全方位多角度深層次
——2015年安徽省高考數學理科第18題的解法探究及思考

☉江西省贛州中學 謝小翔

全方位多角度深層次
——2015年安徽省高考數學理科第18題的解法探究及思考

☉江西省贛州中學 謝小翔

2015年安徽省高考數學卷理科第18題新穎別致，內涵豐富，無論是從試題難度、試題背景、命題立意，還是對數學思維能力的考查等，都很到位，很有研究價值.筆者對此做出如下解析與大家共勉，以期拋磚引玉：

一、試題展示題目

設n∈N*，xn是曲線y=x2n+2+1在點（1，2）處的切線與x軸交點的橫坐標.

（Ⅰ）求數列{xn}的通項公式；

分析：本題背景熟悉，入口較寬，解法多樣，綜合考查了函數導數、數列、不等式證明等知識，筆者對第（Ⅱ）小題的解法進行了探究，供讀者參考.

視角一：數學歸納法

視角二：不等式放縮

視角三：基本不等式

以下同視角二.

視角四：不等式的性質

視角五：數列的單調性所以數列{An}是單調遞增數列，故An≥A1=1，即成立.

視角六：利用貝努利不等式

貝努利不等式：對實數x>-1在n≥1時有（1+x）n≥1+nx．

二、拓展延伸

解完此題，筆者不禁思考：Tn的范圍有沒有上限呢？偶數項平方的乘積的范圍又是如何？所有項的平方的乘積范圍呢？由此，筆者得到了以下幾個結論.

此處具體證明過程略，有興趣的讀者自證.對于結論3可以先證再利用數列{Tn}的單調性.

三、反思與啟示

根據多年的教學經驗和體會，結合對2015年安徽省高考數學理科第18題的分析，筆者認為，對解析幾何的復習教學，要注意以下幾個方面：

1.夯實基礎知識，注重通性通法

如何提高學生的解題能力，看似題題都有路，但路路卻不通，這便是高三復習中解題教學的突破口.筆者認為數學教學中要夯實基礎知識，注重通性通法，立足有價值的例題和試題，借助合理的變形，引導學生去探究、對比、總結提煉和反思解題，并使其內化為學生的自覺行為.所以，對基礎知識的深刻理解、對基本技能和基本方法的熟練掌握，是學生能夠從容應考順利答題的前提．因此，在組織復習備考時，一定要注意引導學生回歸課本，理解教材中有關數學概念、定義、法則等相關知識點的形成和發展過程，通過典型的問題歸納出通性，掌握其通法，弄清解決線性規劃問題的基本思路及其適用范圍，在此基礎上，掌握各種不同背景下的線性規劃問題的基本特征和求解方法，構建“知識鏈”，形成“能力場”，切實有效地幫助學生提高應用線性規劃的知識和方法分析問題和解決問題的能力．

2.注重教材研究，把握命題方向

江蘇省高考數學試題近幾年命題不在題面上刻意為難考生，命題主要圍繞考試大綱，結合現用教材來挖掘試題素材，這使得命題更具原創特點及貼近學生實際，學生在實際解題時對題目本身沒有太強的陌生感，這可以理解為命題者選材源于課本，但難度要求實際高于教材的體現.所以要想在高考取得較好的教與學的效果，平時對課本的關注就是對高考題“源”的把握，而最基本的題源便是教材.命題者將問題的條件和設問對調，體現思維的變換，但解題核心方法是不變的，即靈活運用數列的基本公式及定義來論證相關問題.所以教師在平時教學中要把教材中的概念和例題，作業要真心作為可能的高考題“源”來認真研究，讓復習回歸數學教學的本真.

3.重視一題多解，加強變式訓練

少一些題目堆積，多一些知識點綜合、遷移、轉化.看過高考試題，感覺高三一年復習下來，費力不討巧.教學要達到學生會做這個目的，不僅在于多練，還要重視一題多用，以少勝多.在教學中首先思考試題的本源在哪，解決的方法有哪些，常規的方法是什么，通過比較又有什么收獲，改變問題可以命制新的問題等，總之，方法不在巧，重在得當.只有平時扎實的訓練與對比反思才能為高考中合理解題提供幫助！

總之，在平時的數學教學中，教學放低起點，重視概念、本質、理解、應用.重視知識間的聯系，加強其綜合應用，不一定非是多個知識點的整合，兩個知識點都可以，重要的是聯系、遷移學生的認識與感悟，鍛煉學生學習及思考的能力.難題實際上是綜合性強的題目，“會者不難”，考查學生對于方法的認識和理解，是學生思維的考查.雙基教學，對于基礎知識應回歸課本，更加基礎，不是加大難度和深度.基本技能應更加重視其形成，多進行縱向的延伸.