縱橫交錯(cuò)八方聯(lián)系
——例談高考對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃的考查

☉湖南省衡陽(yáng)縣職業(yè)中專(zhuān) 文自林

縱橫交錯(cuò)八方聯(lián)系
——例談高考對(duì)線(xiàn)性規(guī)劃的考查

☉湖南省衡陽(yáng)縣職業(yè)中專(zhuān) 文自林

線(xiàn)性規(guī)劃在近幾年高考中備受青睞，但是在高考中多以容易題出現(xiàn)，只要我們對(duì)該類(lèi)問(wèn)題加以總結(jié)，相信這類(lèi)問(wèn)題就容易解決.筆者經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，歸納了線(xiàn)性規(guī)劃的幾種考查方式，歡迎同行批評(píng)指正.

一、考查線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值或值域

已知線(xiàn)性約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值或值域問(wèn)題，在高考中是最基本的考查題型，一般分為四類(lèi)：第一類(lèi)是求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值或值域；第二類(lèi)是可轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)一點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離或距離的平方；第三類(lèi)是可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)一點(diǎn)與一定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率；第四類(lèi)是可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)一點(diǎn)到一條定直線(xiàn)的距離.根據(jù)線(xiàn)性約束條件求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題是標(biāo)準(zhǔn)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，在高考中是最常見(jiàn)的題型之一.

1.線(xiàn)性約束條件下，線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值

已知目標(biāo)函數(shù)為z=ax+by（a＞0，b＞0），求z的最值.

解決策略：將z=ax+by轉(zhuǎn)化為再通過(guò)平移直線(xiàn)在可行域中找使得直線(xiàn)在y軸上的截距取得最大值（或最小值）的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），即得線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解.此時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距取得最大值（或最小值）點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）是z取得最大值（或最小值）時(shí)的最優(yōu)解，兩者恰好一致.

圖1

解析：由z=2x+y，得y= -2x+z.如圖1，當(dāng)直線(xiàn)l0：y= -2x平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，1）時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最大.所以，最優(yōu)解為C（2，1），故zmax= 2×2+1=5.

點(diǎn)評(píng)：把線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一族平行直線(xiàn)是圖解法的核心，這種轉(zhuǎn)化就是線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一族平行直線(xiàn)與平面區(qū)域有交點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在y軸上截距的最大值與最小值，此時(shí)要特別注意直線(xiàn)斜率的正負(fù).

2.線(xiàn)性約束條件下，非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值

圖2

圖3

解析：由z=（x+2）2+y2，得求z的最小值轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)M（-2，0）兩點(diǎn)間距離的最小值的平方，如圖3.所以，當(dāng)點(diǎn)P（x，y）取A（0，1）時(shí)

圖4

3.非線(xiàn)性約束條件下，線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值

此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是要能弄清楚非線(xiàn)性約束條件在平面區(qū)域內(nèi)所表示的圖形，解法與第一大類(lèi)型問(wèn)題一致.

例5已知x，y滿(mǎn)足x2+y2=1，求z=2x+y的最大值和最小值.

解析：由z=2x+y，得y=-2x+z.又x2+y2=1表示圓，如圖5，當(dāng)直線(xiàn)l0：y=-2x平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最大.所以如圖5，當(dāng)直線(xiàn)l0：y=-2x平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小.所以

用規(guī)劃思想求目標(biāo)函數(shù)的最值，關(guān)鍵是要弄清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義及掌握約束條件所表示的幾何圖形.

圖5

二、考查可行域的面積

這一類(lèi)問(wèn)題通常是先畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，根據(jù)平面區(qū)域的形狀來(lái)求可行域的面積，若可行域是三角形，可根據(jù)三角形面積公式求解，若可行域是四邊形或更復(fù)雜的圖形，除可用面積公式求解外，也可用分割法求圖形面積.

解析：畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，它是由直線(xiàn)x+y=0，x-y+4=0和x=1圍成的三角形區(qū)域，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）、（1，-1）、（1，5），可求得三角形的面積為9.

三、考查參數(shù)的值或取值范圍

已知目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解參數(shù)范圍，這種逆向考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)題型，旨在考查學(xué)生的逆向思維能力.在所考查的試題中，參數(shù)的位置有的在線(xiàn)性約束條件中，也有的在目標(biāo)函數(shù)中.

圖6

解析：由已知約束條件，作出可行域，如圖6中△ABC內(nèi)部及邊界部分，由目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的幾何意義為直線(xiàn)l：y=-2x+z在y軸上的截距知，當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)B（1，-2a）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x+ y的最小值為1，則2-2a=1，即故選B.

