力求創新，穩中有變
——2015年高考數學廣東卷評析

☉廣東省東莞市第一中學 孟勝奇

力求創新，穩中有變
——2015年高考數學廣東卷評析

☉廣東省東莞市第一中學 孟勝奇

2015年高考數學廣東卷文、理科試題，背景熟悉、題型常規，基礎題明顯增多；考查內容與要求緊扣課標和考綱，表述簡練、語言明了；解析幾何、統計概率試題來自于教材，反映出命題者回歸教材、重視基礎的意圖；文、理兩套試題在考基礎、考常規方法的同時，又透著靈活與新意，一些問題的解決需要扎實的基礎、較強的問題解決能力和運算能力，難易適當，既有利于高等學校選拔人才，也有利于中學教學，具有很好的導向功能，是兩套難得的好試卷.

一、試題分析

1.試題平實，難度穩中有降

與近幾年廣東卷試題相比，今年試題在題型、題量、考查知識面等方面保持相對穩定，與2014年試題比起來，難度有所降低，以考查基礎知識為主線，沒有晦澀難懂、超越考綱的偏、怪試題，溫和樸實.如兩套試卷中立體幾何解答題取材熟悉、構圖簡潔，設問抓住了主要知識點，能夠很好地區分不同層次的學生.近年來廣東高考數學試題，難度波動較大.如2009年理科數學試題、2011年和2014年的文、理科數學試題難度較大，表現在數學思維量大，運算量也大，既不能有效評估學生的數學水平，也給學生的數學學習和中學數學教學帶來一定的困擾.

理科卷第17題，是一道概率統計題，考查學生的數據處理能力，涉及抽樣、對樣本數據進行統計處理，源于現行高中數學教材，常考常新，重在理解，基礎又靈動，屬于簡單題.

題目中已對36名工人進行了編號，給出樣本容量為9，因而確定組距為4，故而容易列出樣本的年齡數據為44，40，36，43，36，37，44，43，37.進而可順利完成第（2）問中“計算（1）中樣本的平均值x和方差s2”和第（3）問“36名工人中年齡在x-s與x+s之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01%）？”

文科卷第17題要求根據某城市100戶居民的月平均用電量的頻率分布直方圖計算缺失的縱坐標，以及樣本的眾數、中位數等數據，試題表述中規中矩，設問常考常新，創意足，重在理解，基礎又靈活.

2.全面考查，突出主干內容

命題者并沒有刻意追求對高中數學知識的全面考查，而是立足于主干內容，突出對重點知識、思想方法的考查，如函數與導數、三角、數列、立體幾何、解析幾何、不等式、概率統計等板塊著力考查（見下表）.

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3.重視基礎，力求創新

今年一改往年三類題型都有壓軸題、難度偏大的現象，以基礎考點為主，考查學生的基本數學能力.如理科的1～18題、文科1～9題和11～18題都屬于基礎問題，文、理科數學從第19題到第21題依次呈現出中高檔難度，每題設置3問，第1問都為基礎問題，入手容易，第2、3問難度依次增加，能夠有效區分不同水平的學生.

在考查基礎知識時，注重對數學概念和法則的理解、定理和公式靈活運用能力的考查，而不是機械記憶或者表面了解.選擇題、填空題基礎而靈活，知識點相對單一、運算量小，為解答中高檔題目留下相對充裕的時間；前兩個解答題，靈動又有新意，在吃透題意的基礎上，考生能夠較快完成求解.

如理8題：若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數n的取值為（）.

A.至多等于3B.至多等于4

C.等于5D.大于5

以往，該位置題目，往往背景新穎、思維量大，多是新定義類的創新題型，解答時，需要有較強的閱讀理解與領悟能力；而對于該題，學生從熟悉的空間四面體入手，容易排除C、D，選擇B；這道題反而沒有文科選擇題10的難度大.

