數學史選修課開課模式與評價標準研究

☉浙江臨安天目高級中學 湯麗芬

☉浙江臨安天目高級中學 趙國勝

數學史選修課開課模式與評價標準研究

☉浙江臨安天目高級中學 湯麗芬

☉浙江臨安天目高級中學 趙國勝

“在大多數的學科里，一代人的建筑為下一代人所摧毀，一個人的創造被另一個人所破壞.惟獨數學，每一代人都在古老的數學大廈上添加一層樓”，一百多年前，德國數學史家漢克爾就如此形象地指出了數學與其他自然科學的顯著差異，形象地指出了數學這門學科的積累特性.從這個意義上說，不了解數學史就不可能全面了解數學科學.

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出“數學是人類文化的重要組成部分，不同的民族有不同的數學傳統.數學課程應適當介紹數學的歷史、應用和發展趨勢；數學對推動社會發展的作用；數學的社會需求；社會發展對數學發展的推動作用；數學科學的思想體系；數學的美學價值；數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用；逐步形成正確的數學觀”.

一、數學史選修課開課的意義

數學科學作為一種文化，不僅是整個人類文化的重要組成部分，而且始終是推進人類文明的重要力量.在高中開設數學史選修課，能使學生了解到數學知識、方法、思想產生的歷史背景，加深對數學概念、方法、思想的理解，把握數學的本質和發展脈絡，使學生養成獨立思考、積極探索的習慣，培養學生的創造性思維能力和激發學習數學的興趣.

1.數學史的科學意義

每一門科學都有其發展的歷史，數學科學具有悠久的歷史，與自然科學相比，數學更是積累性科學，其概念和方法更具有延續性，比如古代文明中形成的十進位制記數法和四則運算法則，我們今天仍在使用，數學傳統與數學史材料可以在現實的數學研究中獲得發展.國內外許多著名的數學大師都具有深厚的數學史修養或者兼及數學史研究，并善于從歷史素材中汲取養分，做到古為今用，推陳出新.

2.數學史的文化意義

美國數學史家m.克萊因曾經說過：“一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關.這種關系在我們這個時代尤為明顯”“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說”.數學廣泛影響著人類的生活和思想，是形成現代文化的主要力量.數學史是從一個側面反映的人類文化史，又是人類文明史的最重要的組成部分.許多歷史學家通過數學這面鏡子，了解古代其他主要文化的特征與價值取向，教育人們去進行抽象的推理，激發人們對理想與美的追求.

3.數學史的教育意義

歌德曾經說過：“一門科學的歷史就是這門科學本身.”數學的歷史也就是數學本身，或者至少也是數學本身不可分割的一部分.數學史不僅可以促進學生對數學的理解，最重要的是，它能使學生對數學的理解更加完整.將數學史適當地應用到數學教學中，發揮數學史料的教育功能，是數學教育改革的一項有力措施.

例1天才數學家歐拉介紹.

圖1

歐拉是數學史上著名的數學家，他在數論、幾何學、天文數學、微積分等好幾個數學的分支領域中都取得了出色的成就.歐拉的一生，是為數學發展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的.

通過介紹數學家的感人的歷史事例，有助于了解數學的發生和發展；了解歷史上中外杰出的數學家的生平和數學成就；有助于感受前輩大師嚴謹治學、鍥而不舍的探索精神；有助于培養興趣、開闊視野、開拓創新，更深刻體會數學對人類文明發展的作用.

4.數學史的“現實”意義

反映數學的科學和人文價值，是高中數學課程建設的基本理念.自高考實行各省市自主命題以來，開創了百花齊放、百家爭鳴的良好局面，也使數學史閃耀出燦爛光芒.

作為高中數學教師，要不斷更新教育理念，時刻關注教育發展和改革動向.我們不但可以通過對數學史的研究改進課堂教學，而且還要關注高考數學試題的數學史背景（命題背景、解題背景）.

例2（2014年高考湖北卷文10/理8）《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“□蓋”的術：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式相當于將圓錐體積公式中的π近似取為（）.

例3（2014年高考陜西卷理14）觀察分析表中的數據：

?

猜想一般凸多面體中F、V、E所滿足的等式是________．

上述兩個例子均來源于2014年高考試題，一個出自《算數書》，一個需要考生通過推理得出多面體歐拉公式.