四、線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)的交匯問(wèn)題

將線(xiàn)性規(guī)劃與其他數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行交匯命題，在近幾年的高考試題中，成為考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的熱點(diǎn).線(xiàn)性規(guī)劃可以與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)、集合、數(shù)列、不等式、向量、概率、解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行綜合，重點(diǎn)考查函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.解決線(xiàn)性規(guī)劃與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯問(wèn)題，不僅要掌握解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的基本方法，還要具有將與線(xiàn)性規(guī)劃相交匯的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力.

1.與函數(shù)或?qū)?shù)知識(shí)相結(jié)合

線(xiàn)性規(guī)劃與函數(shù)或?qū)?shù)知識(shí)相結(jié)合，近幾年的高考試題出現(xiàn)的題目比較多.與函數(shù)問(wèn)題相結(jié)合，主要是在線(xiàn)性約束條件下，曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域的何處時(shí)有適合題意的最優(yōu)解；與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題相結(jié)合，主要是先求出曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)，再轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

例8拋物線(xiàn)y=x2在x=1處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈（包含三角形內(nèi)部和邊界）.若點(diǎn)P（x，y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x+2y的取值范圍是________.

解析：因?yàn)閥′=2x，所以當(dāng)x=1時(shí)，y=1，y′=2，則過(guò)點(diǎn)（1，1）的切線(xiàn)方程為y=2x-1，所以切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域端點(diǎn)為（0，0）、（0，-1），所以x+2y在點(diǎn)處取最大值在點(diǎn)（0，-1）處取最小值-2，即x+2y的取值范圍為

2.與向量知識(shí)相結(jié)合

線(xiàn)性規(guī)劃與向量知識(shí)相結(jié)合，在近幾年的高考中出現(xiàn)的題目也比較多，題型主要是在線(xiàn)性規(guī)劃背景下加入向量問(wèn)題（由向量條件得到目標(biāo)函數(shù)），或是在向量背景下加入線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，也有的是由向量條件得到線(xiàn)性約束條件從而轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地利用向量知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，結(jié)合線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的類(lèi)型進(jìn)行求解.

例9已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，1），若點(diǎn)M（x，y）是平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）.

A.［-1，0］B.［0，1］C.［0，2］D.［-1，2］

3.與概率（幾何概型）知識(shí)相結(jié)合

線(xiàn)性規(guī)劃與概率知識(shí)相結(jié)合，主要是借助于線(xiàn)性規(guī)劃的可行域，考查幾何概型的概率求解問(wèn)題，其中線(xiàn)性約束條件所滿(mǎn)足可行域的面積對(duì)應(yīng)于幾何概型問(wèn)題中的幾何測(cè)度.

4.與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相綜合

這類(lèi)問(wèn)題通常是在選擇題或填空題的壓軸題位置，試題將線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)相綜合，具有相當(dāng)高的難度，試題難在解題方法的創(chuàng)新上和轉(zhuǎn)化與化歸的能力上.這類(lèi)問(wèn)題的解題關(guān)鍵是要讀懂題目，根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危眠m當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法（如換元法等）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

例11已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足：5c-3a≤b≤4c-a， clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.

解析：由5c-3a≤b≤4c-a及clnb≥a+clnc，得：則本題可化為下列問(wèn)題：已知x>0，y>0，且的取值范圍.作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖則當(dāng)直線(xiàn)y=kx與曲線(xiàn)y=ex相切時(shí)，k取最小值e，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，e）；當(dāng)直線(xiàn)y=kx過(guò)直線(xiàn)3x+ y=5與x+y=4的交點(diǎn)）時(shí)，k取最大值7，從而的取值范圍為［e，7］，即的取值范圍是［e，7］.

圖7

當(dāng)然，線(xiàn)性規(guī)劃與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯問(wèn)題遠(yuǎn)不止這些，例如線(xiàn)性規(guī)劃與數(shù)列、解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯等，但是解決問(wèn)題的一般思路和方法是類(lèi)似的，關(guān)鍵是要掌握線(xiàn)性規(guī)劃基本問(wèn)題的解法，合理地將問(wèn)題中所涉及的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.對(duì)一些較為復(fù)雜的問(wèn)題，可從問(wèn)題結(jié)構(gòu)形式入手，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)進(jìn)行解決.線(xiàn)性規(guī)劃思想在解決牽涉各類(lèi)不同問(wèn)題的題目中，有很重要的應(yīng)用價(jià)值，巧用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，可使問(wèn)題變得更清晰，過(guò)程更簡(jiǎn)捷.