對圓錐曲線中的一道試題的探究和思考

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 陳山云

對圓錐曲線中的一道試題的探究和思考

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 陳山云

圓錐曲線是解析幾何中的重點(diǎn)，歷來都是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn)，在高考試卷中占有很大的比例.在解決圓錐曲線范圍、最值問題時(shí)主要策略是：函數(shù)思想、不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想.其中，在解填空題時(shí)，切忌“小題大做”，這時(shí)候的數(shù)形結(jié)合、巧用定義其實(shí)是一種很好的方法.如果方法不當(dāng)，我們可能會感慨“時(shí)間都去哪兒啦”，從而導(dǎo)致考試時(shí)間不夠用.

其實(shí)，學(xué)生的潛能和智慧是無窮無盡的.課堂是學(xué)生思維提升的主陣地，有效的數(shù)學(xué)課堂需要學(xué)生思維的積極加盟.新課程倡導(dǎo)“以人為本”的理念，強(qiáng)調(diào)教師是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的引導(dǎo)者，而學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人.教師應(yīng)當(dāng)在課堂中創(chuàng)設(shè)一種民主、和諧的教學(xué)氛圍，促進(jìn)生生互動、師生互動，讓學(xué)生最大限度地參與教學(xué)活動，使思維活動成為課堂的主角.有時(shí)學(xué)生的思維活動會給我們意外的收獲.

筆者在課堂上遇到一道圓錐曲線試題，這與2009年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）第9題類似，接下來我們先看看下面的試題以及學(xué)生的不同解法.

又因在Rt△OMT中，|OT|=1，根據(jù)勾股定理可以求出|MT|

生2：我認(rèn)為以上解法比較煩瑣，既然點(diǎn)P在雙曲線上，我們可以試試用定義解題.

解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1.

由M為FP的中點(diǎn)，O為FF1的中點(diǎn)，得

在直角三角形OFT中，易求得|FT|=3，而|MT|=|FT|-|FM|=3|PF|，則|OM|-|MT||PF1|-（|PF1|+|PF|）-3.

設(shè)|PF1|=x，則|PF|=2+x.

到此，只要求出x即可

事實(shí)上，在直角三角形OMT中，由|OM|2=|OT|2+|MT|2，可得

生3：既然生2都已經(jīng)想到了雙曲線定義的應(yīng)用，那么我們?yōu)槭裁床荒軐⒍x進(jìn)行到底呢？請看以下解法.

在直角三角形OMT中，由|OM|2=|OT|2+|MT|2，即|OM|2-|MT|2=|OT|2，得（|OM|-|MT|）（|OM|+|MT|）=1，故|OM|-|MT|=

此時(shí)，同學(xué)們都沉浸在剛才同學(xué)解法的思考中，這時(shí)，又一位同學(xué)（生4）站起來說，我的方法與學(xué)生3的方法一樣，可答案怎么不一樣呢？后來發(fā)現(xiàn)生4畫圖時(shí)將點(diǎn)M畫在點(diǎn)T的上方，故有

問題就在于點(diǎn)M的位置變了，那么，點(diǎn)M究竟在何處呢（相對于點(diǎn)T）？事實(shí)上，從生1的方法中，根據(jù)求出的M點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以判斷點(diǎn)M的位置在點(diǎn)T的左下方.所以生4的方法看上去很簡單，但圖形出錯，結(jié)果也就不對

了.當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)T的左下方時(shí)，|MT|=|FT|-|FM|=b

這時(shí)候，我們應(yīng)該會考慮到這樣一個(gè)問題：點(diǎn)M可能在點(diǎn)T的右上方嗎？如果有可能的話，會是什么情況下的呢？接下來，我們來看2009年浙江省杭州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）第9題.

說明：這是一道選擇題，答案是選項(xiàng)：b-a.但筆者個(gè)人認(rèn)為此答案只是其中的一種情況.以下是筆者的想法，希望能與你共享.

分析：在a與b不確定的情況下，筆者個(gè)人認(rèn)為這個(gè)答案是不對的.首先，為了讓直線FT與雙曲線的右支有交點(diǎn)，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線FT的斜率不小于0，借助

解：（仿照生1的解法）由題意可以求出F（-c，0）.由于|OT|=a，不難求出|FT|=b，故直線FT的斜率為

由直線FT與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)T，不難求出點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為

當(dāng)xM-xT>0，即M點(diǎn)在T點(diǎn)的右上方時(shí)，a

當(dāng)xM-xT<0，即M點(diǎn)在T點(diǎn)的左下方時(shí)，b>2a，此時(shí)有：

在直角三角形OMT中，由|OM|2=|OT|2+|MT|2，即|OM|2-|MT|2=|OT|2，得（|OM|-|MT|）（|OM|+|MT|）=a2，故|OM|-|MT|=

當(dāng)xM-xT=0，即M與T重合時(shí)，b=2a，此時(shí)有：

|OM|-|MT|=|OM|=|OT|=a.

綜上所述，（1）當(dāng)a

我們回過頭來再看試題，a=1，b=3，滿足以上第二種

回顧以上解法，我們會不由自主地感慨利用圓錐曲線的定義解題的巧妙之處.方法的選擇決定了解題速度、運(yùn)算量的大小，圓錐曲線的定義無處不在，在我們解決這一類問題時(shí)，應(yīng)該充分利用定義，一切的變化都源于定義，所以說定義就是我們解決此類問題的一把利器，當(dāng)然要好好利用才對！近幾年高考對圓錐曲線的考查，大多題目煩瑣，解答過程復(fù)雜.但如果能透徹理解圓錐曲線的定義，將會使問題化繁為簡.時(shí)刻不忘定義會讓我們的同學(xué)在考場上解決圓錐曲線相關(guān)問題時(shí)不至于無從下手！