“教、學、評一致性”教學實踐探索
——以“拋物線中的距離最值問題”教學為例

☉河南省鄭州市第五中學 劉 進 李玉國

“教、學、評一致性”教學實踐探索
——以“拋物線中的距離最值問題”教學為例

☉河南省鄭州市第五中學 劉 進 李玉國

一、教材內容分析

“拋物線中的距離最值問題”是普通高級中學課程標準實驗教科書（選修2-1）第二章《圓錐曲線與方程》中的內容，此部分內容綜合性較強，也是高考的重點和熱點.本課重點是借助對常見的距離問題的研究提煉出解決此類問題的思想方法和基本策略，并能進行簡單的應用.解決拋物線的距離最值問題，不僅要用到拋物線的定義、方程、幾何性質，還常用到函數、方程、不等式等重要知識，聯系性廣，策略性要求高.其基本思想是函數思想和數形結合思想，基本策略主要是從代數和幾何兩個角度分析.由于拋物線是幾何圖形，所以借助幾何性質，利用幾何直觀來分析是優先選擇，但幾何直觀不能細致入微，往往需要借助代數工具來實現突破.

二、學習目標設置

1.課程標準描述

（1）能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題；

（2）通過圓錐曲線的學習，進一步體會數形結合思想.

2.課標分解路徑

從知識分類、認知水平、學科內涵三個維度對課標分解如下：

3.學習目標

（1）通過小組合作，運用拋物線的定義解決拋物線中與焦點或準線有關的距離問題，概括出定義法及其適用范圍，并能獨立解釋；

（2）結合實例，在教師引導下，運用函數法及切線法解決拋物線中距離的最小值問題，總結出函數法、切線法及其適用范圍，并能獨立解釋；

（3）能根據題意選擇恰當的方法解決拋物線中的最值問題，并能解決與課本例題同等難度的題目；

（4）體驗數學中的數形結合、轉化與化歸及函數與方程思想在拋物線最值問題中的應用.

三、學情分析

學生雖然已經對橢圓、雙曲線中的距離問題有了一定的了解和認識，但不少學生知識的聯系性和系統性較弱，難以把散亂的知識融合在一起解決問題，加上運算能力、數形結合能力及轉化能力都還不強，同時相對于橢圓和雙曲線來說，拋物線有其特殊性（定義和性質），因此在創設問題情境以后，應讓學生充分地思考、討論，并在老師的引導下，合作探究，得出結論，進而構建知識體系，形成基本技能，關注數學本質，體驗與感悟問題解決的策略.

四、評價設計

評價任務1：小組討論例1及變式1、2，解釋它們的解答過程并歸納題型與方法.針對目標（1）.

評價任務2：（1）結合例2，學生獨立思考后講解，并歸納題型與方法；（2）教師引導，共同探索例3的解法.針對目標（2）.

評價任務3：（1）類比橢圓中的最值問題，學生思考并概括例1、例2的解題策略——定義法、切線法及函數法；（2）兩位同學同時板演例2的兩種解法；（3）對于例3及其變式，教師引導，學生思考、討論，共同探索解題思路.針對目標（3）（4）.

五、教學過程實錄

（一）知識鏈接

師：圓錐曲線中的最值問題是高中數學中很常見的一類題型，我們在學習直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關系時，已經接觸到一些相關的問題，今天我們繼續研究拋物線中距離的最值問題，（板書課題）首先我們回顧幾個問題.

問題1：在平面解析幾何中，三個距離公式應用十分普遍，即：

（1）設P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則P1、P2兩點之間的距離為____________；

（2）設點P（x0，y0），直線l的方程為Ax+By+C=0，則點P到直線l的距離為__________；

（3）設直線l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，則兩平行直線l1、l2之間的距離為__________.

問題2：如何表示與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程？與直線y=kx+b平行的直線系方程呢？

生2：與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程可表示為Ax+By+m=0，與直線y=kx+b平行的直線系方程可表示為y=kx+n.

