承古萌新饒有別致
——2015年高考數學全國Ⅰ卷試題評價與備考建議

☉廣東省信宜市信宜中學 盧耀才

☉安徽省靈璧第一中學 鄭 良

承古萌新饒有別致
——2015年高考數學全國Ⅰ卷試題評價與備考建議

☉廣東省信宜市信宜中學 盧耀才

☉安徽省靈璧第一中學 鄭 良

綜觀今年新課程全國Ⅰ卷高考數學文理試卷，在試卷結構、題目數量、分值分布、主干知識等方面與往年基本一致.試卷難度適中、中規(guī)中矩、不偏不怪，立足于高中數學基礎知識，重點考查主干內容，在基礎知識和通性通法的考查上濃墨重彩.整份試卷全面深入地考查考生對高中數學基礎知識、基本技能和基本思想方法的理解和掌握，多角度、多層次、全方位地考查了考生的素養(yǎng)和能力，這比較切合新課程的教學實際，本文就2015年全國Ⅰ卷試題（以下簡稱全國Ⅰ卷試題）的試卷設計、試題特點、試題賞析進行分析，希望有助于高中數學教學及2016年的高考備考.

一、試題設計分析

2015年全國Ⅰ卷的結構既延續(xù)與往年大體的一致（即試題的數量和題型沒有發(fā)生變化，仍然以12道選擇題、4道填空題、5道解答題、3道選考題的形式出現，在結構上保持穩(wěn)定），又有適當的創(chuàng)新（題目在排列順序、難易程度上作了適當的調整），從而避免了“八股”備考的形式.從表1、表2來看，無論是文科還是理科，2015年解答題（主要版塊）的考查內容與2014年的相似度高，只是在題目的位置方面有少許的差異，這體現了考點不變、考法變化的思想，既符合考生的學情，也符合考試說明和大綱的要求，使考生以比較平和的心態(tài)迎接考試.

表1 2013～2015年理科解答題考查內容、順序和分值

表2 2013～2015年文科解答題考查內容、順序和分值

2015年新課程全國Ⅰ卷高考數學試題在重點考查基礎知識的前提下，對于數學知識體系中的主干知識，如函數與導數、解析幾何、立體幾何、概率與統(tǒng)計、三角函數、數列等重點知識在試卷中占主導地位.其中主干知識文科分值達到115分，理科分值也達到110分（詳見表3），這集中體現了重要內容重點考查，主干知識反復考查的原則.

表3 2015年文理科知識點分值分布表

二、試題特點分析

1.試題保持相對穩(wěn)定，承古萌新，饒有別致

全國Ⅰ卷數學文理試卷的結構、題型、題量及分值分布等都與往年保持相對穩(wěn)定，從宏觀和微觀上實現了“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度和價值觀”的有機整合，繼續(xù)承襲“規(guī)避特殊技巧、凸顯數學本質”的命題特點，從中也體現了“大穩(wěn)定、小創(chuàng)新”穩(wěn)健、成熟的命題設計理念.在保持相對穩(wěn)定的基礎上，今年的試題也饒有別致：（1）今年理科第7題其實就是2014年文科卷第6題的命題的延續(xù)，頗有“新瓶裝舊酒”的味道，而理科卷第17題與2014年理科卷第17題的命題手法如出一轍，題看似不同但“道”卻相同；（2）如文理第6題，通過《九章算術》中的經典問題，考查考生對圓錐的體積計算，回歸教材和中學教學實際，試題背景新穎但也體現了題目基礎與創(chuàng)新相結合；（3）再如理科第16題，以平面幾何圖形為載體，將正余弦定理和極限思想有機結合，背景和考查方式都較為新穎；（4）又如理科第19題，由傳統(tǒng)以頻率分布直方圖或莖葉圖等統(tǒng)計圖表為載體改為以散點圖為載體考查非線性擬合、回歸方程的計算及回歸分析，試題側重對公式運用、運算能力與實際應用的深度考查，是考查考生數學素養(yǎng)的極好素材.

2.注重主干知識，強調基本概念和本質

從表3可知全國Ⅰ卷考查內容相對穩(wěn)定，仍然遵循主干知識重點考查的原則，在內容、思想方法上的考查一脈相承，將考查主干知識體現得淋漓盡致，在考查主干知識的同時，注重對數學概念、數學知識本質的考查，如文科卷的第2、7、14、16題；理科卷的第2、4、7、10、13、14、15、16題等，這些題目雖然不難，但要求考生不但要會靈活地運用數學概念和知識，更要重視數學概念和知識的源頭；不但要知其然，更要知其所以然.

