尋題“源”，為解題教學支招
——從江蘇2015年高考數學卷第19題說起

☉江蘇省海門中學 李乃洋

尋題“源”，為解題教學支招
——從江蘇2015年高考數學卷第19題說起

☉江蘇省海門中學 李乃洋

數學教學和高考試題的特點決定了解題是高三教學的主要活動，但數學解題往往會在高考后留下一種印象：高中學習數學題做的不少，很多高考題看起來也懂，為什么考試時卻做不下去呢？用最近流行的說法即是“題題有思路，路路都不通”.筆者以2015年江蘇高考試卷第19題為例，簡單敘述解題教學時，通過尋找題“源”，并在解題中反思研究試題的價值，進而提出幾個供大家參考的解題教學想法.

一、試題呈現

題目：已知函數f（x）=x3+ax2+b（a、b∈R）.

（Ⅰ）試討論f（x）的單調性；

（ⅠⅠ）若b=c-a（實數c是與a無關的常數），當函數f（x）有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪求c的值.

二、試題社會反響

高考后學生對整張試卷感慨較多的是：題題有思路，路路又不通，尤其是基礎相對薄弱的考生更為明顯，此題就是很好的代表.究竟試題為何讓學生有這樣的感覺，對我們的教學又有什么啟發，這是本文立意的起點.

三、試題評析

本題主要考查利用導數研究初等函數的單調性、極值及零點問題，同時考查綜合運用數學思想方法分析與解決問題的能力，第一問屬于中等題，第二問屬于難題.

第一問題源：導數與函數單調性的關系，蘇教版選修課本1-1以及2-1，結論是：設函數y=f（x），如果在某區間上f′（x）>0，那么f（x）為該區間上的增函數；如果f′（x）<0，那么f（x）為該區間上的減函數.簡單地說，求f（x）的單調性轉化為求解不等式f′（x）>0或f′（x）<0.

第一問解題設計如下所示.

（1）求導.f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a）.

（2）解不等式.令f′（x）>0，即x（3x+2a）>0，因為方程x（3x+2a）=0的兩根大小不確定，分類討論得：①當即a<0時②當即a=0時但f（x）在x=0處連續；③當即a<0時

（3）確定單調性.綜上所述，當a<0時，f（x）在區間上單調遞增，在區間單調遞減；當a=0時，f（x）在R上單調遞增；當a>0時，f（x）在區間和（0，+∞）上單調遞增，在區間上單調遞減.

第一問解題障礙：含參數（字母）問題需要分類討論，學生在復習過程中，對涉及解含參數一元二次不等式（函數與方程）的分類標準或依據不夠熟練，制約了本小題的得分.

第二問題源：（1）掌握零點的存在性判斷方法，在蘇教版必修1中零點存在性定理描述為：若函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點；（2）導數在研究函數中的應用：包括利用導數判斷單調性，求函數極值問題，進而可以方便我們利用函數性質作出函數的草圖.在蘇教版必修1課本3.3.2節中例題2及3.3.3節例題2中均涉及利用導數研究函數性質及圖像.

第二問解題設計如下所示.

（1）理解題意，數形結合，得出等價關系.由（Ⅰ）知f（x）的兩個極值為作出f（x）的草圖，如圖1，則要使函數f（x）有3個不同零點即

圖1

（2）合理轉化，準確計算.因為b=a-c，則由題意關于a的不等式的解集恰為又不等式可變形為c）>0，類比一元二次不等式與對應函數圖像的關系，令則g（a）的草圖如圖2所示，所以是對應方程g（a）=0的根，則c-1）=0②，g（-3）=0③.由①②③同時成立知c=1.

圖2

（3）回顧反思，檢驗作答.上述分析中我們利用了不等式解集與對應方程的根的關系，是一個必要條件，即不能保證問題的等價性，所以求得的值要回代以檢驗合理性（充分性）.檢驗：當c=1時，不等式為（1-a）·等價于（1-a）（a+3）（2a-3）2<0，所以a的取值范圍是，符合題意.

四、試題研究價值

1.把握命題方向——題“源”于課本，高于教材

江蘇高考數學試題近幾年命題不在題面上刻意為難考生，命題主要圍繞考試大綱，結合現用教材來挖掘試題素材，這使得命題更具原創特點以及貼近學生實際，學生在實際解題時對題目本身沒有太強陌生感，這可以理解為命題者選材源于課本，但難度要求實際高于教材的體現.所以要想在高考取得較好的教與學的效果，平時對課本的關注就是對高考題“源”的把握，而最基本的題源便是教材.所以教師在平時教學中要把教材中的概念和例題、作業作為可能的高考題“源”來認真研究，讓復習回歸數學教學的本真.