問題3：最值（或取值范圍）問題是高中數學中經常要探究的問題之一，那么遇到這類問題你會聯想到哪些知識點或數學方法？請寫出來.

生3：基本不等式、線性規劃.

生4：求函數值域的幾種常用方法、三角換元、數形結合等.

生5：上節課所講的橢圓上的點到定直線的距離最值問題.

設計意圖：復習該部分知識以及最值問題的幾種常見求法，能為本節課的學習做好鋪墊，更能幫助學生梳理知識脈絡，理清知識的前后聯系.

（二）典例分析

師：我們來看學案中的例1.

例1點F為拋物線C：y2=4x的焦點，點P為拋物線上一點，設點Q（2，1），求點P到點Q與到點F的距離之和的最小值，并求出此時點P的坐標.

學生思考1分鐘，小組交流1分鐘，小組選出代表講解例1的解題過程和解題依據.

生6：作出拋物線的準線l：x=-1，過P向準線作垂線，垂足為H，則|PF|=|PH|，則|PF|+|PQ|=|PH|+|PQ|.過Q向l作垂線，垂足為M，交拋物線于點P′，過P作PN⊥QM于點N，易證|PH|=|NM|，|PQ|≥|QN|，則|PF|+|PQ|=|PH|+|PQ|≥ |QM|=3，等號成立時

師：歸納一下你的解題過程中有哪幾個關鍵的步驟.

生7：第一，利用拋物線的定義得到|PF|+|PQ|=|PH|+ |PQ|；第二，當Q、P及垂足M三點共線時，距離之和最小.

師：給大家1分鐘時間思考變式1.

變式1：設點（2，3），求點P到點M與到拋物線的準線的距離之和的最小值.

師：點M在拋物線內部還是外部？如何判斷？（放慢語速，啟發學生思考）有策略的同學請舉手，（1/3的同學舉手示意）小組內部交流1分鐘的時間，然后小組代表展示.

生7：作PH⊥l于點H，連接PF，則|PF|=|PH|，則|PH|+ |PM|=|PF|+|PM|，連接MF交拋物線于點P′，則|PH|+|PM|=

師：解決此題的關鍵點在哪里？

生8：第一，利用拋物線的定義把到準線的距離轉化為到焦點的距離；第二，利用三角形兩邊之和大于第三邊找到距離之和的最小值.

師：給大家1分鐘時間思考變式2.

變式2：求點P到拋物線的準線與到直線l1：y=x+4的距離之和的最小值.

師：有思路的同學請舉手，（1/2的同學舉手示意）小組代表上臺講解.

生9：過點F向直線l1作垂線，垂足為H，則|FH|即為所求的最小距離.

師：結合以上三個問題，你能總結出這類問題的解題策略嗎？體現了怎樣的數學思想？

生10：與拋物線的焦點或準線有關的距離最值問題，不要直接列式計算，否則，恰恰中了命題人設計的“圈套”，首先要聯想拋物線的定義進行轉化，這樣問題將變得十分簡單，體現了數形結合及化歸與轉化思想.

師：我們把這種方法叫做定義轉化法.（板書）

設計意圖：（1）與拋物線的焦點或準線有關的距離最值問題是高中數學中很常見的一類問題，如果利用直接法將很難計算，利用定義事半功倍；達成目標（1）（3）（4）；（2）進一步體會圓錐曲線中定義的特殊作用，滲透數形結合與化歸轉化思想，重視數學概念的理解與應用.

師：同學們接著看學案中的例2，1分鐘的思考時間.

例2點P為拋物線C：y2=4x上任意一點，求點P到直線l：y=x+4的距離的最小值.

師：有思路的同學，請舉手示意.（1/3的同學舉手）

生11：可以平移直線l，當直線與拋物線相切時，切點到直線l的距離最小，這時兩平行線間的距離即為所求.（不妨礙設為方法1）

生12：還可以設點P（x，y），則點P到直線l的距離d=（不妨設為方法2）

師：請這兩位同學同時板演計算過程.