二、數學史選修課開課模式

高中階段數學史主要有兩種呈現方式，一是在數學教材中以各種方式滲透，這在高中的數學教材中都有體現；二是在高中階段開設專門的選修課程.

從課程實施的目的來說，“數學史”希望使學生了解數學發展過程中若干重要事件、重要人物和重要成果，初步了解數學產生和發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用，提高學習數學的興趣，加深對數學的理解，感受數學家嚴謹的態度和鍥而不舍的探索精神，進而提高學生的數學素養.

1.專題呈現

由于課時安排無法滿足對數學史系統性和完整性的闡述，因此數學史選修課宜采用專題形式展開，這樣更容易體現課程內容的彈性，有重點地突出思想.專題教學，就是按照問題來組織課堂教學，打破原有教材的章節體系限制，選取若干專題作為深入分析講授的教學方式.在對教材內容全面系統把握的基礎上，結合現實需要和學生特點，將教材中的知識點用專題的形式貫穿起來，重在每個專題內知識結構的系統性和嚴謹性以及回答學生的思想困惑問題.這種教學方式至少存在以下兩大優勢：第一，專題式教學具有針對性、現實性的特征，能夠克服學生內在學習動力不足的問題，有效提高學生學習的興趣；第二，專題式教學具有開放性特征，能夠充分發揮教師的專業所長，有效提高教學質量和科研水平.

專題呈現，內容要反映出數學發展的不同時代的特點，要講史實，更重要的是通過史實介紹數學的思想方法.內容的安排可以采取多種形式，既可以由古至今，追尋數學發展的歷史；也可以從現實的、學生熟悉的數學問題出發，追根溯源，回眸數學發展中的重要事件和人物.

下面是筆者開設的“數學史”選修課的專題設置表.

表1：數學中選修課課程內容安排

?

歷史上一連串的數學悖論動搖了人們對數學可靠性的信仰，數學史上曾經發生了三次數學危機.數學悖論的產生和危機的出現，不單給數學帶來麻煩和失望，更重要的是給數學的發展帶來新的生機和希望，促進了數學的繁榮.危機產生、解決、又產生的無窮反復過程，不斷推動著數學的發展，這個過程也是數學思想獲得重要發展的過程.

例4專題5《數學史上的三次危機》教學過程：危機發生的背景→危機的起源→危機的解決→危機產生的影響.（以第一次數學危機為例）

（1）背景.

第一次危機發生在古希臘，當時人們對于無理數的概念一無所知.數學家畢達哥拉斯建立了帶有濃厚宗教色彩的畢達哥拉斯學派.這個學派進行了大量的教學研究，并取得了眾多的數學發現，他們還提出了“萬物皆數”的論斷，指出“萬物都可以歸結為整數之比”并且相信宇宙的本質就在于這種“數的和諧”.

（2）起源.

①“萬物都可以歸結為整數之比”.

對于任意兩條線段，畢達哥拉斯學派的成員相信上面的操作過程總會在進行了有限步之后結束，他們相信，只要有耐心總能找到那個度量單位.所以任何兩個同類量都是可通約的，即萬物都歸結為整數之比.

②希帕索斯悖論.

古希臘人錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比.希帕索斯根據勾股定理通過邏輯推理發現等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可公度！即有理數并非一切數，存在有理數以外的數，有理數不可以完全填滿整條線段.這就是希帕索斯悖論：存在不可公度量！

（3）危機的解決.

①無理數的出現.

畢達哥拉斯學派相信任何兩條線段a與b都可公度，用我們現在的語言表述就是指任何兩條線段的比是整數或是一個分數.簡言之，是一個有理數.而希帕索斯不可公度量的發現就是：等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比既不是一個整數，也不是一個分數，或者簡言之，不是一個有理數，而是一個當時人們完全不了解的全新的數，這類數后來被稱為無理數.人類歷史上誕生的第一個無理數就是希帕索斯發現的

②悖論所引發的問題.

無理數的發現被認為是悖論，動搖了畢達哥拉斯學派的數學與哲學根基，它將推翻畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的基本哲學信條，摧毀了建立在“任何兩條線段都是可通約的”這一觀點背后的數學觀念.更重要的是，這一發現摧毀了人們通過經驗與直覺獲得的一些常識.

