活用三角形射影定理解高考題更精彩

☉云南省大理州漾濞縣第一中學 秦慶雄

☉云南省大理州漾濞縣第一中學 范花妹

活用三角形射影定理解高考題更精彩

☉云南省大理州漾濞縣第一中學 秦慶雄

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一、緣起

早在1990年，就有老師撰文“建議在中學數學教材中補充射影定理公式”，在普通高中新課程標準實驗教材數學必修5（人教A版）第22頁，編者雖以習題的形式讓三角形射影定理嶄露頭角，但仍沒有將其命名為三角形射影定理.

三角形射影定理，其結構優美、和諧，可以和三角形中赫赫有名的正弦定理和余弦定理相媲美，是揭示三角形邊角關系的重要定理之一.

筆者發現，很多有關三角形邊角關系的高考試題，若能靈活、恰當地應用三角形射影定理，往往比用正弦定理或余弦定理更加快速、簡捷，可使問題化繁為簡、化難為易，收到事半功倍的效果.

二、什么是三角形射影定理

在△ABC中，內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，則有：

a=bcosC+ccosB，

b=ccosA+acosC，

c=acosB+bcosA.

三、三角形射影定理的證明

證明：（1）當△ABC為直角三角形時（如圖1），不妨設角B為直角，由直角三角形邊角關系得a=bcosC，又cosB=0，所以a=bcosC+ccosB；

（2）當△ABC為銳角三角形時（如圖2），過點A作AD⊥BC，垂足為D，由直角三角形邊角關系得BD= ccosB，DC=bcosC，所以a=BD+DC=ccosB+bcosC.

（3）當△ABC為鈍角三角形時（如圖3），不妨設角B為鈍角，過點A作AD⊥BC，垂足為D，由直角三角形邊角關系得DC=bcosC，BD=ccos∠ABD=ccos（π-B）=-ccosB，所以a=DC-DB=bcosC-（-ccosB）=bcosC+ccosB.

綜上所述，在任意△ABC中，都有a=bcosC+ccosB.

同理可證b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

圖1

圖2

圖3

評注：在三角形射影定理頗多的證明中，上述證明顯然是最煩瑣，但卻是最直觀的.三角形射影定理的幾何意義從證明過程中清楚明白地呼之欲出，即三角形中任意一邊的長度是另外兩邊在該邊上的射影的代數和，三角形射影定理由此而得名.

下面我們分別利用向量、余弦定理和正弦定理，給出三種簡證.

即a2=accosB+abcosC.

從而有a=bcosC+ccosB.

同理可證b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

從而有a=bcosC+ccosB.

同理可證b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

簡證3：由正弦定理，得bcosC+ccosB=2R·sinBcosC+ 2R·sinCcosB=2R（sinBcosC+sinCcosB）=2R·sin（B+C）= 2R·sinA=a.

從而有a=bcosC+ccosB.

同理可證b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA.

四、三角形射影定理在解高考題中的應用

例1（2014年廣東卷理科第12題）設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，則=________.

簡解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，則a= 2b，于是.故答案為2.

例2（2013年新課標Ⅱ卷理科第17題）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（ⅠⅠ）若b=2，求△ABC的面積的最大值．

簡解：（Ⅰ）由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，則bcosC+ccosB=bcosC+csinB?ccosB=csinB?cosB=sinB?tanB=1.

（ⅠⅠ）略.

例3（2013年遼寧卷理科第5題）在△ABC中，內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，asinBcosC+csinBcosA=，且a>b，則B=（）.

（Ⅰ）求cosA的值；

（ⅠⅠ）求邊c的值．

（ⅠⅠ）由三角形射影定理得c=acosB+bcosA=acos2A+ bcosA=a（2cos2A-1）+bcosA=3，所以c=5．

例5（2013年陜西卷理科第7題）設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

簡解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，則asinA=bcosC+ccosB=a?sinA=1，則.故答案為B.

例6搖（2008年山東卷理科第15題）設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，向量（cosA，sinA），若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，則B= ______．

由三角形射影定理得c=acosB+bcosA，則c=csinC，則sinC=1.

例7（2008年湖北卷理科第12題）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a=3，b=4，c=6，則bccosA+accosB+ abcosC的值為______．

簡解：由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB，b= ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，則bccosA+accosB+abcosC=［a（bcosC+ccosB）+b（acosC+ccosA）+c（bcosA+acosB）］

例8（2008年全國Ⅰ卷理科第17題）設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB-bcosA求tanAcotB的值.

簡解：由三角形射影定理得c=acosB+bcosA，則acosB-bcosA

例9（2008年浙江卷理科第13題）在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c.若cosA=acosB，則cosA=______．