師：方法1中，設切線方程為y=x+b，直線和拋物線相切時，Δ=0，計算出的b為什么只有一個？當直線方程和拋物線方程發生改變時，b能否求出有兩個？

生13：結合圖形，不可能有兩個.

師：在方法2中，點P的坐標的設法有幾種？化為二次函數，函數的定義域是什么？你是怎么脫去絕對值符號的？由于拋物線上所有點都在直線的同側，利用線性規劃的有關知識，你能否一開始就脫去絕對值符號呢？這個問題由數學興趣小組的同學課后帶領大家解決.兩種方法各自體現了什么樣的解題策略？

生14：在橢圓、雙曲線、拋物線中都曾遇到過類似的問題，若求圓錐曲線上一動點到一定直線的最短距離，我們有兩種方法，方法1為幾何法，即先計算切線方程，再計算兩平行線間的距離；方法2為代數法，先設點P的坐標，構造距離的函數表達式，進而計算函數的最值.

師：我們把這兩種方法分別叫做切線法和函數法.（板書）請看學案中的例3，1分鐘的時間思考.

例3點P在拋物線y2=x上，定點A（3，0），求|PA|的最小值.

師：哪位同學愿意與大家分享你的做法？

生15：可以先設點P（y2，y），利用兩點之間的距離公式構造關于y的函數表達式，再計算最值.

師：很好，其實點A好比是一個信號發射器，當信號發出后，最先到達的點即為所要找的點P，我們可以以點A為圓心，作出許多的同心圓，隨著圓的半徑不斷增大，圓與拋物線會出現相切的情形，設此時圓的方程為（x-3）2+y2=r2.

師：請大家接著思考下面很具挑戰性的一個變式.1分鐘的時間思考，1分鐘的時間小組交流.

變式：點P在拋物線y2=x上，點Q為圓（x-3）2+y2=1上一動點，求|PQ|的最小值.

師：若點P為某直線上的一動點，點Q為某圓周上一動點，直線與圓無交點，何時|PQ|最小？如何計算？

生16：直接過圓心向直線作垂線，只要求出圓心到直線的最小距離，再減去半徑即得|PQ|的最小值.

設計意圖：（1）拋物線上一動點到一定點或一定直線的距離問題是高考常考查的題目，突出函數法及切線法的應用；（2）類比直線與橢圓中的距離最值問題，直線與圓中的距離最值問題，畫圖分析，概括出解決圓錐曲線中距離問題的一種解題方法——切線法，同時總結出函數法是解決各類最值問題最為普遍的方法.達成目標（2）（3）（4）.

（三）回顧小結

學生交流、總結.本節課主要學習了一類題型、三種方法.

一類題型：拋物線中距離的最值問題；三種方法：定義轉化法、切線法、函數法.

我們不僅要知道這三種方法，更要清楚使用這三種方法做題時的關鍵步驟在哪里.

設計意圖：（1）進一步深化對本節內容的理解；（2）總結題型、提煉方法，使知識結構更系統.

（四）作業布置

1.檢測題（必做題）

題1：已知定點M（3，2），F是拋物線y2=2x的焦點，在此拋物線上求一點P，使|PF|+|PM|取得最小值，并求點P的坐標.

題2：點F為拋物線C：y2=x的焦點，點P為拋物線上一點，設點M（2，2），求點P到點M與到y軸的距離之和的最小值.

題3：設P為拋物線y=x2上的一動點，求P點到直線l：3x-4y-6=0的距離的最小值.

2.拓展題（期中考試班級前30名者必做，其他同學選做）

題4：已知拋物線y2=4x，以拋物線上兩點A（4，4）、B（1，-2）的連線為底邊的△ABP，其頂點P在拋物線的弧AB上運動，求△ABP的最大面積及此時點P的坐標.