再如文10題：若集合E={（p，q，r，s）|0≤p

A.200B.150C.100D.50

該題涉及的變元很多，分析變元的關系，抓住主要矛盾，才能找到破解的節點.集合E中三組不等式都與s有關，故以s的取值為題眼進行分解剖析，不難解之.當s取4時，p，q，r從0、1、2、3中任取一個，有4×4×4=64（種）；當s取3時，p，q，r從0、1、2中任取一個，有3×3×3=27（種）；當s取2時，p，q，r從0、1中任取一個，有2×2×2=8（種）；當s取1時，p，q，r都取0，只有1種.所以card（E）=64+27+8+1= 100（種）.當t取0時，u取1、2、3、4中的一個，有4種；當t取1時，u取2、3、4中的一個，有3種；當t取2時，u取3、4中的一個，有2種；當t取3時，u取4，有1種，所以t，u的取值有1+2+ 3+4=10（種）；同理，v，w的取值也有10（種），所以，card（F）=10×10=100種.綜上，card（E）+card（F）=200（種）.

4.取舍得當，考點切入視角新

文理兩套試卷，不刻意追求考查的全面性，在考點的選擇上，與往年相比，顯得靈活有新意.如一改連續四年的三角函數圖像與求值問題為三角化簡求值，解析幾何大題改為考查直線與圓的位置關系、軌跡等問題，再如統計試題設問的著力點也發生了變化；另外，最后三道壓軸題的順序也作了調整，文科改為數列、解析幾何、函數與導數，理科改為函數與導數、解析幾何、數列.

整份試卷基礎性強、靈活、新意足.

5.重視思維，突出能力考查

試題將對靈活運用數學知識與方法探索、分析、解決問題的思維能力的考查，重點放在最后幾道解答題中，著力于對抽象概括能力、空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，以及應用與創新意識的考查.

如理（文）17題考查學生的數據處理能力，理（文）18題考查空間想象能力和推理論證能力，理19題、文19題考查靈活分析問題及推理論證能力，理（文）20題考查數形結合思想，理（文）21題考查分類討論思想、轉化與化歸思想與運算求解能力，文10題、理8題考查創新意識等.

此題以數列{an}的前n項和Sn為基礎，構造了新的數列{Sn}的遞推關系4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1，情境熟悉，又具一定的靈活性.廣東歷年試卷中，將數列作為重要知識點放在壓軸位置進行考查，并融入遞推公式變形技術，有時還與不等式等知識結合、與課標及考綱要求不甚相符，一直受人詬病，但依然堅持.

在這一大背景下，學生基本掌握這類問題的解決方法，將其轉化為4（Sn+2-Sn+1）=4（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1），即4an+2= 4an+1-an，所以由此得出是首項為1，公比為的等比數列.第（3）問隨之而解.

再如理19題：設a>1，函數f（x）=（1+x2）ex-a.

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）證明函數f（x）在（-∞，+∞）上僅有一個零點；

（3）若函數y=f（x）在點P處的切線與x軸平行，且在點M（m，n）處的切線與直線OP平行（O是坐標原點），證明：

第（1）問簡單，函數在R上單調遞增.

第（2）問需要選擇一個區間，便于判斷函數在這個區間上存在零點，區間左端點選為0，右端點選為lna，這樣f（0）=1-a，f（lna）=（1+ln2a）elna-a=aln2a>0，故f（lna）f（0）< 0，從而在（0，lna）上有零點，也就在R上有零點.這里，區間端點的選取很有藝術，關鍵在于方便計算判斷.

第（3）問主要難點在于論證方向的探索與確定，事實上，易于求出P點坐標為故而f′（m）=（m+1）2em，從而得到

只需證（m+1）3只需證m+1≤em.

需要構造函數h（x）=ex-x-1（x∈R），利用導數證明h（x）=ex-x-1≥0，即可證明m+1≤em.

二、存在的問題

（1）試卷簡單題偏多，中檔題偏少，難以拉開中等水平與中下水平考生的分數差距；在考綱中，要求易、中、難題目的比例為4∶4∶2，但在現實中，這一要求經常被打破，往往中檔題偏少.