（4）第一次數學危機的影響.

希帕索斯悖論的出現，導致了第一次數學危機，這一危機的影響是巨大的，它不僅推動了數學及其相關學科的發展，使古希臘數學的基礎發生了根本性的變化，而且推動了整個科學的發展，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，無理數從此誕生了，之后，許多數學家正式研究了無理數，給出了無理數的嚴格定義，提出了一個含有有理數和無理數的新的數類——實數，并建立了完整的實數理論，為數學分析的發展奠定了基礎.在古希臘，數學和哲學是結盟的，哲學使古希臘的數學趨于抽象和真理，正是由于古希臘的哲學背景，使其有可能建立世界上第一個數學公理系統，并最終導致了近代科學的誕生.

2.游戲呈現

游戲“題內有話、話外有話”，教師應該更多地攜“數學游戲”進入課堂.皮亞杰認為“智慧自游戲發端，活動是連接主客體的橋梁”.

圖2

例5故事發生在18世紀的哥尼斯堡城.流經那里的一條河中有兩個小島，還有七座橋把這兩個小島與河岸聯系起來，那里風景優美，游人眾多.在這美麗的地方，人們議論著一個有趣的問題：一個游人怎樣才能不重復地一次走遍七座橋，最后又回到出發點呢？

直到1836年，瑞士著名的數學家歐拉才證明了這個問題的不可能性.

圖3

歐拉解決這個問題的方法非常巧妙.他認為：人們關心的只是一次不重復地走遍這七座橋，而并不關心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線.這樣，一個實際問題就轉化為一個幾何圖形（如圖3）能否一筆畫出的問題了.

所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點出發，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準重復.易知：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖.

歐拉定理：①凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成，畫時可以任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖；②凡是只有兩個奇點（其余均為偶點）的連通圖，一定可以一筆畫完，畫時必須以一個奇點為起點，另一個奇點為終點；③其他情況的圖，都不能一筆畫出.

好的數學游戲，不僅可以充實學生的游戲生活，而且可以激發他們學習數學的興趣，同時豐富他們的思維想象能力，在趣味盎然的氣氛中發展他們的智力.正如布魯納所說：“游戲活動是生命的自由表現，它是生活樂趣.”

游戲與數學的相似保證了數學游戲有利于數學思想的培養，能使學生更深刻地理解數學的精神.就思想方法講思想方法，如果直接揭示，學生會感到枯燥無味，是不能真正掌握數學思想方法的.因此數學思想必須融入內容和應用中，而把數學思想融入數學游戲中，更易為學生接受.

3.視頻呈現

以學生的學為中心，以符合教學規律和學生的認知規律為前提，通過多媒體信息技術手段的使用，優化課堂設計，可以極大地發揮其優勢，有利于素質教育的實施，培養學生的記憶力、思維等多項能力.恰當使用多媒體，能夠培養學生主動學習的能力.

多媒體集圖、文、聲、像多重刺激于一體，使學生大腦的視覺、聽覺等中樞都處于興奮狀態，相關知識在大腦中就會留下深刻印象.多媒體符合人類的記憶過程，多媒體展示知識空間的聯系，將知識系統化，形成網絡，有利于學生對知識進行比較、加工、歸納，形成理解基礎上的記憶.多媒體輔助教學，有助于培養學生的分析、歸納思維能力.

圖4

例6《“古怪老頭”畢達哥拉斯》專題的授課采用PPT與網絡視頻相結合的形式，介紹了畢達哥拉斯、畢達哥拉斯學派、畢達哥拉斯定理，借助網絡視頻告訴學生為什么畢達哥拉斯被稱為“古怪老頭”.

當然在數學史教學中視頻的效果也并非越多越好，教師應根據學生的認知規律和特點，恰當地選用多媒體，使多媒體成為啟迪學生認知、思維的工具，而不是教學內容的展示工具.

對于“數學史”的教學，《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，“教學方式應靈活多樣，可采取講故事、討論交流、查閱資料、撰寫報告等方式進行.教師應鼓勵學生對數學發展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件和人物，寫出自己的研究報告.”教師在教學中恰當運用現代信息技術，將現代化技術與教學有機融合.

