接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅
——對2015年一道高考題的拓展研究

☉江蘇省石莊高級中學 肖雄偉

接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅
——對2015年一道高考題的拓展研究

☉江蘇省石莊高級中學 肖雄偉

高考試題是命題組集體智慧的結晶，一道具有典型性、代表性的試題不僅能考查學生的數學素養，還能起到高校選拔的功能，還應具有進一步探索、研究的價值.筆者對2015年高考數學新課標1卷理科第20題進行了思考探究并做引申推廣，歡迎指正.

一、題目再現

（2015年高考數學新課標1卷理科第20題）在直角坐標系xOy中，曲線C：與直線y=kx+a（a＞0）交與M、N兩點.

（Ⅰ）當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

本題綜合考查了直線與拋物線的位置關系，涉及的知識點有求切線方程，動直線中的定量關系等，體現了數形結合、方程等數學思想.試題難度適中，立意深刻，題面新穎，能較全面地檢查學生平面解析幾何的學習水平.

（Ⅱ）存在符合題意的點P（0，-a）.（過程略）

二、拓展研究

解完此題，筆者不禁思考，直線恒過點（0，a），與點P關于原點對稱，可否將題中的條件和結論一般化呢？答案是肯定的，于是得到以下結論.

結論1：已知拋物線C：x2=2py（p>0），如果過定點（0，t）（t>0）且不與y軸垂直的直線l與拋物線C交于M、N兩點，則在y軸上存在點P（0，-t），使得∠OPM=∠OPN.

證明：設直線l的方程為y=kx+t（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），直線PM、PN的斜率分別為k1、k2.將y=kx+t代入C并整理得x2-2pkx-2pt=0，則x1+x2=2pk，x1x2=-2pt.即∠OPM=∠OPN.結論成立.

對于焦點在x軸上的拋物線，結論也是成立的.

結論2：已知拋物線C：y2=2px（p>0），過定點（t，0）（t> 0）且不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M、N兩點，則在x軸上存在點P（-t，0），使得∠OPM=∠OPN.

證明方法同上，此處略.

我們知道，橢圓、雙曲線、拋物線都屬于圓錐曲線，上述結論類比到橢圓與雙曲線上也成立嗎？答案是肯定的，于是就有了如下的結論.

證明：設直線l：x=my+t（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由直線l與橢圓C的方程聯立得：（a2+b2m2）y2+2b2mty+

因此∠OPM=∠OPN.

證明可仿照前面幾個結論的方法證得，此處不再贅述.

波利亞說，好問題就像蘑菇，它們是成群出現的，在解決一個問題以后，自然就會思考此問題相應的逆命題是否成立，通過探究可以發現如下結論.

三、逆向思考、變式探究

結論5：已知拋物線C：y2=2px（p>0），點P（-t，0）（t> 0），設不垂直于x軸的直線l與拋物線C交于M、N兩點，若∠OPM=∠OPN，則直線l過定點（t，0）.

證明：設直線l：x=my+n（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由直線l與拋物線C的方程得y2-2pmy-2pn=0，則y1+y2= 2pm，y1y2=-2pn.

由∠OPM=∠OPN，得kPM+kPN=0，即2m·（-2pn）+（n+ t）·2pm=0，解得n=t，從而直線l的方程為x=my+t，故直線l過定點（t，0）.

證明：設直線l：x=my+n（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），聯立直線l與橢圓C的方程得（a2+b2m2）y2+2b2mny+b2（n2-

因為∠OPM=∠OPN，所以kPM+kPN=0，即2m·解得n=t，從而直線l的方程為x=my+t，故直線l過定點（t，0）.

結論的證明可仿照結論5、6的證明方法證得，此處不再贅述.

四、高考鏈接

此類問題的出現不是第一次，在前幾年的高考中也出現過，今年的四川卷理科第20題也考到類似的背景.

（1）求橢圓E的方程.

（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

五、結束語

高考題是考生復習備考的至尊法寶，認真研究高考題，發掘其真正的內涵，探索出新的規律性結論，并運用于教學之中，可以豐富我們的教學，使我們的教學理念更新，解題的手段升級.因此，高中一線教師必須養成經常研究高考試題的好習慣，真正領會高考試題命制的背景、意圖及其蘊含著的真諦，只有通過解題過程的分析、延伸、拓廣，才能讓數學教學充滿生機和活力，使學生充分享受數學學習的樂趣，樂教樂學，才是數學教學的最高境界！