（2）理科試題中，圓這一知識點分值達19分（第5小題和第20題），比重偏大，而圓錐曲線分值僅有5分（僅第7小題），比重偏輕；若能將圓的一部分考查用于對于圓錐曲線知識的考查，更為理想.

（3）算法、線性回歸分析、獨立性檢驗、理科的條件概率等知識沒有考查到.

（4）答卷中反映出存在的主要問題有：審題不細致、概念不清、數學符號書寫不規范，解答題的表述邏輯混亂，推理論證能力薄弱.這是一些老生常談的問題，需要學生深度參與，才能有較好的解決.

三、教學建議

近年來，我們在學習國外先進教育思想、方法的同時，也對國內教育進行了反思，許多人認為我國基礎教育扎實，尤其在一些國際測試（如PⅠSA）中取得優異成績后，在過于樂觀的情緒下，不愿正視和解決教育現實中存在的弊端.如中學生在學習時間上的高投入（每天高達12個學時）、只重視考試學科的教學與學習；甚至一些學校將數學課標中規定的每周4學時，而在具體操作中改為每周8學時，同時要求學生每天花在數學學習上的時間不能少于2小時；學期末尾為了應對統考，提前兩到三周停止體育、藝術及信息技術課的教學與學習，專攻應試學科.這些極端行為不利于學生的身心健康成長，因而，我們不能在某些數據下盲目樂觀，忽視亟待解決的問題，把極端行為視為正常，忽視其產生的危害.

中學數學教學要講清數學問題的本質，重視滲透數學思想，注重培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力；對推理論證問題，重在思路探索.我們始終提倡編選高三數學教學內容時，力求做到“少、精、活”，讓學生參與到問題解決“節點”的破解中，使學生獲得問題解決的直接經驗與技能.

在解答規范表述上，要發揮教師、教材的示范作用.

四、給命題專家的建議

1.關于自主命題風格的延續

明年，由國家考試中心統一組織命題，一些人擔心這一改變，會在內容側重點上發生變化、試題難度有所增加，加重學生負擔.事實上，自主命題省份經過多年摸索，初步形成了適合本省教育現實水平的命題機制、試卷結構與試題風格，并積累了一定的命題經驗，具有一定的地域特色.建議對自主命題省份，做好充分調研，適當兼顧他們的風格與特色.

2.關于試題難度的把握

一份高考數學試題的命制，都由從事數學教育的專家命制完成，但被考查的對象，只有少數學生以后會從事與數學有關的職業，因而，命題專家要站在提升公民數學素養，以及有利于后續學習的視角，確定試題的形式、難度等，提高均分水平，不能將全部學生當做數學系學生來考，以免多數學生受到傷害.

3.要重視知識生成性試題的命制

高考試題具有很強的導向性，你考解題，我就教如何解題，這個選擇很自然；課標強調要重視知識生成過程的教學，無疑是非常正確的，但多年來，高考試題中，關于知識生成過程、探究新知類試題非常稀缺，不利于課標理念的實施和學生發展；數學高考聚焦于應用數學基礎知識解答數學問題，基本沒有涉及知識的發生發展過程，這就導致教學中，教師總是壓縮知識的生成過程，從而為解題教學及解題訓練留下相對充裕的時間，以期在相關測試中能夠取得好的成績.

數學來自于實踐，是人類思維的結晶，不像物理、化學等自然學科依賴于實驗，因而，在高考中考查知識的生成過程成為可能，如在某一新概念（定義）下，探究這一概念相關的主要性質，產生的結論等.這對于教師對教育本真的追求，是大有裨益的.

我們要從人的教育這一高度審視學科教學，也要立足學科教學仰望教育總目標，使學科教學最大限度地發揮育人功能；同樣，數學高考試題的命制，也應站在有利于學生發展這一高度審視，試題形式更為多樣，考查內涵更為豐富，不要刻意刁難學生，避免出現偏題、怪題.