選修課教學中教學內容的選擇、教學方式的優化更是需要開課教師“精打細算”，“不必追求數學發展歷史的系統性和完整性，通過學生生動活潑的語言與喜聞樂見的事例呈現內容，使學生體會數學的重要思想和發展軌跡”.

三、數學史選修課的評價標準

選修課程評價過程是促進學生潛能充分發展的過程，是教師了解和研究學生、關注每一個學生在原有水平基礎上主動發展的過程，是建立民主、平等、和諧的師生關系的過程，是學生正確認識自己和教師改進教學的過程.

由于選修課的性質、特點、任務、作用與必修課不完全一樣，我們必須根據選修課自身的規律開展課程評價.數學史選修課是為對數學有興趣并希望進一步提高數學素養的學生而開設的，主要是試圖通過數學的歷史發展線索幫助學生進一步理解數學方法和一些重要的數學思想，拓寬學生的數學視野.對于選修課的評價應該多樣化，對學生評價的主要方法有觀察法、調查法、測驗法.

1.觀察法

觀察法主要指教師在課堂教學中通過觀察學生行為的具體表現，對知識與能力、學習過程與方法、情感態度價值觀三維目標的達成程度進行評價，特別是對學生的學習態度、學習方法以及相關的情意目標的感受程度等進行即時或歷時評價，以引導學生更積極投入于學習的一種教學評價法.

教師在邊教學邊觀察的過程中，應該重點觀察學生的學習態度和學習方法，并加以正確的引導.使用觀察法評價，教師對學生的行為觀察不宜集中在那些行為比較突出的學生身上（反應敏捷行為活躍的學生、學習尖子、學有專長的學生、調皮的學生和學習不專心的學生等），而是要客觀對待班級每一個學生行為的感受和印象，教師應明確，自己的腦海中若沒有某個學生行為的印象，就應該對該學生做觀察補償或重點觀察了，或者反思自己對學生的行為觀察是否有所偏失.

2.測驗法

測驗在測評學生的課堂學習效果中扮演著極為重要的角色.測驗就是通過讓學生回答一系列與教育目標有關的有代表性的問題，從學生對問題的回答中提取信息，并根據一定的標準進行判斷的過程.教師在編制測驗題目時可根據主觀性試題、客觀性試題所存在的優缺點，針對檢測目的進行選擇.在測驗編制過程中，應同時制訂測驗的答案和評分標準，具體包括客觀性試題的標準答案、主觀性試題的答案要點、評定的記分規則.

例7《數學史》選修課測試題.

（1）公式eix=cosx+isinx中e是自然對數的底，i是虛數單位，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”.發現這個著名公式的數學家是（）.

A．高斯B.歐拉C.柯西D.牛頓

（2）歷史上這個學派任意地把非物質的、抽象的數夸大為宇宙的本原，認為“萬物皆數”.以“萬物皆數”為信條的古希臘數學學派是（）.

A.愛奧尼亞學派B.伊利亞學派

C.詭辯學派D.畢達哥拉斯學派

（3）1955年希臘發行了一枚郵票，圖案是由三個棋盤排列而成，這枚郵票是紀念兩千五百年前希臘的一個學派和宗教團體──畢達哥拉斯學派，它的成立以及在文化上的貢獻.郵票上的圖案是對數學上一個非常重要定理的說明.它是初等幾何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理，在我國，人們稱它為勾股定理或商高定理；在歐洲，人們稱它為畢達哥拉斯定理.請你敘述該定理：_________________.

圖5

（4）最早使用“函數”（function）這一術語，并引入函數符號y=f（x）的數學家是（），在我國，清代數學家李善蘭在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代微積拾級》中首次將“function”譯作“函數”.

A.萊布尼茨B.約翰·伯努利

C.雅各布·伯努利D.歐拉

（5）用圓圈符號“o”表示零，可以說是（）數學的一大發明，有零號的數碼和十進位制記數在公元8世紀傳入阿拉伯國家，后又通過阿拉伯人傳至歐洲.中國古代的籌算數碼中開始沒有“零”，遇到“零”就空位.數字中沒有“零”，是很容易發生錯誤的.

