從2015年廣東高考文數21題的解決挖掘其教育價值

☉廣東省東莞市東莞中學 龐進發

從2015年廣東高考文數21題的解決挖掘其教育價值

☉廣東省東莞市東莞中學 龐進發

一年一度的高考已結束，全國的高考試題成為教師們關注和研究的熱點.高考試題主要由高校的學科專家命制而成，深刻地體現了其選拔性，以及高校對中學教學的期望和學生知識能力的要求，并且給中學的教學及高三備考指明了方向.例如，2015年廣東高考數學試題，注重數學基礎知識、數學本質及數學核心素養的考查，意在中學數學教學要重視知識的形成過程、數學本質的理解，重視數學教材的示范作用，回到教材.而教師們對高考試題的研究，更多的是停留在數學知識的應用及數學問題的解決上，思考其教育價值的不多.本文筆者從2015年廣東高考文數21題（下文簡稱“試題”）的解決挖掘其教育價值.

試題：設a為實數，函數f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）.

（1）若f（0）≤1，求a的取值范圍；

（2）討論f（x）的單調性；

本題主要考查函數的單調性、零點等性質，以帶絕對值的二次函數為背景，考查了推理論證和運算求解能力，以及分類討論、數形結合等數學思想方法.本題看似容易，實際想拿到高分或滿分，必須對數學概念非常清晰，深刻領悟數學思想方法，需要考生具備很強的邏輯思維能力，以及良好的解題習慣.從廣東省文科考生的答卷情況看，本題很好地體現了其選拔性，同時在解決的過程中，也蘊含著深刻的教育價值.

一、強調對數學概念、本質的透徹理解

通常解決一個數學問題，首先需要結合問題情景聯想所學的數學知識，然后在數學知識與問題情景的理解中認知數學問題，進而進行合理的數學推理、運算，尋找問題的條件與結論之間的內在聯系或矛盾.因此深刻理解數學概念、本質，對于數學問題的解決尤為重要.“試題”考查了絕對值的概念及函數零點存在性定理的概念.從答卷的情況發現，文科考生是在初中學習了絕對值，并且要求不高，對絕對值的概念理解不透徹，在高中又沒有進一步學習，所以很多考生不能正確地去掉絕對值符號，以致解決“試題”第（1）問時沒有對a的正負進行討論，直接去掉絕對值進行運算.典型錯誤如：f（0）=（0-a）2+|0-a|-a（a-1）=a2+a-a2+a≤1，2a≤1，得.還有函數零點存在性定理，絕大部分文科考生在高一學習時都是在形的方面進行直觀的了解，缺乏對存在零點時函數值關系的深刻理解，導致在判斷零點的個數時，由一個最值點就得出零點個數的結論，而忽略了對單調區間另一個端點函數值正負的判斷.如解決“試題”第（3）問時，設證明得到F（x）在（0，a］上單調遞減，在［a，+∞）上單調遞增，得到F（x）的最小值為F（a），因為a> 2，所以F（a）=a2-2a2+a+所以在（0，+∞）內有兩個零點.錯誤原因在于沒有分別判斷在單調區間（0，a］和［a，+∞）中另一個端點函數值的正負號.正確的表述應該補充上F（1）=1-2a-1+這也啟發我們，在高一、高二的數學教學中，要注重數學概念知識的形成過程，深刻理解數學概念的本質，為數學問題的解決打下堅實的基礎.而避免高一、高二教學“高三”化，數學概念教學蜻蜓點水，做大量的題型練習.

二、體現多種數學思想方法

華南師范大學數學科學學院劉秀湘教授在2014年廣東高考數學評卷總結中提到：“在教學中，教師應該以問題為驅動，培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力；教師自身要有研究問題的意識，在教學中提出問題、分析問題和解決問題，特別是講清楚問題或者解題方法的來龍去脈及其規律，交給學生一把鑰匙——數學的思想，只有它才能真正帶領學生叩開數學的大門.”可見數學思想、方法作為數學學科的“一般原理”，在數學學習中是至關重要的．因此，在教學中要善于挖掘數學問題解決過程中所蘊含的數學思想方法，特別是一些經典的高考試題的解決.如“試題”第（3）問，不同的解決過程，就蘊含著多種數學思想方法.

1.由特殊到一般的數學思想方法

由特殊到一般的數學思想方法就是對于某個一般性的數學問題，如果一時難以解決，那么可以先解決它的特殊情況，即從研究對象的全體轉變為研究屬于這個全體中的一個對象或部分對象，然后再把解決特殊情況的方法、結論應用或者推廣到一般問題上，從而獲得一般性問題的解答.“試題”第（3）問是對于a≥2的情況下討論f（x）在區間（0，+∞）內的零點個數，可以先對于a= 2特殊的情形進行討論，由于函數去掉絕對值后是一個分段函數，因此分別在（0，2］和（2，+∞）兩個區間上討論其零點的個數.接著再對更一般的情形a>2進行討論，類比上述的研究方法，分別在（0，a］和（a，+∞）兩個區間上討論其零點的個數，從而得到問題的解答.

又因為F（2）=0，故有唯一零點x=2.

（Ⅱ）當a>2時，

①當0

②當x>a時，因為F′（x）=2x-（2a-1）-所以F（x）在［a，+∞）上為增函數.