3.強化數學思想，加強數學思維能力的考查

全國卷歷來重視數學思想與方法的考查，今年也不例外.如考查數形結合思想的有理科卷第8、12、15、16、21題，文科卷第8、12、15、21題；函數與方程思想則體現在文理科第20題、第21題等題目中；轉化與化歸思想貫穿整份試卷，如理科第15題、文科第16題等；而分類討論思想則在文理第21題體現；同時在文理試題中，突出了對考生思維能力的考查，如理科卷第5題將圓錐曲線和向量及不等式有機結合，考查學生的綜合能力；又如理科卷第16題將正余弦定理和極限思想渾然天成，要求考生思維靈活，考查了考生歸納推理的能力，再如文理卷第19題考查考生的計算能力和應用意識.總之，無論是文科還是理科都注重了對考生數學思維能力的考查.

三、試題賞析

1.數列題——踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫

今年理科第17題為數列題，考查的內容很基礎，更為難得的是延續(xù)了2013年和2014年的命題風格和手法，今年的第一問，與2014年理科卷第17題第一問，考查的知識點和解題方法完全一致，而今年的第二問也與2013年新課標文科卷第17題第二問完全一致，這樣對考生來說就是“小菜一碟”了.

2.概率題——紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行

今年文理第19題一改往年的形式，以散點圖為載體考查考生的應用意識，題目雖不難，但是背景新穎，要選用所給的公式來運算，讓考生在心理上“懼怕”，但是只要考生弄清題意，細心運算，最終也可以“一舉拿下”.

3.解析幾何題——不識廬山真面目，只緣身在此山中

今年理科卷第20題，其實是一道背景簡潔，內涵豐富的題目，要探究y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？這一問入手容易，解法常規(guī)，只要認真推敲，發(fā)現P（0，-a）為直線y=kx+a上所過定點（0，a）關于原點的對稱點，經推理證明可得命題1：若點M（-a，0）（a＞0），過拋物線y2=2px（p＞0）對稱軸上點P（a，0）的直線與拋物線交于A、B兩點，則直線MA、MB與x軸所成的角相等；同樣該結論對于橢圓或雙曲線也成立，即命題2：若M（t，0）（t≠0）為橢圓或雙曲線內一點，直線AB過點且與橢圓或雙曲線1（a＞0，b＞0）交于不同的兩點A、B，則直線MA、MB與x軸所成的角相等（證明過程略）.其實只要知道這一性質定理，考生便能快速得到答案.

四、博觀而約取，厚積而薄發(fā)——對中學數學教學的建議

1.明確課程標準，研讀考綱說明，把控教學方向

《普通高中數學課程標準（實驗）》從課程性質、課程的基本理念、課程設計思路、課程目標、內容標準、實施建議等角度進行綜述，為廣大教師參與和推進高中數學課程改革提供了依據與保障.課程標準控制教學內容的最低要求，《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱》給出了高考對知識的具體要求，《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》是對考試大綱的具體解讀、細化、補充，是高考命題的直接依據.教材則是它們的知識載體.近年來高考總體穩(wěn)定，適度創(chuàng)新.因此，通過學習課程標準、考試大綱與考試說明，合理定位、準確把握教學方向，然后以教材為資源，以課堂為平臺，有效達成教學目標.

2.重視初高中數學教學的銜接，夯實基礎

數學是一個系統(tǒng)、整體，很多學生在初高中學習中出現“真空”，如十字相乘法、韋達定理等內容已不是初中教學的主要內容，在高中卻起到中流砥柱的作用，很多教師隨用隨補，學生沒有足夠的時間消化，導致內容夾生，以致喪失學習數學的信心.良好的開端是成功的一半，做好初高中數學教與學銜接尤為關鍵，如變換是數學的核心.理科第17題對變換的雛形早在小學階段就已出現，在高中“等差數列”處得到深化.少數學生出現解題困難的根源在于教師沒有從全局的視角、聯系的觀點去認識，采用“自說自話”的教學方式導致學生不能理解問題的本質.文科第21題第一問對范圍的限定需要學生的抽象概括能力，第二問“設而不求”、（根據目標）巧妙代換體現了思維的深刻性和方法的靈活性.因此，教師必須弄清學生的知識儲備情況、接受能力等，進行內容合理的銜接.

