生核空間，它的再生核表示為

定理1.1的證明及再生核的求解方法參見文獻[3，5].

不難證明，L:W4[-1,1]→W1[-1,1]為有界線性算子，從而其共軛算子 L*存在.記 φi(s)=kˉ(s,si)和ψi(s)=L*φi(s)，對實施施密特正交化，即得

定理1.2 對于問題（1.5），如果在區間[-1,1]內是稠密的，那么為空間W4[-1,1]的完全系.

定理的證明過程見文獻[6-7].

定理1.3 如果在區間[-1,1]內稠密，那么問題（1.5）的解可表示為

證明根據定理1.2，很顯然有：是再生核空間W4[-1,1]的完全正交基.

進一步，我們可以得到

命題得證.

對級數表示（1.6）進行N項截斷，便可得問題（1.5）的近似解.

定理1.4 問題（1.5）的近似解yN(x)及其導數y′N(s)一致收斂.

證明由于W4[lε,rε]是一個希爾伯特空間，顯然有

由于

從而可得

命題得證.

由（1.4）及變量變換 x=h(s)，可得（1.1）的近似解 uN(s)=vN(h-1(x)),其中 vN(s)=yN(s)+?(s).

2 數值算例

考慮下面的奇異攝動問題

f(x)已知且保證問題的精確解是u(x)=e-2x(2x-1)/ε.使用本文提出的方法，取ε=2-8,2-12.本例所有的計算通過Mathemati?ca7.0完 成 ，所得的數值結果見圖1，圖2.

圖1 ε=2-8時的絕對誤差

圖2 ε=2-12時的絕對誤差

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