設計意圖：（1）與學習目標相對應；（2）這四道題與三道例題形成對應，課后便于檢測學生是否達成目標；（3）作業分層布置，能適合不同層次學生的學習需求；（4）拓展題綜合性較強，有利于激發優等生的學習欲望.

六、教學感悟

“教、學、評一致性”的課堂設計，是指在課堂設計中達成學習目標、教學活動和評價任務三者的一致性.當前課堂中的教學設計并非都能做到這三方面的一致性，因為沒有學習目標的系統思考，導致課堂教學中出現“虛目標”“泛目標”“去目標”等現象，教師教到哪里是哪里.因為沒有評價設計的先行，學生學到多少是多少，究竟想達到怎樣的學習結果、是否達到了預想的學習目標，并不清楚.這樣的課堂，效率自然低下，因此，我們必須走到目標導向下的“教、學、評一致性”的課堂設計中來，以學習目標為導向，設計評價任務與教學活動，確保課堂教學的有效性.

學習目標的設計直接決定著教學的方向和質量，我們需要在綜合分析中不斷進行修改與調整，從而設計出最精準的學習目標.筆者在設計學習目標時是從以下三方面進行分析的：（1）以課程標準為依據；（2）正確把握教材的地位與特點；（3）研究學生的學情.

明確了學習目標之后，學生究竟能否到達目的地、到達的程度如何，是必須要關注的，接下來進行評價任務的設計.在評價任務設計過程中，筆者考慮了以下幾個方面：（1）反復審視原定目標的合理性；（2）以學習目標為歸宿設計評價；（3）在評價設計中思考可能的教學設計.學習目標與評價是相互作用的，目標為評價提供了標尺，而評價又為目標的調整提供了依據，可以說，這是從目標到評價再到目標的過程.在這個過程中，目標和評價各自發揮其對于教學的導向和反饋功能，從而提高課堂效率.

教師只有充分展開教學過程，才有可能實現“教、學、評一致性”.

首先，教學展開是指向目標的.什么時候該展開，什么時候不該展開，都是由目標決定的.目標中要求學生達到怎樣的程度，教師的教學展開就應該達到怎樣的程度.例如：在本節課中，筆者為了實現本節課第一個目標，把這個環節的教學設計為學生討論，讓學生討論例1.在學生討論時，筆者巡視，發現大部分學生是設出點P的坐標，列出距離之和的函數表達式進行計算，經過教師引導和部分學生的展示，學生能結合拋物線的定義并觀察圖形的變化過程，借助數形結合進行求解，這還不夠，因為目標要求能解決拋物線中與焦點或準線有關的距離最值問題，還要讓學生思考并交流兩個變式的解題方法，融會貫通.筆者在學生交流之后，又請學生做進一步的歸納總結，最后教師再概括.在這個環節的教學中，筆者根據目標對教學進行了合理地、較為充分地展開，這樣就確保了目標的達成.

其次，教學的充分展開是依托評價的.教學過程就是評價的實施過程，教學展開是否達到了目標的要求，需要評價的檢測.還是上面的例子，筆者的評價是：（1）利用拋物線的定義，能解釋圖形的變化過程；（2）會合理論證三點共線時距離之和最小及能利用三角形兩邊之和大于第三邊證明距離之和最小；（3）能緊扣拋物線的定義，對題型與方法進行準確地歸納.這個評價任務可以檢測學生是否達到了目標要求的程度.這樣評價既保證了教學展開的程度，也保證了“教、學、評一致性”的實現.我們常說，教師要時刻把握好教學的“度”，而這個“度”由誰來掌控？筆者想應該是我們的目標，目標決定了教學展開到何種程度，而評價則保證了這一過程的實施.

筆者認為本節課學習目標是始終在場的，它落實于評價，通過教學得以實現；課堂評價是全程跟進的，它引領學習、整合教學；教學活動是充分展開的，它依托評價，指向目標.教、學、評三者之間是一致的.這種“教、學、評一致性”的上課方式讓教師知其所教，學生明其所學，確保了課堂的真正有效.