2.數形結合的數學思想方法

數形結合即數形滲透，兩者相互推進，層層深入，這樣就能使復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，是中學數學中常見的解題思想和方法，經常應用在研究函數、解析幾何等問題中.“試題”第（3）問，也可以把內的零點個數問題等價于函數在 a|-a（a-1）與圖像在（0，+∞）內的交點個數問題，結合幾何圖形直觀快捷地得出答案.

圖1

因為f（x）在［a，+∞）上是增函數，在（-∞，a］上是減函數，所以當x=a時，f（x）取得最小值fmin（x）=f（a）=-a2+ a.

3.化歸與轉化的數學思想方法

化歸與轉化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的數學思想.化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際就是轉化的過程.“試題”第（3）問，把在（0，+∞）內零點個數問題轉化為xf（x）+4在（0，+∞）內零點個數問題，當x≥a時，g（x）=x3+（1-2a）x2+4有零點又等價于在［a，+∞）上有交點，通過分離參數，化歸為研究在［a，+∞）上的值域問題，更容易解答.

當x≥a時，g（x）=x3+（1-2a）x2+4有零點等價于在［a，+∞）上的交點個數.

因為x≥a≥2，所以h′（x）≥0恒成立，所以h（x）在［a，+∞）上單調遞增.

又a≥2，所以a-2≥0.

當0

Δ=4（1+2a）2-4×3×2a=4（4a2-2a+1）>0.

由g′（x）<0，解得x0

由g′（x）>0，解得0

所以g（x）在（0，x0］上遞增，在［x0，a）上遞減.

當a=2時，因為g（0）=4>0且g（2）=23+（1-2×2）×22+4= 0，所以g（x）=xf（x）+4在（0，2）內沒有零點.

當a>2時，因為g（0）=4>0且g（a）=a3+（1-2a）a2+4= -（a-2）（a2+a+2）<0，所以由根的存在性定理，g（x）=xf（x）+4在（0，a）內有且只有1個零點.

4.整體的數學思想方法

整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法．從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養學生思維的靈活性、敏捷性．“試題”第（3）問，首先從整體上研究F（x）的單調性，得出F（x）在（0，a）上單調遞減，在［a，+∞）上單調遞增，求出F（x）的最小值F（a），然后判斷F（a）的正負，結合函數圖像，依據零點存在性定理，得出結論.

解法4：f（x）=x2-2ax+|x-a|+a，設F（x）

當x≥a時，F（x）=x2-2ax+x則F′（x）=2x-2a+1-

當0

所以F（x）在（0，a）上單調遞減，在［a，+∞）上單調遞增.

所以Fmin（x）=F（a）=a2-2a2+a+0（a≥2）.

三、暴露學生數學問題解決的缺失

“試題”從文科考生答卷反饋的情況估計得5分以上的考生只有0.34%，有51%考生得0分，體現了“試題”有很好的選拔性，同時也暴露了學生數學問題解決的缺失.

1.尋找問題切入點意識薄弱

“試題”從得0分的考生比例可見，學生尋找問題切入點意識比較薄弱.解決數學問題重要的是能準確找到解題的切入點，而尋找切入點的關鍵是緊扣數學的有關概念.如“試題”中，就是緊扣絕對值的概念，進行分類討論解決；緊扣函數的概念，首先研究函數的定義域，再研究函數的模型結構及其性質.典型的錯誤如：“試題”的第（2）問分類去掉絕對值判斷單調性時沒有緊扣函數的定義域，當x>a時，f′（x）=2x-2a+1>0，所以f（x）在上單調遞增，在上單調遞減；當x

在教學中，我們要善于挖掘數學問題的教育價值，做到精講精練.這樣既能減輕學生的負擔，又能很好地促進學生的發展，進一步提高課堂效率.上述只是從數學問題解決中涉及的數學概念、本質的理解，蘊含的數學思想方法，暴露學生數學問題解決的缺失等方面挖掘“試題”的教育價值.而數學問題的教育價值還有很多方面，不同的數學問題又蘊含著不同的教育價值，有待進一步探討.

2.存在解題定勢思維

數學解題思維定勢是指解題者在解決數學問題的思維過程中表現出來的思維的定向預備狀態.在解決某些數學問題的過程中，需要克服定勢思維.“試題”第（1）問估計有6%的文科考生進行去絕對值求導，如：因為f（x）=x2-2ax+a+x-a，所以f′（x）=2x-2a+1，當f′（x）=0時，…….文科考生形成了拿到函數問題就求導的定勢思維.這也啟發我們在教學中要教會學生分析問題的一般方法，培養學生數學思維的靈活性，避免思維的固化.

3.運算推理能力欠缺

據調查研究發現，目前部分高中學生運算推理能力的狀況很差，嚴重影響其高中數學學習，這部分學生在高中數學學習中一講就懂，一做就錯，結果出現“會而不對，對而不全”的情形.文科考生在“試題”的解答過程中，運算推理能力欠缺暴露無遺.典型的錯誤，如：第（1）問代入后不知道如何化簡或化簡出錯，若f（0）≤1，則f（0）=（0-a）2+|0-a|-a（a-1）≤1，得f（0）=a2+|a|≤1，當a≥0時，2a+a≤1，得

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.何小亞.與新課程同行：數學學與教的心理學［M］.廣州：華南理工大學出版社，2003.

3.王林全.當代中小學數學課程發展［M］.廣州：廣東教育出版社，2006.

4.章建躍，陶維林.概念教學必須體現概念的形成過程［J］.數學通報，2010（1）.

5.劉秀湘.在穩定中注重數學概念和思維的考查［J］.中學數學研究，2014（8）.

6.【美】G.波利亞，著.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007.