橢圓的內(nèi)接四邊形面積最值問題一例

☉江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué) 邱紅英

☉江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué) 吳海軍

橢圓的內(nèi)接四邊形面積最值問題一例

☉江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué) 邱紅英

☉江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級中學(xué) 吳海軍

全國及各地試卷中活躍著求圓錐曲線中的平面圖形的最值問題，在各種題型中均有考查，其中以解答題為重，具有綜合性強(qiáng)、涉及知識面廣而且常含有變量的基本特征，這樣的最值一般都不能使用幾何法求解，只能建立目標(biāo)函數(shù)，再根據(jù)均值不等式等方法求出目標(biāo)函數(shù)的最值.由于這類題目靈活多變，面積公式也較多，因此考生做起來往往感到很棘手，所以在教學(xué)和高考復(fù)習(xí)中都要引起我們的重視.下面筆者以橢圓的內(nèi)接四邊形面積最值問題為例，探究此類問題的破解策略.

分析：要解決這一問題，我們首先嘗試回答下面的幾個(gè)子問題.

問題1：從題目中我們可以得到哪些信息？

問題2：我們要解決的是什么問題？

問題3：四邊形面積可以如何去表示？

問題4：四邊形AEBF可以如何分割？

以對角線為輔助線進(jìn)行分割，有兩種分割方法.

【分割方法一】以AB為底進(jìn)行分割：

S四邊形AEBF=S△EAB+S△FAB.

【分割方法二】以EF為底進(jìn)行分割：

S四邊形AEBF=S△AEF+S△BEF.

由化歸思想及點(diǎn)E、F的對稱性可知：

S△AOF=S△AOE；

S△BOF=S△BOE；

S四邊形AEBF=2S四邊形AOBE.

【分割方法三】S四邊形AEBF=2（S△AOE+S△BOE）.

【分割方法四】S四邊形AEBF=2（S△AOB+S△AEB）.

實(shí)踐環(huán)節(jié)：請同學(xué)們分組討論四種分割方法的可行性及會遇到的困難.

對于第一種分割方法：S四邊形AEBF=S△EAB+S△FAB=（dE-AB+dF-AB）.

對于第二種分割方法：S四邊形AEBF=S△AEF+S△BEF=|EF|·

對于第三種方法：S四邊形AEBF=2（S△AOE+S△BOE）=2dE-AO+

對于第四種方法：S四邊形AEBF=2（S△AOB+S△AEB）=

問題5：解決解析幾何中最值問題時(shí)設(shè)未知元的方法有哪些？

線變：設(shè)直線斜的率k——一元求最值.

常見方法：二次函數(shù)、基本不等式、導(dǎo)數(shù).

點(diǎn)變：曲線上的點(diǎn)（x0，y0）——二元最值.

常見方法：消元（化為一元）、基本不等式、線性規(guī)劃、三角代換.

實(shí)踐環(huán)節(jié)：請同學(xué)們分小組嘗試用不同的分割方法和不同的設(shè)元法解決本題.

第一類：設(shè)直線的斜率k——一元求最值.

解：設(shè)直線EF的斜率為k（k>0）.

利用其他三種分割方法也能得到S四邊形AEBF=

小結(jié)：用設(shè)斜率的方法到最后會殊途同歸，可用基本不等式求最值.

第二類：設(shè)曲線上的點(diǎn)（x0，y0）——轉(zhuǎn)化為二元求最值問題.

解：設(shè)點(diǎn)E（x0，y0），其中x0>0，y0>0.則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-x0，-y0）.

用其他三種分割方法也會得到S四邊形AEBF=2x0+，其中分割方法三的過程最為簡便，所以在解題時(shí)如果方法和途徑較多，就要通過比較選擇最優(yōu)解法.最后的最大值可以用基本不等式、切線法、三角代換等方法來求得，這里不再贅述.

通過本例，我們發(fā)現(xiàn)解決這類問題往往利用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法，將它轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)最值，以及利用函數(shù)的單調(diào)性、各種平面幾何中最值的思想來解決.同時(shí)分割方法的不同、設(shè)未知元的不同，會產(chǎn)生運(yùn)算的繁簡，在解題時(shí)應(yīng)注意方法的優(yōu)化.

最后送給大家一首詩，希望有助于大家在解決解析幾何問題時(shí)尋找思路：聯(lián)立方程解交點(diǎn)，設(shè)而不求巧判別；韋達(dá)定理表弦長，斜率轉(zhuǎn)化過中點(diǎn)；選參建模求軌跡，曲線對稱找距離；動(dòng)點(diǎn)相關(guān)歸定義，動(dòng)中求靜助解析.