3.回歸教材，狠抓基礎，注重通性通法

通過分析今年試卷可知，很多試題都可以在教材中找到原型，如文理科第19題為用樣本估計總體的思想解決一些簡單問題，該內容源自必修3“相關性”、“最小二乘法估計”，以及選修2-3（1-2）“可線性化的回歸分析”.第一問呈現方式的開放性，對非線性的回歸模型的轉化增加風險，考查了學生的抽象思維能力.當前錯題、偏題、怪題、難題充斥在泛濫的教輔中，一線教師往往利用其大搞“題?！睉?zhàn)術，忽略回歸教材、忽視對通性通法的訓練.這種舍本逐末的做法導致教與學的高耗低效，教學時必須做到緊扣教材，落實基礎，在不清楚概念的基礎上落實技能，是數學教學不切實際的空想.所謂回歸教材，即對課本中的概念、定義、定理、法則、公式必須記熟、理解；對數學語言要準確表達與運用；重視公式的正用、逆用和活用，重視定理的推導，要理清知識發(fā)生的本原，還要注意從學科整體意義上建構知識網絡，形成完整的知識體系，掌握知識之間的內在聯系與規(guī)律.

4.加強數學語言的培養(yǎng)，實現規(guī)范語言的表達

數學是一門學科，更是一門語言，數學語言包括自然語言、符號語言、圖表語言.美國著名心理學家布龍菲爾德說：“數學不過是語言所能達到的最高境界”，前蘇聯數學教育家斯托利亞爾說：“數學教學也就是數學語言的教學”，因為不管學生將來從事任何職業(yè)，都需要用數學語言規(guī)范的表達.學生具體表現為詞不達意，語言不準確，語句冗長等，教師要對語言訓練做到有計劃、有步驟的實施，如教學中多進行示范，試卷、作業(yè)批改中多進行點評，加強數學筆記、日記等交流方式的完善和提高.這是一個長期的過程，不能一蹴而就，在教學中教師要嚴格要求，并且要堅持不懈才可以真正提高學生的數學素養(yǎng).

5.落實思想方法，提高運算能力

數學思想方法是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學生良好的數學觀念和創(chuàng)新思維的載體.一般說來，只有對數學思想方法的運用融會貫通，才能更好地提高學生的思維能力，我們要特別注意挖掘教材例習題中隱含的思想方法，引導學生去發(fā)現、感悟、理解、應用.如對理科卷第21題第二問進行解題分析時就應該讓學生理解為何先對x后對a分類討論，與直接對a分類討論等方法進行比較，只有學生明白這些，分類討論才會有條不紊，對它們的使用才可以達到融會貫通.新課標下的學生運算能力呈下降趨勢，經常出現“一看就會，一算就錯”的現象，成因很多，如教學內容較多，計算器的依賴等.常見表現：（1）概念不清楚，如對變量和常量的意義不清楚，用特殊代替一般.（2）變形能力不到位，解題囿于模式，不能理性分析，如理科第12題，學生容易受“恒成立”、“存在”類問題解題模式的影響，對ex0（2x0-1）＜a（x0-1），以x0與1的大小關系為標準分離參數a.通過審題發(fā)現f（0）=-1+a＜0，f（1）=e＞0，通過數形結合解題.（3）求簡意識不強烈.解題時，應該先化簡與轉化后再尋求計算甚至尋求不算，否則容易陷入計算的海洋.如理科第8題，通過y=Acos（ωx+ φ）（A＞0，ω＞0）的性質可知，無需確定其解析式，耗費時間大大減少、出錯機會大大降低.（4）知識不系統(tǒng)，不能透過現象看本質.如理科第10題，將x5y2視為“（x2+x+y）5的5個因式中，2個取因式中的x2，剩余的三個因式中一個取x，其余因式取y”的結果，用動態(tài)過程揭示問題本質，要比靜態(tài)解方程效益高得多.

因此提高運算能力的關鍵不僅僅是細心，更重要的是思考算理，判斷運算的方向，掌握一些運算的方法.而這些在復習的過程中必須讓學生親身去體驗、去思考.切不可包辦代替，務必讓學生想一想、做一做、算一算，比較不同的算法，最終提高他們運算的速度和準確性.

試題的穩(wěn)定有利于高中數學的教學，有利于高三復習備考，但應警惕命題的“八股化”而導致教學的“八股化”，在保證試題總體難度的情況下，可對試題結構、試題難度進行適當調整，來避免教學的“題型化”；教師研究高考，是為了更好地把握教學方向，提高教學效率，切忌“功利化”，取而代之為“大教育”的思想觀念，切實提高學生的綜合素養(yǎng).

1.林生，黃文毓，林潔純.常規(guī)中重基礎樸實間見真功——2014年高考數學廣東卷試題評價與建議［J］.中學數學（上），2014（8）.