A.中國B.阿拉伯C.印度D.古希臘

（6）在人類歷史的早期，生活在尼羅河畔的古埃及人創造了先進的文化和高度發達的文明.古埃及文明的重要成就之一就是科學技術發明，其中數學成就引人注目.從現今遺留下來的古埃及數學文獻可看出，古埃及人的數學知識包括算術、代數和幾何三個方面.古埃及的數學知識常常記載在（）.

A.紙草書上B.竹片上C.木板上D.泥板上

（7）從已知的事實出發，不斷運用已掌握的（知識庫中的）知識推出或歸納出新的事實（包括目標結論）的過程稱為推理.請問在這個邏輯思維訓練中，問號處的數字是什么？

5，10，17，26，37，（？）

圖6

（8）一筆畫問題源于哥尼斯堡七橋問題，歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了更為廣泛的有關一筆畫的三條結論，人們通常稱之為歐拉定理.圖6是一個公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復，請問出口和入口應設在哪兒？

（9）幻方也稱縱橫圖，它是科學的結晶與吉祥的象征，發源于我國古代的洛書——九宮圖.把“洛書”用數字表達就是一個“幻方”.下面請將1-7這七個數字填寫到如圖7所示的小圓圈中，使每條直徑上的三個數字之和都為10.

（10）數獨前身為“九宮格”，最早起源于中國.1783年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉發明了一種當時稱作“拉丁方塊”（LatinSquare）的游戲，這個游戲是一個n×n的數字方陣，每一行和每一列都是由不重復的n個數字或者字母組成的.1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出現了“數獨”游戲，提出了“獨立的數字”的概念，意思就是“這個數字只能出現一次”或者“這個數字必須是惟一的”，并將這個游戲命名為“數獨”（sudoku）.請完成下面的數獨題.

圖7

圖8

（11）“一個違反萬物皆數的理論，葬身了一雙發現的眼睛；一次對真理苦苦的追尋，造就了基礎數學中最重要的課程；一回回不斷地完善理論系統，奠定了數學的基石”指的是數學史上的哪三次重大事件？

（12）簡述學習數學史的意義.

3.調查法

選修課程評價要重視學生個性發展、人格完善，重視積極發揮評價結果在促進學生素質全面發展中的作用.在對學生的評價中，學生應成為評價主體，重視學生在學習活動中對師生關系的實際感受，學生的學習興趣和獲得成功的體驗等應成為學生評價的重要內容.

問卷調查是一種結構化的調查，其調查問題的表達形式、提問的順序、答案的方式與方法都是固定的，而且是一種文字交流方式，因此，任何個人，無論是研究者還是調查員都不可能把主觀偏見代入調查研究之中.其調查的統計結果一般都能被量化出來.

四、開設“數學史”選修課的思考

數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.數學史研究的任務在于弄清數學發展過程中的基本史實，再現其本來面貌，同時透過這些歷史現象對數學成就、理論體系與發展模式作出科學、合理的解釋、說明與評價，進而探究數學科學發展的規律與文化本質.

在高中階段開設“數學史”選修課的一個終極目的就是提高學生學習數學的積極性，使學生加深對數學本質的理解，增長知識面，擴大視野.應該說，“數學史”選修課的開設適應高中數學教學需求，適應數學發展現狀、社會發展現狀和學生心理發展現狀.它的產生，會不斷激起學生對數學的更大興趣，滿足學生想要深入了解數學的欲望.

當然選修課的開設具有很大的局限性，只能滿足少部分學生的學習要求，同時也不能過多地結合課堂教學，對必修部分的促進作用少之又少，因此數學史的選修可以說是杯水車薪，要想更好地更全面地用好數學史，一方面教師首先要具備和不斷充實數學素養和數學史知識，另一方面要在教學中恰當安排數學史的學習內容.同時對于課程的開課模式和評價標準有待于進一步的研究和實踐，因此我們也相信數學史選修課的開設是一個很好的契機，借此探求數學史教學的新途徑.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.人民教育出版社，2003.

2.張小明.HPM視角下的高中數學教學：實踐與思考［J］.中學數學教學參考（上），2011（9）.

3.趙國勝.新課改背景下高中“數學史”選修課開設初探［J］.中學數學（上），2014（11）.