2.探究試題變遷——題千變萬化，法不離宗

對于2015年江蘇卷第19題，在平時的教學復習中我們有沒有遇到過類似的問題呢？我們不妨看以下兩道試題.

試題1：（2012年全國卷）已知函數y=x3-3x+c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則c的可能取值集合為__________.

問題1：若a=1，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；

問題2：若函數f（x）存在3個零點，求實數a的取值范圍.

（1）以少勝多，重在優化.

這兩題均以三次函數為背景，研究的方法具有相似性和普遍性，歷屆高三復習中都會遇到類似問題，而且不止一次，所以教學要達到學生會做這個目的，不僅在于多練，還要重視一題多用，以少勝多.如兩題均考查函數圖像與x軸的交點個數問題（即函數零點問題），在教學中首先思考試題的本源在哪兒，解決的方法有哪些，常規的方法是什么，通過比較又有什么收獲，改變問題是否可以命制新的問題，帶著一連串的思考，我們得到以下幾點感想.

①方法不在巧，重在得當.

對上述兩題，試題1首先可選用分離常數，化歸為函數y=c與函數y=-x3+3x有兩個交點的問題，運用數形結合的技巧解題.也可直接研究函數y=x3-3x+c的單調性與極值情況，再考慮f（x）有兩個零點的等價條件，從而可求c的值.對于試題2的問題2，方法的合理性是本題解題簡潔與成功的關鍵.我們可以設計如下解法.f′（x）=2x2-ax=由題意知函數f（x）的極值，所以得為所求范圍.如果這里再選用分離常數來求解，就給人以會而無法下手的感覺，所以只有平時扎實的訓練與對比反思才能為高考中合理解題提供幫助！

②變題不在繁，變在“點”上.

這里“點”指的是教材的重點，考綱的重點.如針對試題2可給出變題2-1：討論函數f（x）的單調性；變題2-2：求函數f（x）在區間［0，2］上的最值；變題2-3：判斷函數f（x）在區間（0，2）上是否有極小值，并說明理由.上述三個變題僅從導數的基本應用角度來出題，便可達到鞏固學生對基礎知識和方法的掌握訓練，體現有效時間落實到重點上，而不是盲目做題、刷題，忽略了高三復習的本來目的.

（2）逆向思考，意義非凡.

荷蘭數學教育家H．Freudenthal指出，反思是數學活動的核心和動力.數學解題是高中數學教學的一個最基礎、最普遍的數學活動，所以反思理所當然是教與學中重要的環節.反思會帶來很多收獲，尤其是研究試題的時候.如對于試題2，若逆向思考，即已知函數中實數探究函數f（x）的零點的個數，能否調整a的范圍改變此問題的結果呢？答案是肯定的.這樣類似的逆向思考，是變式教學的一種創新，對課堂上習慣了思維定式的學生的解題有著非凡的觸動！現在再來看2015年江蘇卷第19題，對此題若逆向思考可得這樣一題：已知函數f（x）=x3+ax2+1-a，當函數f（x）有三個不同零點時，求實數a的取值范圍.這便是平時復習中常規的已知函數零點求參數范圍問題，同學們只要結合導數與不等式知識很容易解決，但高考中倒過來設置問題就變得不同凡響，所以日常教師從命題的充分必要角度來研究試題變題教學還是很值得思考的.

3.尊重考綱導向——題有“邊界”，練有方向

江蘇自2004年開始自主命題，每年發布一次新高考考試大綱，對命題指導思想、考試內容及要求、考試形式及試卷結構都作出說明，這本身就是對歷年高考命題和復習的指導要求，也是提醒學生和教師在教學中不要過分依賴題海戰術，而要針對性訓練，這樣既能提高效率，也不違背教育的原有目標.所以為了適應考試要求，在緊張的高三復習教學中，教師和學生對于考綱中的內容還是要細致研讀，尤其是每年其中內容的變化之處.如2015年數學考綱中把“函數與方程”從原先的A級要求變為B級要求，體現考查力度的重視或方法的重要.如2015年江蘇數學卷的第19題第二問零點問題，事實上也可看為對函數與方程思想的一種間接考查.

筆者認為數學教學中要圍繞考試要求結合教材和大綱，立足有價值的例題和試題，借助合理的變形，引導學生去探究、對比、總結提煉和反思解題，并使其內化為學生的自覺行為，正如波利亞在《怎樣解題》一書中所說的“你能否一眼看出結論？你能否有別的方法導出這個結論？你能否把這個題目或這種方法用于解決其他的問題？”這告訴我們，解題需要尋找題“源”，并通過問題反思找到類似的解題方法進而實施解題.